1、考点规范练 31 基本立体图形一、基础巩固1.下列说法正确的是( )A.棱柱的两个底面是全等的正多边形B.平行于棱柱侧棱的截面是矩形C.直棱柱 正棱柱D.正四面体 正三棱锥2.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面,则该圆锥的母线与轴所成的角为( )A.30 B.45C.60 D.903.在一个密闭透明的圆柱形桶内装一定体积的水,将该圆柱形桶分别竖直、水平、倾斜放置时,圆柱形桶内的水平面可以呈现出的几何体形状不可能是( )A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面4.过半径为 2 的球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的体积的比为( )A.9 32 B.
2、9 16C.3 8 D.3 165.中国古代数学名著九章算术中记载:“ 今有羡除”.刘徽注:“羡除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”现有一个羡除如图所示,四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均为等腰梯形,ABCDEF,AB=6,CD= 8,EF=10,EF 到平面 ABCD 的距离为 3,CD 与 AB 间的距离为 10,则这个羡除的体积是( )A.110 B.116 C.118 D.1206.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何? ”其意思为:“ 在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为
3、 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )(注: 尺是中国古代计量单位 ,1 米=3 尺)A.14 斛 B.22 斛C.36 斛 D.66 斛7.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于( )A.2 B. 3C. D.128.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在某球面上,PC 为该球的直径 ,ABC 是边长为 4 的等边三角形,三棱锥 P-ABC 的体积为 ,则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )163A. B.163 403C.
4、D.643 8039.点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC= ,ABC= 90,若四面体 ABCD 体积的最大值为 3,则6这个球的表面积为( )A.2 B.4C.8 D.1610.在如图所示的直观图中,四边形 OABC为菱形且边长为 2 cm,则在直角坐标系 xOy 中,四边形ABCO 的形状为 ,面积为 cm2. 11.(2018 天津,文 11)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为 . 12. 如图,在四边形 ABCD 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2 ,AD=2,若四边形 ABCD 绕2AD
5、 旋转一周成为几何体.(1)求该几何体的体积;(2)求出该几何体的表面积.二、能力提升13.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点 ,AB= ,ASC=BSC= 30,则棱锥 S-ABC 的体积3为( )A.3 B.2 C. D.13 3 314.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为 9 和 15,高是 5,则该直四棱柱的侧面积为 . 15.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点,DBC,ECA,FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB为折
6、痕折起DBC,ECA,FAB,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥 .当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为 . 16. 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 .(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由 );(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.三、高考预测17.若一个四面体的四个侧面是全等的三角形,则称这样的四面体为“完美四面体”,现给出四个不同的四面体 AkBkCkDk(k
7、=1,2,3,4),记 AkBkCk 的三个内角分别为 Ak,Bk,Ck,其中一定不是“完美四面体” 的为( )A.A1 B1 C1=3 5 7B.sin A2 sin B2 sin C2=3 5 7C.cos A3 cos B3 cos C3=3 5 7D.tan A4 tan B4 tan C4=3 5 7考点规范练 31 基本立体图形1.D 解析 选项 A 中两个底面全等 ,但不一定是正多边形;选项 B 中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直,即截面是平行四边形,不一定是矩形;选项 C 中 正棱柱 直棱柱,故 A,B,C 都错;选项 D 中,正四面体是各条棱均相等的正三棱锥,故正确.2.A
8、解析 设圆锥侧面展开图的半径为 r,则圆锥底面周长为 2r=r,12设底面半径为 r,则 2r=r, r= r.12圆锥的母线长为侧面展开图的半径 r,设该圆锥的母线与轴所成的角为 ,则 sin = , =30.=123.C 解析 将圆柱形桶竖放,水面为圆面;将圆柱形桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱形桶水平放置,水面为矩形面,所以圆柱形桶内的水平面可以呈现出的几何体形状不可能是梯形面,故选 C.4.A 解析 R=2,设截面圆 M 的半径为 r,则 R2= R2+r2, r2=3.14所得截面的面积与球的体积比为 ,故选 A.2433=9325.D 解析 过点 A 作 APCD,AMEF
