1、考点规范练 50 离散型随机变量的均值与方差一、基础巩固1.已知 X 的分布列如下表,设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为 ( )X -1 0 1P 12 13 16A. B.4 C.-1 D.1732.袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球,从袋中任取 1 个球,记下颜色后放回.若连续取三次,用 X 表示取出红球的个数,则均值 E(X)与方差 D(X)的和为( )A.2 B. C. D.23 53 433.已知 B ,并且 =2+3,则方差 D()=( )(4,13)A. B. C. D.329 89 439 5994.已知随机变量 的分布列为 1 2 3
2、P 0.5 x y若 E()= ,则 D()等于( )158A. B. C. D.3364 5564 732 9325.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比23 13赛停止时已打局数 X 的期望 E(X)为( )A. B. C. D.24181 26681 27481 6702436.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的均值为 . 7.
3、已知随机变量 的分布列如下: 0 1 2P b a2 122则 E()的最小值为 ,此时 b= . 8.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术,具有资源的充足性及潜在的经济性等优点,在长期的能源战略中具有重要地位,2015 年起,国家能源局、国务院扶贫办联合在 6 省的 30 个县开展光伏扶贫试点.在某县居民中随机抽取 50 户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量(单位:度) (0,200 (200,400 (400,600 (600,800 (800,1 000户 数 7 8 15 13 7(1)在该县居民中随机抽取 10 户,记其中年用电量不超过 600 度的户数
4、为 X,求 X 的数学期望;(2)在总结试点经验的基础上,将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式 .已知该县某自然村有居民300 户.若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以 0.8 元/度的价格进行收购.经测算,每千瓦装机容量的发电机组年平均发电 1 000 度,试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元?9.在一袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4),现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.(1)求 X 的分布列、期望和方差
5、;(2)若 Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求 a,b 的值.10.甲、乙、丙三人射击同一目标,各射击一次,已知甲击中目标的概率为 ,乙与丙击中目标的概率分35别为 m,n(mn),每人是否击中目标是相互独立的.记目标被击中的次数为 ,且 的分布列如下表: 0 1 2 3P 115a b 15(1)求 m,n 的值 ;(2)求 的均值.二、能力提升11.为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“ +”表示未服药者.(1)从服药的 5
6、0 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率;(2)从图中 A,B,C,D 四人中随机选出两人 ,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求 的分布列和数学期望 E();(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论)12.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射34击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假23设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求
7、该射手的总得分 X 的分布列及均值 E(X).三、高考预测13.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到 100 位教师近 2 年每人手机月平均使用流量 L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如下:若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题.(1)从该校教师中随机抽取 3 人,求这 3 人中至多有 1 人手机月使用流量不超过 300 M 的概率;(2)现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套
8、餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值 200 M 流量,资费 20 元;如果又超出充值流量,那么系统就再次自动帮用户充值 200 M 流量,资费 20 元,以此类推.如果当月流量有剩余,那么系统将自动清零,无法转入次月使用.学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的 75%,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.考点规范练 50 离散型随机变量的均值与方差1.A 解析 E(X)=- =- ,12+16 13 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=- +3= .23 732.C
9、 解析 由题意可知,每次取到红球的概率都是 .515=13设 X 为取得红球的次数,则 XB ,(3,13)则 E(X)=3 =1,13D(X)=3 ,13(1-13)=23故 E(X)+D(X)= .533.A 解析 由题意知,D( )=4 ,13(1-13)=89 =2+3, D()=4D()=4 .89=3294.B 解析 由分布列的性质得 x+y=0.5,又 E()= ,所以 2x+3y= ,158 118解得 x= ,y= .18 38故 D()= .(1-158)212+(2-158)218+(3-158)238=55645.B 解析 依题意,知 X 的所有可能值为 2,4,6,设
10、每两局比赛为一轮 ,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对(23)2+(13)2=59下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(X=2)= ,P(X=4)= ,P(X=6)= ,故 E(X)=2 +459 4959=2081 (49)2=1681 59+6 .2081 1681=266816.200 解析 记不发芽的种子数为 Y,则 YB(1 000,0.1), E(Y)=1 0000.1=100.又 X=2Y, E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.7. 解析 由题意可得,b+a 2+ =1,34 12 122即 b+a2-
