1、考点规范练 13 导数的概念及运算一、基础巩固1.已知函数 f(x)= +1,则 的值为 ( )3 0(1-)-(1)A.- B. C. D.013 13 232.已知 f(x)= x2+2xf(2 018)+2 018ln x,则 f(2 018)等于( )12A.2 018 B.-2 019 C.2 019 D.-2 0183.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是( )A.y=2x-1 B.y=xC.y=3x-2 D.y=-2x+34.如图,已知 y=f(x)是可导函数,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(
2、x)在 x=3 处的切线.若 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)=( )A.-1 B.0C.2 D.45.已知曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x-1,则点 P 的坐标为( )A.(1,3) B.(-1,3)C.(1,3)和 (-1,3) D.(1,-3)6.已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,2),则 ab 等于( )A.-8 B.-6 C.-1 D.57.若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 ,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数具有 T 性质的是(
3、 )A.y=sin x B.y=ln xC.y=ex D.y=x38.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于( )154A.-1 或- B.-1 或2564 214C.- 或- D.- 或 774 2564 749.已知函数 f(x)= ,其导函数记为 f(x),则 f(2 018)+f(2 018)+f(-2 018)-f(-2 018)= (+1)2+2+1. 10.已知直线 ax-by-3=0 与曲线 f(x)=xex 在点 P(1,e)处的切线垂直,则 = . 11.若曲线 y=aln x(a0)在 x=1 处的切线与两坐标轴围成的三
4、角形的面积为 4,则 a= . 12.若曲线 f(x)= x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 12二、能力提升13.若函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示 ,则 y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )14.若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值为( )A.1 B. 2C. D.22 315.已知函数 f(x)在区间(0,+)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f(2 018)=( )A.1 B.2C. D.12 018 2 0192 01816.设函数 f(x)=ax-
5、2-ln x(aR ),若曲线 y=f(x)在点(e,f (e)处的切线为 x-ey+b=0,则 a= ,b= . 17.若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 三、高考预测18.曲线 y= 在点 (4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )12A. e2 B.4e292C.2e2 D.e2考点规范练 13 导数的概念及运算1.A 解析 =- =-f(1)=- =- . 0(1-)-(1) 0(1-)-(1)- (131-23) 132.B 解析 因为 f(x)= x2+2xf(2 018)+2 018ln x,12
6、所以 f(x)=x+2f(2 018)+ ,2 018所以 f(2 018)=2 018+2f(2 018)+ .2 0182 018即 f(2 018)=-(2 018+1)=-2 019.3.C 解析 令 x=1,得 f(1)=1.令 2-x=t,可得 x=2-t,将其代入 f(2-x)=2x2-7x+6,得 f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得 f(t)=2t2-t,即 f(x)=2x2-x, f(x)=4x-1, f(1)=1,f(1)=3, 所求切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2.4.B 解析 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于
7、- ,故 f(3)=- .13 13 g(x)=xf(x), g(x)=f(x)+xf(x), g(3)=f(3)+3f(3).又由题图可知 f(3)=1, g(3)=1+3 =0.(-13)5.C 解析 f(x)=x3-x+3, f(x)=3x2-1.设点 P(x,y),则 f(x)=2,即 3x2-1=2,解得 x=1 或 x=-1,故 P(1,3)或( -1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1 上,符合题意.故选 C.6.A 解析 由题意得直线 y=kx+1 过点 A(1,2),故 2=k+1,即 k=1. y=3x2+a,且直线 y=kx+1 与曲线 y=
