1、考点规范练 42 直线与圆锥曲线一、基础巩固1.抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为( )A. B. C.2 D.2728 2 5262.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y=2x2 上的两点,直线 l 是 AB 的垂直平分线.当直线 l 的斜率为 时,直线12l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A. B.(34,+) 34,+)C.(2,+) D.(-,-1)3.已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-22+22ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.63
2、 33 23 134.已知椭圆 ax2+by2=1(a0,b0)与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为,则 的值为( )32 A. B. C. D.32 233 932 23275.已知斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB| 的最大值为( )24A.2 B. C. D.455 4105 81056.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A,B 两点,直线l2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16 B.14 C
3、.12 D.107.已知过抛物线 y= x2 的焦点 F 的直线 l 分别与抛物线和圆 x2+(y-1)2=1 交于 A,B,C,D 四点,则14= . 8. 如图,椭圆 E: =1(ab0)经过点 A(0,-1),且离心率为 .22+22 22(1)求椭圆 E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于 P,Q(均异于点 A)两点,证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值.9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1
4、)求 ;|(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点 ?说明理由.二、能力提升10.设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆( x-5)2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条, 则 r 的取值范围是( )A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)11.设双曲线 x2- =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且F 1PF2 为锐角三角形,则23|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 12.(2018 浙江,17)已知点 P(0,1),椭圆 +y2=m(m1)上两点
5、 A,B 满足 =2 ,则当 m= 时,24 点 B 横坐标的绝对值最大. 13.在平面直角坐标系 xOy 中 ,曲线 C:y= 与直线 l:y=kx+a(a0)交于 M,N 两点.24(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPM=OPN?说明理由.三、高考预测14.(2018 北京,理 19)已知抛物线 C:y2=2px(p0)经过点 P(1,2).过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于点 M,直线 PB 交 y 轴于点 N.(1)求直线 l 的斜率的取
6、值范围;(2)设 O 为原点 , = = ,求证: 为定值.,1+1考点规范练 42 直线与圆锥曲线1.B 解析 设抛物线上一点的坐标为( x,y),则 d= ,|-2|2 =|-2+-2|2 =|-(-12)2-74|2所以当 x= 时,d min= .12 7282.A 解析 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程为 y= x+b.过点 A,B 的直线可设为 y=-2x+m,联12立方程 得 2x2+2x-m=0,从而有 x1+x2=-1,=4+8m0,m- .=22,=-2+, 12又 AB 的中点 在直线 l 上,即 m+1=- +b,得 m=b- .将 m=b- 代
7、入 4+8m0,得 b ,所以直线(-12,+1) 14 54 54 34l 在 y 轴上的截距的取值范围是 .(34,+)3.A 解析 以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x2+y2=a2.因为直线 bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a2 相切,所以圆心到该直线的距离 d= =a,22+2整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2),所以 ,从而 e= .故选 A.22=23 =634.B 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 a +b =1,a +b =1,21 21 22 22两式相减得 a -a =-(b -b ),21 22 21 22即 =-1,(1-2
8、)(1+2)(1-2)(1+2) (-1) =-1, 32 ,故选 B.=2335.C 解析 设 A,B 两点的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t.由 消去 y,2+42=4,=+ 得 5x2+8tx+4(t2-1)=0.则 x1+x2=- t,x1x2= .85 4(2-1)5所以|AB|= |x1-x2|= = = ,1+2 1+2 (1+2)2-412 2 (-85)2-44(2-1)5 425 5-2当 t=0 时,|AB| max= .41056.A 解析 由题意,易知直线 l1,l2 斜率不存在时,不合题意. 设 A(x1,y1),B(x2,
9、y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线 l1 方程为 y=k1(x-1),与抛物线方程联立,得 2=4,=1(-1),消去 y,得 x2-2 x-4x+ =0,21 21 21所以 x1+x2= .221+421同理,直线 l2 与抛物线的交点满足 x3+x4= .222+422由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x2+x3+x4+2p= +4= +82 +8=16,221+421 +222+422 421+422 162122当且仅当 k1=-k2=1(或-1) 时,取得等号.7.-1 解析 不妨设直线 AB 的方程为 y=1,联立 解得 x=2,则 A(-2,1),D(2
10、,1),=1,=142,因为 B(-1,1),C(1,1),所以 =(1,0), =(-1,0), 所以 =-1.8.(1)解 由题意知 ,b=1,=22又 a2=b2+c2,得 a= ,2所以椭圆 E 的方程为 +y2=1.22(2)证明 设直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k2),将其代入 +y2=1,22得(1+2k 2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由题意知 0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1x20,则 x1+x2= ,x1x2= .4(-1)1+22 2(-2)1+22所以直线 AP 与 AQ 的斜率之和为kAP+kAQ= = =2k+(2-
11、k) =2k+(2-k) =2k+(2-k)1+11+2+12 1+2-1 +2+2-2 (11+12) 1+212 4(-1)2(-2)=2k-2(k-1)=2.故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 2.9.解 (1)由已知得 M(0,t),P .(22,)又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N ,ON 的方程为 y= x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2= .(2,) 22因此 H .(22,2)所以 N 为 OH 的中点,即 =2.|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点 .理由如下:直线 MH 的方程为 y-t= x,2即
12、x= (y-t).2代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.10.D 解析 如图所示,设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则 21=41,22=42,两式相减,得(y 1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当 l 的斜率不存在,即 x1=x2 时,符合条件的直线 l 必有两条.当 l 的斜率 k 存在 ,即 x1x2 时,有 2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即 k= .20由 CMAB,得 kCM= =- ,即 x0=3.00-5 02
13、因为点 M 在抛物线内部,所以 |F1F2|2,即(2x+1) 2+(2x-1)242,解得 x ,所以 0,解得 k0 或 0k1.又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,-2), 从而 k-3.所以直线 l 斜率的取值范围是 (-,-3)(- 3,0)(0,1).(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知 x1+x2=- ,x1x2= .2-42 12直线 PA 的方程为 y-2= (x-1).1-21-1令 x=0,得点 M 的纵坐标为 yM= +2= +2.-1+21-1 -1+11-1同理得点 N 的纵坐标为 yN= +2.-2+12-1由 = = ,得 =1-yM,=1-yN.,所以 =2.所以 为定值.1+1= 11-+ 11-=1-1(-1)1+2-1(-1)2=1-1212-(1+2)12 =1-122+2-4212 1+1