1、考点规范练 21 三角恒等变换一、基础巩固1.已知 sin 2= ,则 cos2 =( )13 (-4)A.- B. C.- D.13 13 23 232.已知 2sin 2=1+cos 2,则 tan 2=( )A. B.-43 43C. 或 0 D.- 或 043 433.已知 f(x)=sin2x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为 ( )A.,0, B.2,-4,34C., D.2,-8,38 -4,44.(2018 全国 ,理 10)若 f(x)=cos x-sin x 在 -a,a上是减函数,则 a 的最大值是( )A. B. C. D.4 2
2、345.已知 为锐角,若 cos ,则 sin 的值为( )(+6)=45 (2+12)A. B. C. D.17250 17350 13350 2256.为了得到函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象,可以将函数 y=cos 2x-sin 2x 的图象( )A.向右平移 个单位长度4B.向左平移 个单位长度4C.向右平移 个单位长度2D.向左平移 个单位长度27.已知函数 f(x)=cos +2cos22x,将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐(4-3)标不变,再将所得函数图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)的一个
3、单调6递增区间为( )A. B.-3,6 -4,4C. D.6,23 4,348.已知 2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则 A= ,b= . 9.设 f(x)= +sin x+a2sin 的最大值为 +3,则实数 a= . 1+22(2-) (+4) 210.已知点 在函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x 的图象上.(4,1)(1)求 a 的值和 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在区间 (0,)内的单调递减区间 .11.已知函数 f(x)= sin2x-sin xcos x(0),且 y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴32 3
4、的距离为 .4(1)求 的值;(2)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值 .,32二、能力提升12.已知函数 f(x)=cos x(sin x+ cos x)(0),若存在实数 x0,使得对任意的实数 x,都有 f(x0)f(x)3f(x 0+2 016)成立,则 的最小值为( )A. B. C. D.12 016 14 032 12 016 14 03213.已知 cos = ,cos(+)=- ,且 , ,则 cos(-)的值等于( )13 13 (0,2)A.- B. C.- D.12 12 13 232714.已知函数 f(x)=2sin cos -2cos2 +1,则 f(x)的最
5、小正周期为 ;函数(+524) (+524) (+524)f(x)的单调递增区间为 . 15.(2018 北京,文 16)已知函数 f(x)=sin2x+ sin xcos x.3(1)求 f(x)的最小正周期 ;(2)若 f(x)在区间 上的最大值为 ,求 m 的最小值.-3, 32三、高考预测16.已知 f(x)= sin2x-2sin sin .(1+1) (+4) (-4)(1)若 tan =2,求 f()的值;(2)若 x ,求 f(x)的取值范围.12,2考点规范练 21 三角恒等变换1.D 解析 由题意得 cos2 (cos +sin )2= (1+sin 2)= .(-4)=1
6、2 12 232.C 解析 因为 2sin 2=1+cos 2,所以 2sin 2=2cos2.所以 2cos (2sin -cos )=0,解得 cos =0 或 tan = .12若 cos =0,则 =k+ ,kZ,2=2k +,kZ,2所以 tan 2=0.若 tan = ,则 tan 2= .12 21-2=43综上所述,故选 C.3.C 解析 由 f(x)=sin2x+sin xcos x= sin 2x1-22 +12=12+22(222- 222)= sin ,12+22 (2-4)则 T= =.22又 2k- 2x- 2k+ (kZ),2 4 2 k- xk+ (kZ )为函
7、数的单调递增区间.故选 C.8 384.A 解析 由题意知 f(x)= cos ,f(x)的部分图象如图所示 .要使 f(x)在-a,a 上是减函数,则 a 的2 (+4)最大值为 .45.A 解析 因为 为锐角,cos ,(+6)=45所以 sin ,sin ,(+6)=35 2(+6)=2425cos ,2(+6)=725所以 sin =sin(2+12) 2(+6)-4= ,故选 A.24252272522=172506.A 解析 y=sin 2x+cos 2x= 2(222+ 222)= cos ,2 2(-8)y=cos 2x-sin 2x= 2(222- 222)= cos2 2(