8、x3+ax+b 相切于点 A(1,2), k=3+a,即 1=3+a, a=-2.将点 A(1,2)代入曲线方程 y=x3+ax+b,可解得 b=3,即 ab=(-2)3=-8.故选 A.7.A 解析 设曲线上两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),由导数的几何意义可知,两条切线的斜率分别为 k1=f(x1),k2=f(x2).若函数具有 T 性质,则 k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A 项,f(x)=cos x,显然 k1k2=cos x1cos x2=-1 有无数组解,所以该函数具有性质 T;B 项,f(x )= (x0),显然 k1k2= =-1 无解,故该函数不具有性质 T;1
9、 1112C 项,f(x )=ex0,显然 k1k2= =-1 无解,故该函数不具有性质 T;12D 项,f(x)=3x 2 0,显然 k1k2=3 3 =-1 无解,故该函数不具有性质 T.21 22综上,选 A.8.A 解析 因为 y=x3,所以 y=3x2.设过点(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x 0, ),30则在该点处的切线斜率为 k=3 ,所以切线方程为 y- =3 (x-x0),即 y=3 x-2 .20 30 20 20 30又点(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= .32当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切,可得 a=- ;154 25
10、64当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切,可得 a=-1.32 274 274 1549.2 解析 f(x)=1+ ,2+2+1 f(x)= ,可知 f(x)是偶函数,22+2+2+-42-2(2+1)2 f(2 018)-f(-2 018)=0.又 f(2 018)+f(-2 018)= = =2,(2 018+1)2+2 0182 0182+1 +(1-2 018)2+(-2 018)(-2 018)2+1 2(2 0182+1)2 0182+1 f(2 018)+f(2 018)+f(-2 018)-f(-2 018)=2.10.- 解析 对函数 f(x)=xe
11、x 求导可得 f(x)=xex+x(ex)=ex(x+1),则函数 f(x)=xex 在点 P(1,e)处的切线12的斜率为 k=f(1)=e1(1+1)=2e.又直线 ax-by-3=0 与切线垂直,则有 =- . 1211.8 解析 由 y=aln x,可得 y= .故曲线 y=aln x 在 x=1 处的切线的斜率 k=a.又 f(1)=aln 1=0,所以切点为(1,0),所以切线方程为 y=a(x-1).令 y=0,得 x=1;令 x=0,得 y=-a.故围成的三角形的面积 S= a1=4,解得 a=8.1212.2,+) 解析 f(x)= x2-ax+ln x,12 f(x)=x-
12、a+ .1 曲线 f(x)存在垂直于 y 轴的切线, f(x)存在零点, x+ -a=0 有解 ,1 a=x+ 2( x0).113.D 解析 由 y=f(x)的图象知 y=f(x)在(0,+ )内单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0,+)内也单调递减,故可排除 A,C.又由题图知 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D.14.B 解析 因为定义域为(0, +),所以 y=2x- .令 2x- =1,解得 x=1,则曲线在点 P(1,1)处的切线方程1 1为 x-y=
13、0,所以两平行线间的距离为 d= .故所求的最小值为 .22=2 215.D 解析 令 ex=t,则 x=ln t,所以 f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x.所以 f(x)= +1.所以 f(2 018)= +1=1 12 018.故选 D.2 0192 01816. -2e 解析 f(x)=ax-2-ln x(aR),2 f(x)=a- .1=-1又曲线 y=f(x)在点(e,f(e)处的切线的斜率为 ,1 f(e)= .-1 =1 a= . f(e)=ae-2-ln e=-1.2由切点(e, -1)在切线上,可得 b=-2e.17.1-ln 2 解析 对函数 y=ln x+
14、2 求导,得 y= .对函数 y=ln(x+1)求导,得 y= .1 1+1设直线 y=kx+b 与曲线 y=ln x+2 相切于点 P1(x1,y1),与曲线 y=ln(x+1)相切于点 P2(x2,y2),则 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点 P1(x1,y1)在切线上,得 y-(ln x1+2)= (x-x1).由点 P2(x2,y2)在切线上,得 y-ln(x2+1)= (x-x2).因为这11 12+1两条直线表示同一条直线,所以11= 12+1,(2+1)= 1+22+1+1,解得 x1= ,x2=- .12 12所以 k= =2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.1118.D 解析 y= , 切线斜率 k= e2.1212 12124=12 切线方程为 y-e2= e2(x-4).12令 x=0,得 y=-e2;令 y=0,得 x=2.故所求三角形的面积为 S= 2|-e2|=e2.12