1、考点规范练 3 基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是( )A.lg lg x(x0)(2+14)B.sin x+ 2(xk ,kZ)1C.x2+12|x|(xR)D. 1(xR)12+12.已知 a0,b0,a+b=2,则 y= 的最小值是( )1+4A. B.4 C. D.572 923.已知 a0,b0,a+b= ,则 的最小值为 ( )1+1 1+2A.4 B.2 C.8 D.1624.已知不等式 2x+m+ 0 对一切 x(1,+)恒成立,则实数 m 的取值范围是( )8-1A.m-10 B.m-8 D.mm2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )2+1A.
2、(-,-2)4,+) B.(-,-42,+)C.(-2,4) D.(-4,2)7.设 x,yR,a1,b1,若 ax=by=3,a+b=2 ,则 的最大值为 ( )31+1A.2 B. C.1 D.32 128.已知 x1,则 logx9+log27x 的最小值是 . 9.已知 a0,b0,且 2a+b=1,求证: 16+8 .(2+1)(1+2) 3二、能力提升10.已知不等式 2x2-axy+y20 对任意 x1,2 及 y1,3 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A.a2 B.a2 C.a D.a2 2113 9211.(2018 天津,文 13)已知 a,bR,且 a-3b+6=0
3、,则 2a+ 的最小值为 . 1812.已知实数 x,y 满足 xy0,且 x+y=1,求 的最小值.4+3+1-13.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)(单位: 万元), 当年产量不足 80 千件时,C(x) = x2+10x.当年产量不少于 80 千件时,C(x) =51x+ -1 450.每件商品售价为13 10 0000.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润 L(x)(单位:万元) 关于年产量 x(单位: 千件) 的函数解析式 ;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大 ?三、高考
4、预测14.已知正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,当 取最小值时, a+b-c 的最大值为( )A.2 B. C. D.34 38 14考点规范练 3 基本不等式及其应用1.C 解析 因为 x0,所以 x2+ 2x =x,14 12所以 lg lg x(x0),故选项 A 不正确;(2+14)当 xk,kZ 时,sin x 的正负不定 ,故选项 B 不正确;由基本不等式可知选项 C 正确 ;当 x=0 时,有 =1,故选项 D 不正确.12+12.C 解析 由题意,得 (a+b)= ,1+4=12(1+4) 125+(+4)12(5+24)=92当且仅当 即 a= ,b= 时
5、取等号,+=2,=4,0,0, 23 43故 的最小值是 .1+4 923.B 解析 由 a0,b0,a+b= ,得 ab=1.1+1=+则 2 =2 ,1+2 12 2当且仅当 ,即 a= ,b= 时等号成立 .1=2 22 2故选 B.4.A 解析 原不等式可化为-m1),则 f(x)=2(x-1)+ +22 +2=10,即当 2(x-1)= 时,f (x)取最小值 10.8-1 8-1 2(-1) 8-1 8-1因此要使不等式恒成立,应满足-m-10.5.C 解析 由 x0,y0,得 4x2+9y2+3xy2 (2x)(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等号成立) .则 12xy+
6、3xy 30,即 xy2,故 xy 的最大值为 2.6.D 解析 因为 x0,y0, =1,2+1所以 x+2y=(x+2y) =2+ +28,(2+1) 4+当且仅当 ,即 x=2y 时等号成立.4=由 x+2ym2+2m 恒成立,可知 m2+2m1,b1,所以 ab =3,(+2)2当且仅当 a=b 时等号成立.所以 lg(ab)lg 3,从而 =1,当且仅当 a=b= 时等号成立 .1+133 38. 解析 x1, logx9+log27x= 2 ,当且仅当 x= 时等号成立.263 23+3323=263 36 logx9+log27x 的最小值为 .2639.证明 (2+1)(1+2
7、)=(2+2+)1+2(2+) = =12+ +4(4+)(3+4) 16+3=16+ .16+3因为 a0,b0,所以 2 =8 ,16+3 163 3当且仅当 ,即 b=4a 时取等号.16=3 3所以 =16+ 16+8 .(2+1)(1+2) 16+3 310.A 解析 因为 2x2-axy+y2 0,且 y0,所以 2 -a +10.()2 令 t= ,则不等式变为 2t2-at+10.由 x1,2,y1,3,可知 t ,13,2即 2t2-at+10 在 t 时恒成立.13,2由 2t2-at+10 可得 a ,即 a2t+ .22+1 1又 2t+ 2 =2 ,1 21 2当且仅
8、当 2t= ,即 t= 时等号成立,所以 2t+ 取得最小值 2 ,所以有 a2 ,故选 A.1 22 1 2 211. 解析 a-3b+6=0,14 a-3b=-6. a,bR, 2a0, 0.18 2a+ 2 =2 ,18 2-3 2-6=14当且仅当 2a= ,即 a=-3,b=1 时取等号.1812.解 xy0,x+y=1, =2+ = 2+ ,4+3+1-=2(+3+-)+3 +3+-2(-) 2(-)+3+12+32(-) 2(-)+3+32(-)+52 52=92当且仅当 ,2(-)+3=+32(-)即 x= ,y= 时等号成立 .56 16 的最小值是 .4+3+1- 9213
9、.解 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元,所以 x 千件商品的销售额为(0 .051 000x)万元.依题意得,当 0x80 时,L (x)=(0.051 000x)- x2-10x-250=- x2+40x-250;13 13当 x80 时,L(x)=(0.051 000x)- 51x- +1 450-250=1 200- ,10 000 (+10 000)则 L(x)=-132+40-250,080,1 200-(+10 000),80. (2)当 0x80 时 ,L(x)=- (x-60)2+950,此时,当 x=60 时,L( x)取得最大值 L(60)=950.13当 x80
10、时,L(x)=1 200- 1 200-2 =1 200-200=1 000,当且仅当 x= ,即 x=100(+10 000) 10 000 10 000时,L(x)取得最大值 1 000.因为 9501 000,所以当年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大 ,最大利润为1000 万元.14.C 解析 由正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,可得 c=a2-ab+4b2.故 -12 -1=3,当且仅当 a=2b 时取等号.=2-+42 =+4 4则当 a=2b 时, 取得最小值,且 c=6b2.因此,a+b-c=2b+b-6b 2=-6b2+3b=-6 ,当 b= 时,a+b-c 有最大值为 .故选 C.(-14)2+38 14 38