1、考点规范练 48 离散型随机变量及其分布列一、基础巩固1.袋中装有除颜色外其他完全相同的 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球,若取得黑球则另换1 个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ,则表示“放回 5 个红球”事件的是( )A.=4 B.=5 C.=6 D.52.若离散型随机变量 X 的分布列如下:X 0 1P 9c2-c 3-8c则常数 c 的值为( )A. B. C. D.123或 13 23 133.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于( )A.0 B. C. D.12 13 234.从装有除
2、颜色外没有区别的 3 个黄球、3 个红球、3 个蓝球的袋中摸 3 个球,设摸出的 3 个球的颜色种数为随机变量 X,则 P(X=2)=( )A. B.128 928C. D.114 9145.一个袋子中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取出 3 只,以 表示取出的 3 只球中的最小号码,则随机变量 的分布列为( )A. 1 2 3P 13 13 13B. 1 2 3 4P 110 15 310 25C. 1 2 3P 35 310 110D. 1 2 3P 110 310 356.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 表示所选 3 人中女生的人
3、数,则P(1)等于( )A. B.15 25C. D.35 457.随机变量 X 的概率分布如下:X -1 0 1P a b c其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)= . 8.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字 0,两个面上标有数字 1,一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次,记向上的数之积为 X,则 P(X2)= . 9.4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元.(1)从中任取 1 支,求其标价 X 的分布列;(2)从中任取 2 支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价 ,求 Y 的分布列.10.若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位
4、数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“ 三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,则得 0 分;若能被 5 整除,但不能被10 整除,则得-1 分;若能被 10 整除,则得 1 分.(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列.二、能力提升11.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协
5、会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4人参加比赛.(1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会 ”,求事件 A 发生的概率;(2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列 .12.某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,有 3 名同学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同 ).(1)求选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率;(2)
6、设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列.三、高考预测13.PM2.5 是指悬浮在空气中的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB30952012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级 ;在 3575 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克 /立方米以上空气质量为超标 .从某自然保护区 2018 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM2.5 日均值 (微克/立方米) 25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (7
7、5,85频 数 3 1 1 1 1 3(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据,记 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 的分布列.考点规范练 48 离散型随机变量及其分布列1.C 解析 “放回 5 个红球” 表示前五次都摸到黑球 ,第六次摸到红球,故 =6.2.C 解析 根据离散型随机变量分布列的性质知,92-0,3-80,92-+3-8=1,得 c= .133.C 解析 设 X 的分布列为X 0 1P p 2p即“X=0”表示试验失败,“ X=1”表示试验成功,失败率为 p
8、,成功率为 2p.由 p+2p=1,则 p= .134.D 解析 X=2,即摸出的 3 个球有 2 种颜色,其中一种颜色的球有 2 个,另一种颜色的球有 1 个,故P(X=2)= ,故选 D.23231339=9145.C 解析 随机变量 的可能取值为 1,2,3.当 =1 时,即取出的 3 只球中最小号码为 1,则其他 2 只球只能在编号为 2,3,4,5 的 4 只球中任取 2 只,故 P(=1)= ;2435=610=35当 =2 时,即取出的 3 只球中最小号码为 2,则其他 2 只球只能在编号为 3,4,5 的 3 只球中任取 2 只,故 P(=2)= ;2335=310当 =3 时
9、,即取出的 3 只球中最小号码为 3,则其他 2 只球只能在编号为 4,5 的 2 只球中取,故 P(=3)= .故选 C.2235=1106.D 解析 P(1)=1-P( =2)=1- .142236=457. 解析 由题意知23 2=+,+=1,所以 2b+b=1,则 b= ,因此 a+c= .13 23所以 P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= .238. 解析 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,4,536P(X=2)= ,1211+11121616 =19P(X=4)= ,11111616=136故 P(X2)=P(X=2)+P( X=4)= .19+136=
10、5369.解 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40,且取得任一支的概率相等,故 X 的分布列为X 10 20 30 40P 14 14 14 14(2)根据题意,Y 的可能取值为 20,30,40,P(Y=20)= ,124=16P(Y=30)= ,224=13P(Y=40)= .324=12故 Y 的分布列为Y 20 30 40P 16 13 1210.解 (1)个位数是 5 的“ 三位递增数” 有 125,135,145,235,245,345.(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 =84,随机变量 X 的取值为 0,-1,1,39因此 P(X=0)= ,3839=23
11、P(X=-1)= ,2439=114P(X=1)=1- .11423=1142所以 X 的分布列为X 0 -1 1P 23 114 114211.解 (1)由已知,有 P(A)= .2223+232348 =635所以事件 A 发生的概率为 .635(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.P(X=k)= (k=1,2,3,4).54-348所以,随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4P 114 37 37 11412.解 (1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院” 为事件 A,则 P(A)= .1327+0337310=4960所以选出的 3 名同学来自互不相同学院的
12、概率为 .4960(2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(X=k)= (k=0,1,2,3).43-6310所以,随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 16 12 310 13013.解 (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则P(A)= .1327310=2140(2)依据条件, 服从超几何分布,其中 N=10,M=3,n=3,且随机变量 的可能取值为 0,1,2,3.P(=k)= (k=0,1,2,3).33-7310 P(=0)= ,P(=1)= ,0337310=724 1327310=2140P(=2)= ,P(=3)= .2317310=740 3307310=1120因此 的分布列为 0 1 2 3P 724 2140 740 1120