11、 ,b0,1,a-1,1.2=12E()=0+a2+2 =a2-a+1= ,当且仅当 a= 时取等号,(12-2) (-12)2+3434 12故 E()的最小值为 .此时 b= .34 128.解 (1)记在抽取的 50 户居民中随机抽取 1 户,其年用电量不超过 600 度为事件 A,则 P(A)= .35由已知可得从该县居民中随机抽取 10 户,记其中年用电量不超过 600 度的户数为 X,则 X 服从二项分布,即 XB ,(10,35)故 E(X)=10 =6.35(2)设该县居民户年均用电量为 E(Y),由抽样可得E(Y)=100 +300 +500 +700 +900 =520,则
12、该自然村年均用电量约 156 000 度.750 850 1550 1350 750又该村所装发电机组年预计发电量为 300 000 度,故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 144 000 度,能为该村创造直接收益 144 0000.8=115 200 元.9.解 (1)X 的取值为 0,1,2,3,4,其分布列为X 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 =1.5,12 120 110 320 15D(X)=(0-1.5)2 +(1-1.5)2 +(2-1.5)2 +(3-1.5)2 +(4-1.5)2 =2.75.12
13、 120 110 320 15(2)由 D(Y)=a2D(X),得 2.75a2=11,得 a=2,又 E(Y)=aE(X)+b, 当 a=2 时,由 1=21.5+b,得 b=-2;当 a=-2 时,由 1=-21.5+b,得 b=4, =2,=-2或 =-2,=4. 10.解 (1)设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件 A,B,C.由题设可知当 =0 时,甲、乙、丙三人均未击中目标,即 P(=0)=P( ) = (1-m)(1-n)= ,25 115化简得 mn-(m+n)=- . 56同理,P( =3)= mn= ,35 15即 mn= . 13联立 可得 m= ,n= .23 12(2)
14、由题设及(1)可知,a=P(=1)= ,351312+252312+251312=310b=1- .(115+310+15)=1330故 E()=0 +1 +2 +3 .115 310 1330 15=533011.解 (1)由题图知,在服药的 50 名患者中,指标 y 的值小于 60 的有 15 人,所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 y 的值小于 60 的概率为 =0.3.1550(2)由题图知,A,B,C,D 四人中 ,指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人:A 和 C.所以 的所有可能取值为 0,1,2.P(=0)= ,2224=16P(=1)= ,121224=23
15、P(=2)= .2224=16所以 的分布列为 0 1 2P 16 23 16故 的期望 E()=0 +1 +2 =1.16 23 16(3)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.12.解 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射手射击命中甲靶”为事件 B,“该射手第一次射击命中乙靶”为事件 C,“该射手第二次射击命中乙靶”为事件 D.由题意知 P(B)= ,34P(C)=P(D)= .23由于 A=B C D, + + 根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(B )+P( C )+P( D) =P(B)P( )P( )+P( )P(C)
16、P( )+P( )P( )P(D) = .34(1-23)(1-23)+(1-34)23(1-23)+(1-34)(1-23)23=736(2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5.根据事件的对立性和互斥性得P(X=0)=P( )= , (1-34)(1-23)(1-23)=136P(X=1)=P(B )= , 34(1-23)(1-23)=112P(X=2)=P( C D)=P( C )+P( D)= , + (1-34)23(1-23)+(1-34)(1-23)23=19P(X=3)=P(BC )+P(B D)= , 3423(1-23)+34(1-23)23=13P(X
17、=4)=P( CD)= , (1-34)2323=19P(X=5)=P(BCD)= .342323=13故 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P 136 112 19 13 19 13所以 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 +5 .136 112 19 13 19 13=411213.解 (1)记“从该校随机抽取 1 位教师,该教师手机月使用流量不超过 300 M”为事件 D.依题意,P(D)=(0.000 8+0.002 2)100=0.3.从该校教师中随机抽取 3 人,设这 3 人中手机月使用流量不超过 300 M 的人数为 X,则 XB(3,0.3),所以从该校教师中随机抽取
18、3 人,至多有 1 人手机月使用流量不超过 300 M 的概率为 P(X=0)+P(X=1)= 0.30(1-0.3)3+ 0.3(1-0.3)2=0.343+0.441=0.784.03 13(2)依题意,从该校随机抽取 1 位教师,该教师手机月使用流量 L(300,500 的概率为(0.002 5+0.003 5)100=0.6,L(500,700的概率为 (0.000 8+0.000 2)100=0.1.当学校订购 A 套餐时,设学校为 1 位教师承担的月费用为 X1 元,则 X1 的所有可能取值为 20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)
19、=0.1,所以 X1 的分布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1所以数学期望 E(X1)=200.3+350.6+500.1=32(元).当学校订购 B 套餐时,设学校为 1 位教师承担的月费用为 X2 元,则 X2 的所有可能取值为 30,45,且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1,所以 X2 的分布列为X2 30 45P 0.9 0.1所以数学期望 E(X2)=300.9+450.1=31.5(元).当学校订购 C 套餐时,设学校为 1 位教师承担的月费用为 X3 元,则 X3 的所有可能取值为 38,且P(X3=38)=1,所以 E(X3)=381=38(元) .因为 E(X2)E(X1)E(X3),所以学校订购 B 套餐最经济.