1、考点规范练 22 数列的概念与表示一、基础巩固1.数列 1, ,的一个通项公式 an=( )23,35,47,59A. B. C. D.2+1 2-1 2-3 2+32.若 Sn 为数列a n的前 n 项和,且 Sn= ,则 等于 ( )+1 15A. B. C. D.3056 65 1303.已知数列a n满足 an+1+an=n,若 a1=2,则 a4-a2= ( )A.4 B.3 C.2 D.14.若数列a n满足 =d(nN *,d 为常数),则称数列a n为调和数列.已知数列 为调和数列,且1+11 1x1+x2+x20=200,则 x5+x16=( )A.10 B.20 C.30
2、D.405.已知数列a n满足:m,nN *,都有 anam=an+m,且 a1= ,则 a5=( )12A. B. C. D.132 116 14 126.已知数列a n的前 4 项分别是 ,1, ,则这个数列的一个通项公式是 an= . 32 710,9177.已知数列a n满足:a 1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN *),则数列a n的通项公式 an= . 8.已知数列a n的通项公式为 an=(n+2) ,则当 an 取得最大值时,n= . (78)9.若数列a n的通项为 an=(-1)n(2n+1)sin +1,前 n 项和为 Sn,则 S100=
3、 . 210.已知数列a n的前 n 项和为 Sn.(1)若 Sn=(-1)n+1n,求 a5+a6 及 an;(2)若 Sn=3n+2n+1,求 an.二、能力提升11.已知数列a n的通项 an= ,则 an 的最大值是( )2+90A.3 B.19 C. D.10119 106012.已知数列a n满足 an+1= a1= ,则数列a n的第 2 018 项为 . 2,012,2-1,12m(其中 m,nN *),Sn-Sm 的最大值是 . 考点规范练 22 数列的概念与表示1.B2.D 解析 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1= , =5(5+1)=30.+1-1= 1(+1) 15
4、3.D 解析 由 an+1+an=n,得 an+2+an+1=n+1,两式相减得 an+2-an=1,令 n=2,得 a4-a2=1.4.B 解析 数列 为调和数列 ,1 =xn+1-xn=d.11+111 xn是等差数列.又 x1+x2+x20=200= ,20(1+20)2 x1+x20=20.又 x1+x20=x5+x16, x5+x16=20.5.A 解析 数列a n满足:m ,nN *,都有 anam=an+m,且 a1= , a2=a1a1= ,a3=a1a2= ,12 14 18 a5=a3a2= .1326. 解析 数列a n的前 4 项可分别变形为 ,故 an= .2+12+
5、1 21+112+1,22+122+1,23+132+1,24+142+1 2+12+17.3n 解析 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把 n 换成 n-1,得 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得 an=3n.8.5 或 6 解析 由题意令 -1,+1, (+2)(78)(+1)(78)-1,(+2)(78)(+3)(78)+1,解得 n=5 或 n=6.6,5.9.200 解析 当 n 为偶数时,则 sin =0,2即 an=(2n+1)sin +1=1(n 为偶数 ).2当 n 为奇数时,若 n=
6、4k+1,kZ,则 sin =sin =1,2 (2+2)即 an=-2n;若 n=4k+3,kZ ,则 sin =sin =-1,2 (2+32)即 an=2n+2.故 a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此 S100= 8=200.100410.解 (1)因为 Sn=(-1)n+1n,所以 a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当 n=1 时,a 1=S1=1;当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又 a1 也适合于此
7、式,所以 an=(-1)n+1(2n-1).(2)当 n=1 时,a 1=S1=6;当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23n-1+2. 因为 a1 不适合 式,所以 an=6,=1,23-1+2,2.11.C 解析 令 f(x)=x+ (x0),运用基本不等式得 f(x)2 ,当且仅当 x=3 时等号成立.90 90 10因为 an= ,所以 ,由于 nN *,不难发现当 n=9 或 n=10 时,a n 取得最大值,1+90 1+901290故 an= 最大.11912. 解析 由已知可得,a 2=2 -1= ,15 35 15a3=2 ,
8、15=25a4=2 ,25=45a5=2 -1= ,45 35 an为周期数列且 T=4, a2 018=a5044+2=a2= .1513.66 解析 由题得,这个数列各项的值分别为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3, a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.2n-1 解析 当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即 an=2an-1+1, an+1=2(an-1+1).又 S1=2a1-1, a1=1. 数列a n+1是以首项为 a1+1=2,公比为 2 的等比数列, an+1=22n-1=
9、2n, an=2n-1.15.解 (1)因为 an+1=Sn+3n,所以 Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即 bn+1=2bn.又 b1=S1-3=a-3,故b n的通项公式为 bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a 2a1 对任意的 a 都成立.由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,故 an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-2 .12(32)-2+-3当 n2 时,由 an+1a n,可知 12 +a-30,(32)-2即 a-9.又 a3,故所求的 a 的取值范围是- 9,3)(3, +).16.10 解析 由 an=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)0 得 4n8,即在数列a n中,前三项以及从第 9 项起后的各项均为负且 a4=a8=0,因此 Sn-Sm 的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.