1、考点规范练 40 椭圆一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为( )A. =1 B. =12169+2144 2144+2169C. =1 D. =12169+225 2144+2252.已知椭圆 =1(k-4)的离心率为 ,则 k 的值为( )29+24+ 45A.- B.211925C.- 或 21 D. 或 211925 19253.若曲线 ax2+by2=1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足( )A.a2b2 B.1b0)的右焦点,直线 y= 与椭圆交于 B,C 两点,且22+22 2BFC=90,则
2、该椭圆的离心率是 . 9.已知椭圆 =1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2交椭圆于22+22另一点 B.(1)若F 1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若 =2 ,求椭圆的方程.2 2,1=3210.已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB 的面积为 1.22+22 32(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证: |AN|BM|为定值.二、能力提升11.已知 P 是椭圆 =1 上的一点,M,N 分别是两圆:(
3、x+4) 2+y2=1 和(x-4) 2+y2=1 上的点,则225+29|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,1212.已知椭圆 =1(ab0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点(-c ,0)和(c,0), 若 c 是 a,m 的22+22 2222等比中项,n 2是 2m2与 c2的等差中项,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.32 22 12 1413.已知椭圆 =1(ab0)的焦点为 F1,F2,若椭圆上存在满足 的点 P,则椭圆的离心率22+22 12=22的范围是 . 14.已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A
4、(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过点 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过点 D 作 AM 的垂线交 BN于点 E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 4 5.三、高考预测15.(2018 全国 ,理 19)设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐22标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点 ,证明:OMA= OMB.考点规范练 40 椭圆1.A 解析 由题意知 a=13
5、,c=5,则 b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆的方程为 =1.2169+21442.C 解析 若 a2=9,b2=4+k,则 c= .5-由 ,即 ,=45 5-3 =45解得 k=- .1925若 a2=4+k,b2=9,则 c= .-5由 ,即 ,=45 -54+=45解得 k=21.3.C 解析 由 ax2+by2=1,得 =1.因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以 0,所以 014.C 解析 圆 M 的方程可化为 (x+m)2+y2=3+m2,则由题意得 m2+3=4,即 m2=1(mb0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点 ,则|PF 1|+|PF2|=2a.
6、22+22 F 2PF1=90,PF 2F1=60, c+c=2a,即( +1)c=2a.3 3 e= -1.= 23+1= 2(3-1)(3-1)(3+1)=36.C 解析 由题意知 F1(-1,0),F2(1,0).设 P(x0,y0),则 =(-1-x0,-y0), =(1-x0,-y0),1 2 =(-2x0,-2y0),1+2 | |= =2 =2 .1+2 420+420 2-220+20 -20+2 点 P 在椭圆上, 0 1,20 当 =1 时,| |取最小值 2.故选 C.20 1+27. 解析 由题意知 a=3,b= .513 5由椭圆定义知|PF 1|+|PF2|=6.在
7、PF 1F2中,因为 PF1的中点在 y 轴上,O 为 F1F2的中点.由三角形中位线性质可推得 PF2x 轴,所以|PF 2|= ,2=53所以|PF 1|=6-|PF2|= ,133所以 .|2|1|=5138. 解析 由题意得 B ,C ,F(c,0),所以 .63 (- 32,2) (32,2) =(+32,-2),=(- 32,-2)因为BFC=90,所以 =0.所以 c2- =0.(32)2+(2)2又 a2-b2=c2,所以 3c2=2a2,即 ,所以 e= .22=23 639.解 (1)因为F 1AB=90,所以|OA|=|OF 2|,即 b=c.所以 a= c,e= .2=
8、22(2)由题意知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= .设 B(x,y).2-2由 =2 ,得 (c,-b)=2(x-c,y),2 2解得 x= ,y=- ,即 B .32 2 (32,-2)将点 B 的坐标代入 =1,得 =1,22+22 9422+242即 =1,解得 a2=3c2.9242+14又由 =(-c,-b) ,1 (32,-32)=32得 b2-c2=1,即有 a2-2c2=1.由 解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2.所以椭圆的方程为 =1.23+2210.(1)解 由题意得=32,12=1,2=2+2,解得 =2,=1.所以椭圆 C 的方程为
9、 +y2=1.24(2)证明 由(1)知,A(2,0),B(0,1) .设 P(x0,y0),则 +4 =4.20 20当 x00 时,直线 PA 的方程为y= (x-2).00-2令 x=0,得 yM=- ,200-2从而|BM|=|1-y M|= .|1+200-2|直线 PB 的方程为 y= x+1.0-10令 y=0,得 xN=- ,00-1从而|AN|=| 2-xN|= .|2+00-1|所以|AN| |BM|= = = =4.|2+00-1|1+200-2| |20+420+400-40-80+400-0-20+2 | |400-40-80+800-0-20+2|当 x0=0 时,
10、y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN| |BM|=4.综上,|AN| |BM|为定值.11.C 解析 如图,因为两个圆心恰好是椭圆的焦点,由椭圆的定义可知 |PF1|+|PF2|=10.所以|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF2|-2=8,最大值为|PF 1|+|PF2|+2=12.12.C 解析 因为椭圆 =1(ab0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点( -c,0)和( c,0),所以22+22 2222c2=a2-b2=m2+n2.因为 c 是 a,m 的等比中项,n 2是 2m2与 c2的等差中项,所以 c2=am,2n2=2m2+c2,所以 m2=
11、,n2= ,42 42+22所以 =c2,化为 ,242+22 22=14所以 e= .=1213. 解析 椭圆的焦点为 F1,F2,椭圆上存在满足 的点 P,33,1) 12=22 | | |cos= ,12 1,2224c2= -2| | |cos,| |+| |=2a,12+22 12 1,2 1 2可得 +2| | |=4a2,12+22 12 4c2=4a2-2| | |-b2.12 2| | |=3a2-3c22 ,12 (|1|+|2|2 )2当且仅当| |=| |时,等号成立.1 2可得 ,解得 e .2213 33又 0b0).22+22由题意得 解得=2,=32, =2,=
12、3.所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.24(2)证明 设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直线 AM 的斜率 kAM= ,+2故直线 DE 的斜率 kDE=- .+2所以直线 DE 的方程为 y=- (x-m).+2直线 BN 的方程为 y= (x-2).2-联立 =-+2(-),=2-(-2),解得点 E 的纵坐标 yE=- .(4-2)4-2+2由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2,所以 yE=- n.45又 SBDE= |BD|yE|= |BD|n|,12 25SBDN= |BD|n|,12所以BDE 与B
13、DN 的面积之比为 4 5.15.(1)解 由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1,点 A 的坐标为 .(1,22)或 (1,- 22)所以 AM 的方程为 y=- x+ 或 y= x- .22 2 22 2(2)证明 当 l 与 x 轴重合时,OMA=OMB= 0,当 l 与 x 轴垂直时 ,OM 为 AB 的垂直平分线,所以OMA=OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 ,x2 ,直线 MA,MB 的斜率之和为 kMA+kMB= .2 211-2+22-2由 y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB= .212-3(1+2)+4(1-2)(2-2)将 y=k(x-1)代入 +y2=1,22得(2k 2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以 x1+x2= ,x1x2= .4222+1 22-222+1则 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= =0.43-4-123+83+422+1从而 kMA+kMB=0,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以OMA= OMB .综上,OMA= OMB.