1、考点规范练 27 平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.向量 a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)2.已知点 A(0,1),B(3,2),向量 =(-7,-4),则向量 =( ) A.(10,7) B.(10,5)C.(-4,-3) D.(-4,-1)3.已知平面向量 a=(1,-2),b=(2,m),且 ab,则 3a+2b=( )A.(7,2) B.(7,-14)C.(7,-4) D.(7,-8)4.已知在A
2、BCD 中, =(2,8), =(-3,4),对角线 AC 与 BD 相交于点 M,则 =( ) A. B.(-12,-6) (-12,6)C. D.(12,-6) (12,6)5.在ABC 中,点 P 在 BC 上,且 =2 ,点 Q 是 AC 的中点,若 =(4,3), =(1,5),则 等于( ) A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)6.已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成 c=a+b(, 为实数),则 m 的取值范围是( )A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D.(-,
3、2)(2,+)7.若平面内两个向量 a=(2cos ,1)与 b=(1,cos )共线,则 cos 2 等于( )A. B.1 C.-1 D.0128.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,0),B(0,1),C 为坐标平面第一象限内一点,且AOC= ,|OC|=2,4若 = + ,则 +=( )A.2 B. C.2 D.42 2 29.已知向量 a,b 满足|a|=1,b =(2,1),且 a+b=0(R),则|= . 10.设 e1,e2 是平面内的一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a,b的线性组合,即 e1+e2= a
4、+ b. 11.若平面向量 a,b 满足|a+b|=1,a+ b 平行于 x 轴,b =(2,-1),则 a= . 12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知 =c, =d,则 = , = (用 c,d 表示) . 二、能力提升13.在 RtABC 中,A=90,点 D 是边 BC 上的动点,且| |=3,| |=4, = + (0,0),则当 取得最大值时,| |的值为 ( )A. B.372C. D.52 12514.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( )A.- a+ b12 32B. a- b1232C.- a
5、- b3212D.- a+ b32 1215.设 O 在ABC 的内部,且有 +2 +3 =0,则ABC 的面积和 AOC 的面积之比为( )A.3 B. C.2 D.53 3216.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 = + ,则+ 的最大值为( )A.3 B.2 C. D.22 517.在ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,且 3a +4b +5c =0,则 a b c= . 三、高考预测18.已知向量 =(3,-4), =(0,-3), =(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m
6、满足的条件是 . 考点规范练 27 平面向量基本定理及向量的坐标表示1.B 解析 由题意知,A 选项中 e1=0,C,D 选项中两个向量均共线 ,都不符合基底条件,故选 B.2.C 解析 由点 A(0,1),B(3,2),得 =(3,1).又由 =(-7,-4),得 =(-4,-3).故选 C. =+3.B 解析 因为 ab ,所以 m+4=0,所以 m=-4.所以 b=(2,-4).所以 3a+2b=(7,-14).4.B 解析 因为在ABCD 中,有 ,所以 )= (-1,12)= ,=+,=12 =12(+12 (-12,6)故选 B.5.B 解析 如图, =3 =3(2 )=6 -3
7、=(6,30)-(12,9)=(-6,21). 6.D 解析 因为平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成 c=a+b(, 为实数),所以 a,b 一定不共线,所以 3m-2-2m0,解得 m2,所以 m 的取值范围是( -,2)(2, +),故选 D.7.D 解析 由向量 a=(2cos ,1)与 b=(1,cos )共线,知 2cos cos -11=0,所以 2cos2-1=0,所以 cos 2=0,故选 D.8.A 解析 因为|OC|=2,AOC= ,C 为坐标平面第一象限内一点,所以 C( ).4 2, 2又 = + ,所以( )=(1,0)+(0,1)=(,).2, 2所以 = ,
8、所以 +=2 .2 29. 解析 |b|= ,5 22+12=5由 a+b=0,得 b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以|= .|=51=510. - 解析 设 e1+e2=ma+nb.23 13因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得 所以-=1,2+=1, =23,=-13.11.(-1,1)或( -3,1) 解析 由|a+ b|=1,a+b 平行于 x 轴,得 a+b=(1,0)或 a+b=(-1,0),则 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或 a=(-1,0
9、)-(2,-1)=(-3,1).12. (2d-c) (2c-d) 解析 设 =a, =b.因为 M,N 分别为 DC,BC 的中点,所以 b, a.23 23 =12=12又 所以=+12,=+12, =23(2-),=23(2-),即 (2d-c), (2c-d).=23 =2313.C 解析 因为 = + ,而 D,B,C 三点共线,所以 +=1,所以 ,(+2)2=14当且仅当 = 时取等号,12此时 ,=12+12即 D 是线段 BC 的中点,所以| |= |= .故选 C.12|5214.B 解析 设 c=a+b,则(-1,2)=(1,1)+ (1,-1),即-1=+,2=-, 即
10、 =12,=-32,故 c= a- b.123215.A 解析 设 AC,BC 的中点分别为 M,N,则已知条件可化为 ( )+2( )=0,即+ +2 =0,所以 =-2 .说明 M,O,N 共线,即 O 为中位线 MN 上的三等分点,S AOC= SANC= S 23 2312ABC= SABC ,所以 =3.13 16.A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,1),B(0,0),D(2,1).设 P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得 r= ,| =215=255即圆的方程是(x-2) 2+y2= .45易知 =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0). 由
11、= + ,得=2,-1=-,所以 = ,=1-y,2所以 += x-y+1.12设 z= x-y+1,即 x-y+1-z=0.12 12因为点 P(x,y)在圆(x- 2)2+y2= 上,45所以圆心 C 到直线 x-y+1-z=0 的距离 dr,12即 ,解得 1z3,|2-|14+1255所以 z 的最大值是 3,即 + 的最大值是 3,故选 A.17.20 15 12 解析 3a +4b +5c =0, 3a( )+4b +5c =0.+ (3a-5c) +(3a-4b) =0. 在ABC 中, 不共线, 解得3=5,3=4, =35,=34. a b c=a a a=20 15 12.34 3518.m 解析 由题意得 =(-3,1), =(2-m,1-m).54 若 A,B,C 能构成三角形,则 不共线,即- 3(1-m)1(2-m),解得 m .,54