1、考点规范练 26 平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是 ( )|=|A.a=-b B.abC.a=2b D.ab ,且 |a|=|b|2. 如图,已知 =a, =b, =3 =2 ,则 等于 ( ),A. b- a3413B. a- b51234C. a- b3413D. b- a512343.设向量 a,b 不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是( ) A.-2 B.-1 C.1 D.24.设 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的点,且 AE= AB,B
2、F= BC.如果 =m +n (m,n 为实12 23 数),那么 m+n 的值为( )A.- B.0 C. D.112 125.已知点 O,A,B 不在同一条直线上 ,点 P 为该平面上一点,且 2 =2 ,则( )+A.点 P 在线段 AB 上B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上C.点 P 在线段 AB 的延长线上D.点 P 不在直线 AB 上6.已知点 O 为ABC 外接圆的圆心,且 =0,则ABC 的内角 A 等于( )+A.30 B.60C.90 D.1207.若点 M 是ABC 所在平面内的一点,且满足 5 +3 ,则ABM 与ABC 的面积比为( )=A. B. C. D.1
3、5 25 35 458. 如图,在ABC 中,AD=DB ,点 F 在线段 CD 上,设 =a, =b, =xa+yb,则 的最小值为( )1+4+1A.6+2 B.62 3C.6+4 D.3+22 29.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 ),则 的夹角为 . =12(+ 与 10.已知 D 为ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足 =0, = ,则实数 的值为 +. 11. 如图,在ABC 中,已知BAC= ,AB=2,AC=4,点 D 为边 BC 上一点,满足 +2 =3 ,点 E 是 AD3 上一点,满足 =2 ,则 BE= . 12. 如图,直线 EF 与平行四边形 ABCD
4、 的两边 AB,AD 分别交于 E,F 两点,且与对角线 AC 交于点 K.其中 = ,则 的值为 . =25,=12,二、能力提升13. 如图,已知 AB 是圆 O 的直径 ,点 C,D 是半圆弧的两个三等分点, =a, =b,则 等于( ) A.a- b B. a-b12 12C.a+ b D. a+b12 1214.在ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若 =x +(1-x) ,则实数 x 的取值范 围是( )A.(-,0) B.(0,+)C.(-1,0) D.(0,1)15.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,且 a+b 与 c 共线, b+c 与
5、a 共线,则 a+b+c 等于( )A.a B.b C.c D.016.已知ABC 是边长为 4 的正三角形,D,P 是ABC 内的两点 ,且满足 ),=14(+,则APD 的面积为 ( )=+18A. B. C. D.234 32 3 317.设 D,E 分别是ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若 =1 +2 (1,2 为实数),则12 23 1+2 的值为 . 三、高考预测18. 如图所示,在ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若=m =n ,则 m+n 的值为( ),A.1 B.2C.3 D.4考
6、点规范练 26 平面向量的概念及线性运算1.C 解析 由 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,故只要 a 与 b 同向即可,观察可| |知 C 满足题意.2.D 解析 由平面向量的三角形法则可知,=+=34+(-13)= )-34(13=-34+512=- a+ b,故选 D.34 5123.B 解析 =a+b, =a-2b, =2a-b.=+又 A,B,D 三点共线 , 共线., = ,即 2a+pb=(2a-b). 2=2,p=-. =1,p=-1.4.C 解析 如图, =+=-12+13=- )12+13(+=- .16+23 =m +n , m=- ,n= ,16
7、 23 m+n= .故选 C.125.B 解析 因为 2 =2 ,+所以 2 .=所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上,故选 B.6.B 解析 由 =0,知点 O 为ABC 的重心.+又 O 为ABC 外接圆的圆心,所以ABC 为等边三角形,故 A=60.7.C 解析 设 AB 的中点为 D.由 5 +3 ,得 3 -3 =2 -2 ,即 3 =2 .= 如图,故 C,M,D 三点共线,且 ,也就是 ABM 与 ABC 对于边 AB 上的两高之比为 3 5,=35则ABM 与ABC 的面积比为 ,选 C.358.D 解析 =xa+yb=2x +y . C,F,D 三点共线, 2x+y=1,
8、即 y=1-2x,其中 x0,y0. .1+4+1=1+21-=+1-2令 f(x)= ,+1-2得 f(x)= ,2+2-1(-2)2令 f(x)=0 得 x= -1(x=- -1 舍去).2 2当 0 -1 时,f( x)0.2故当 x= -1 时,f(x)取得最小值 f( -1)= =3+2 .故选 D.2 22(2-1)-(2-1)2 29.90 解析 由 )可得 O 为 BC 的中点,则 BC 为圆 O 的直径,即BAC= 90,=12(+故 的夹角为 90.与 10.-2 解析如图,由 = ,且 =0,得 P 为以 AB,AC 为邻边的平行四边形的顶点,因此+=-2 ,则 =-2.
9、11. 解析 如图,延长 AB 到 F,使 AF=2AB,连接 CF,则 AC=AF.2219取 CF 的中点 O,连接 AO,则 +2 =2 =3 , A,D,O 三点共线,BAC= ,3 CAO= ,且 AOCF,AC= 4,6 AO=2 . AD= .3433又 =2 , AE=2ED= AD= .23 839又 AB=2,BAE= ,6 在ABE 中,由余弦定理 ,得 BE2=4+ -22 .6427 83932=2827 BE= .221912. 解析 ,29 =25,=12 =2 .=52,由向量加法的平行四边形法则可知, ,=+ = =( )+=(52+2)= +2 .52 E,
10、F,K 三点共线, +2=1, = .52 2913.D 解析 如图,连接 OC,OD,CD,由点 C,D 是半圆弧的三等分点,可得AOC=COD=BOD=60,且OAC 和 OCD 均为边长等于圆 O 半径的等边三角形,所以四边形OACD 为菱形,所以 a+b,故选 D.=+=12+=1214.A 解析 设 = (1),则 +=+=(1-) + .又 =x +(1-x) , 所以 x +(1-x) =(1-) + .所以 =1-x1,得 x0.15.D 解析 因为 a+b 与 c 共线 ,所以 a+b=1c. 又因为 b+c 与 a 共线,所以 b+c=2a. 由 得 b=1c-a.所以 b
11、+c=(1+1)c-a=2a,所以 1+1=0,2=-1, 即 1=-1,2=-1.所以 a+b+c=-c+c=0.16.A 解析 取 BC 的中点 E,连接 AE,因为ABC 是边长为 4 的正三角形,所以 AEBC ,).=12(+又 ),所以点 D 是 AE 的中点,AD= .取 ,以 AD,AF 为邻边作平行四边形,可=14(+ 3 =18知 .因为 APD 是直角三角形,AF= ,=+18=+ 12所以APD 的面积为 .12123=3417. 解析 因为 )=- ,所以 1=- ,2= ,所以12 =+=12+23=12+23(+16+23 16 231+2= .1218.B 解析 O 为 BC 的中点, )= .=12(+12(+)=2+2 M,O,N 三点共线, =1, m+n=2.2+2