9、 ,过点 B 作 BQ CD,BNEF ,垂足分别为 P,M,Q,N,将一侧的几何体放到另一侧,组成一个三棱柱,底面积为 103=15,棱柱的高为 8,12 V=158=120.故选 D.6.B 解析 设底面圆半径为 R,米堆高为 h. 米堆底部弧长为 8 尺, 2R=8, R= .14 16 体积 V= R2h= 5.1413 112 (16)2 3, V (立方尺).3209 堆放的米约为 22(斛) .32091.627.B 解析 设两圆的圆心分别为 O1,O2,球心为 O,公共弦为 AB,其中点为 E,则 OO1EO2 为矩形,于是对角线 O1O2=OE,而 OE= ,2-2=22-1
10、2=3 O1O2= .故选 B.38.D 解析 依题意,记三棱锥 P-ABC 的外接球的球心为 O,半径为 R,点 P 到平面 ABC 的距离为 h,则由 VP-ABC= SABC h= h= ,得 h= .又 PC 为球 O 的直径,因此球心 O 到平面 ABC 的距13 13(3442) 163 43离等于 h= .又正三角形 ABC 的外接圆半径为 r= ,因此 R2=r2+ ,三棱锥 P-ABC12 23 260=43 (23)2=203的外接球的表面积等于 4R2= ,选 D.8039.D 解析 由题意,知 SABC=3,设 ABC 所在球的小圆的圆心为 Q,则 Q 为 AC 的中点
11、,当 DQ 与面ABC 垂直时,四面体 ABCD 的最大体积为 SABCDQ=3,13 DQ=3,如图,设球心为 O,半径为 R,则在 RtAQO 中,OA2=AQ2+OQ2,即 R2=( )2+(3-R)2, R=2,3则这个球的表面积为 S=422=16.故选 D.10.矩形 8 解析 由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为 4 cm,宽为 2 cm 的矩形,所以四边形 ABCO 的面积为 8 cm2.11. 解析 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,13 =V 正方体 -四棱 锥 1-11 三棱 锥 1-三棱柱 -111=1- 111- 111= .1312 12 131
12、2. 解 (1)如图所示 ,过点 C 作 CEAD 的延长线于点 E,作 CFAB 于点 F.由已知得,DE=2,CE=2, CF=4,BF=5-2=3. BC= =5.2+2故该平面图形绕 AD 旋转一周后形成的几何体为圆台 AE 除去圆锥 DE.其中圆台 AE 的体积 V1= (AB2+CE2+ABCE)AE= (52+22+52)4=52.3 3圆锥 DE 的体积V2= EC2DE= 222= .3 3 83故所求几何体的体积V=V1-V2=52- .83=1483(2)由(1)知,几何体的表面由圆台 AE 的下底面、侧面,圆锥 DE 的侧面构成.圆台 AE 的下底面圆的面积 S1=25
13、,圆台 AE 的侧面积 S2=(2+5)5=35,圆锥 DE 的侧面积 S3=22 =4 ,2 2故所求几何体的表面积S=S1+S2+S3=(60+4 ).213.C 解析 如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD.由于 SC 是球的直径,所以SAC=SBC=90.又ASC=BSC=30,又 SC 为公共边,所以SACSBC.由于 ADSC,所以 BDSC.由此得 SC平面 ABD.所以 VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD= SABDSC.13由于在 RtSAC 中,ASC= 30,SC=4,所以 AC=2,SA=2 .3由于 AD= .=3同理在 RtBSC 中也有 BD
14、= .=3又 AB= ,3所以ABD 为正三角形 .所以 VS-ABC= SABDSC13= ( )2sin 604= ,1312 3 3所以选 C.14. 160 解析 如图,设底面对角线 AC=a,BD=b,交点为 O,对角线 A1C=15,B1D=9, a2+52=152,b2+52=92, a2=200,b2=56. 该直四棱柱的底面是菱形, AB2= =64,(2)2+(2)2=2+24 =200+564 AB=8. 直四棱柱的侧面积 S=485=160.15. 4 解析 如图所示,连接 OD,交 BC 于点 G.由题意知 ODBC,OG= BC.1536设 OG=x,则 BC=2
15、x,DG=5-x,3三棱锥的高 h= .2-2=25-10+2-2=25-10因为 SABC= 2 x3x=3 x2,12 3 3所以三棱锥的体积 V= SABCh= x2 .13 3 25-10=3 254-105令 f(x)=25x4-10x5,x ,则 f(x)=100x3-50x4.令 f(x)=0,可得 x=2,(0,52)则 f(x)在(0,2)单调递增 ,在 单调递减,(2,52)所以 f(x)max=f(2)=80.所以 V =4 ,所以三棱锥体积的最大值为 4 .380 15 1516.解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:(2)作 EMAB,垂足为 M,则 AM=A1
16、E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10.于是 MH= =6,2-2AH=10,HB=6.因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即.97(79也正确 )17.B 解析 若 sin A2 sin B2 sin C2=3 5 7,由正弦定理可得,B 2C2 A2C2 A2B2=3 5 7,设B2C2=3x,A2C2=5x,A2B2=7x,因为“完美四面体” 的四个侧面是全等的三角形 , D2A2=3x,D2B2=5x,D2C2=7x.把该四面体的顶点当成长方体的四个顶点,四条棱当作长方体的四条面对角线,则长方体面上的对角线长为 3x,5x,7x,设长方体的棱长为 a,b,c,则 方程组无解,2+2=92,2+2=252,2+2=492,即这样的四面体不存在, 四个侧面不全等,故 D2A2B2C2 一定不是完美四面体,故选 B.