8、+8)= cos ,2 2(+4-8) 只需将函数 y=cos 2x-sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可得函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象.47.B 解析 函数 f(x)=cos +2cos22x=cos +1+cos 4x= cos 4x+ sin 4x+1+cos 4x= cos (4-3) (4-3) 12 32 324x+ sin 4x+1= sin +1,32 3 (4+3) y=g(x)= sin 2x+1.3由 2k- 2x2k + ,kZ,2 2得 k- xk+ ,kZ,4 4当 k=0 时,得- x ,故选 B.4 48. 1 解析 因为 2cos2x+s
9、in 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin +1,所以 A= ,b=1.2 2 (2+4) 29. 解析 f(x)= +sin x+a2sin31+22-12 (+4)=cos x+sin x+a2sin(+4)= sin +a2sin2 (+4) (+4)=( +a2)sin .2 (+4)依题意有 +a2= +3,则 a= .2 2 310.解 (1)函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x=asin 2x+cos 2x. f(x)的图象过点 ,(4,1) 1=asin +cos ,可得 a=1.2 2 f(x)=sin 2x+cos 2x= sin .2 (2+4
10、) 函数的最小正周期 T= =.22(2)由 2k+ 2x+ +2k,kZ,2 432可得 k+ x +k,kZ.8 58 函数 f(x)的单调递减区间为 ,kZ .+8,58+ x(0, ),当 k=0 时,可得 f(x)的单调递减区间为 .8,5811.解 (1)f(x)= sin2x-sin xcos x32 3= sin 2x32 31-22 12= cos 2x- sin 2x32 12=-sin .(2-3)因为 f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,4即 T=4 =,4又 0,所以 =1.(2)由(1)知 f(x)=-sin .(2-3)因为 x ,32所以 2x
11、- ,53 383所以- sin 1.32 (2-3)因此-1f( x) ,32故 f(x)在区间 上的最大值和最小值分别为 ,-1.,32 3212.C 解析 由题意可得,f(x 0)是函数 f(x)的最小值,f(x 0+2 016)是函数 f(x)的最大值.又 f(x)=cos x(sin x+ cos x)3= sin 2x+12 31+22=sin ,(2+3)+32所以要使 取最小值,只需保证在区间x 0,x0+2 016上为一个完整的单调递增区间即可.故 2 016= ,求得 min= ,故 的最小值为 ,故选 C.122 12 016 12 01613.D 解析 , 2 (0,)
12、.(0,2) cos = ,13 cos 2=2cos2-1=- ,79 sin 2= .1-22=429又 , , +(0, ),(0,2) sin(+)= ,1-2(+)=223 cos(-)=cos 2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2sin(+)= = .(-79)(-13)+429223 232714. (kZ ) 解析 f(x)=2sin cos -2cos2 +1-3,+6 (+524) (+524) (+524)=sin -cos(2+512) (2+512)= 2(2+512)4-(2+512)4= sin2 (2+512)-4= sin .2 (2+6) f(x)
13、的最小正周期 T= =.22因此 f(x)= sin .2 (2+6)当 2k- 2x+ 2k + (kZ),2 6 2即 k- xk+ (kZ )时,3 6 函数 f(x)的单调递增区间是 -3,+6(kZ).15.解 (1)因为 f(x)= sin 2x= sin 2x- cos 2x+ =sin ,所以 f(x)的最小正周期为 T=1-22 +32 32 12 12 (2-6)+12=.22(2)由(1)知 f(x)=sin .(2-6)+12因为 x ,-3,所以 2x- .6-56,2-6要使 f(x)在 上的最大值为 ,-3, 32即 sin 上的最大值为 1.(2-6)在 -3,
14、所以 2m- ,即 m .62 3所以 m 的最小值为 .316.解 (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin cos(+4) (+4)= sin 2x+sin1-22 +12 (2+2)= (sin 2x-cos 2x)+cos 2x12+12= (sin 2x+cos 2x)+ .12 12由 tan =2,得 sin 2= = .22+2 22+1=45cos 2= = =- .2-22+21-21+2 35所以 f()= (sin 2+cos 2)+ .12 12=35(2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ sin .12 12=22 (2+4)+12由 x ,12,2得 2x+ .4512,54所以- sin 1,22 (2+4)所以 0f(x) ,2+12所以 f(x)的取值范围是 .0,2+12