1、考点规范练 53 变量间的相关关系、统计案例一、基础巩固1.根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)的柱形图,以下结论不正确的是( )A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量整体呈减少趋势D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( )A.若 K2的观测值为 6.635,则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此在100 个吸烟的人中必有 99 个患有肺病B.由独立
2、性检验知,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有 99%的可能患肺病C.若在统计量中求出在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确3.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线 x+ 近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成= 立的是( )A.线性相关关系较强,b 的值为 3.25B.线性相关关系较强,b 的值为 0.83C.线性相关关系较强,b 的值为 -0.87D.线性相关关
3、系太弱,无研究价值4.两个随机变量 x,y 的取值如下表:x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7若 x,y 具有线性相关关系,且 x+2.6,则下列四个结论错误的是( )=A.x 与 y 是正相关B.当 x=6 时,y 的估计值为 8.3C.x 每增加一个单位,y 大约增加 0.95 个单位D.样本点(3,4.8)的残差为 0.565.“厉行节约,反对浪费” 之风悄然吹开,某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:做不到“光盘” 能做到“光盘”男 45 10女 30 15则下面的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,
4、认为“该市居民能否做到 光盘与性别有关”B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“ 该市居民能否做到光盘与性别无关”C.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“ 该市居民能否做到光盘与性别有关”D.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到 光盘与性别无关”6.若两个分类变量 X 和 Y 的 22 列联表如下:y1 y2 合计x1 5 15 20x2 40 10 50合计 45 25 70则在犯错误的概率不超过 的前提下认为 X 与 Y 之间有关系. 7.某公司未来对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价 x/元 4
5、5 6 7 8 9销量 y/件 90 84 83 80 75 68由表中数据,求得线性回归方程为 =-4x+ ,当产品销量为 76 件时,产品定价大致为 元. 8.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 xi=80, yi=20, xiyi=184, =720.10=1 10=1 10=1 10=12(1)求家庭的月储蓄 对月收入 x 的线性回归方程 x+ ; = (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄 .二、能力提升9.通过随机询问
6、110 名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男 女 总计爱 好 40 20 60不爱好 20 30 50总 计 60 50 110附表:P(K2k 0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828参照附表,得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关 ”B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“ 爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“ 爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关 ”10.
7、已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程 x+ ,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)= 求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( )A. b, a B. b, a D. 10.828,所以在犯错误的概率不超过 0.00170(510-4015)245252050的前提下认为 X 与 Y 之间有关系.7.7.5 解析 =6.5, =80, =80-(-4)6.5,解得 =106, 回归方程为 =-4x+106.当 y=76 时,76=- 4x+106, x=7.5,故答案为 7.
8、5.8.解 (1)由题意知 n=10, xi= =8, yi= =2,=1=1 8010=1=1 2010又 -n =720-1082=80,=12 2xiyi-n =184-1082=24,=1 由此得 =0.3, =2-0.38=-0.4,=2480 =故所求线性回归方程为 =0.3x-0.4.(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加( =0.30),故 x 与 y 之间是正相关.(3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 =0.37-0.4=1.7(千元) .9.A 解析 依题意,由 K2= ,得 K2的观测值(-)2(+)(+)(+)(+)k= 7.8.110(403
9、0-2020)260506050因为 P(7.86. 635)=0.010,所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,故选 A.10.C 解析 由题意可知,b=2,a=-2,.=6=1(-)(-)6=1(-)2 =57=- ,=1365772 13故 a,故选 C. 11.10 解析 =8+ ,=9+9.5+10.5+115 5=6+ ,=11+8+6+55 5回归直线一定经过样本点中心( ),即 6+ =-3.2 +40,即 3.2m+n=42.5 (8+5)又因为 m+n=20,即 3.2+=42,+=20, 解得 =10,=10.12.解 (1)由频率
10、分布直方图,得调查的 100 人中 45 岁以下的人数为 1000.5=50,故 45 岁及以上的人数为 50,可得 22 列联表如下 :45 岁以下 45 岁及以上 总计支持 35 45 80不支持 15 5 20总计 50 50 100因为 K2= =6.253.841,100(355-4515)250508020=254所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下可以认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.(2)从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人,则 45 岁以下的应抽 6 人,45 岁及以上的应抽 2 人. 抽到 1 人是 45 岁以下的概率为 ,抽到 1 人是 45 岁以下且另一人是 45 岁及以上的概率为68=34.161228=37故所求概率为 .3734=47 由题知,X 的可能取值为 0,1,2.则 P(X=0)= ,2628=1528P(X=1)= ,161228=37P(X=2)= .2228=128所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 1528 37 128故 E(X)=0 +1 +2 .1528 37 128=12