1、考点规范练 23 等差数列及其前 n 项和一、基础巩固1.已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和,a 2+a8=6,则 S9 等于( )A. B.27 C.54 D.1082722.张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按 30 天计)共织布 390 尺,最后一天织布 21 尺”,则该女第一天织布多少尺?( )(注: 尺是中国古代计量单位,1 米=3 尺 )A.3 B.4 C.5 D.63.已知在每项均大于零的数列a n中,首项 a1=1,且前 n 项和 Sn 满足 Sn -Sn-11 =2 (nN *,且 n 2),则 a81 等
2、于( ) -1A.638 B.639 C.640 D.6414.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且 a10,a3+a100,a6a70 的最大自然数 n 的值为( )A.6 B.7 C.12 D.135.若等差数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 a2+S3=4,a3+S5=12,则 a4+S7 的值是( )A.20 B.36 C.24 D.726.已知a n为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a2=2,S9=9,则 a8= . 7.已知在数列a n中,a 1=1,a2=2,其前 n 项和为 Sn.当整数 n2 时,S n+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则 S15=
3、. 8.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110.(1)求 a 及 k 的值;(2)设数列b n的通项 bn= ,证明:数列b n是等差数列,并求其前 n 项和 Tn.二、能力提升9.已知函数 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且 f(x)在(- 1,+)内单调,若数列 an是公差不为 0 的等差数列,且 f(a50)=f(a51),则数列a n的前 100 项的和为( )A.-200 B.-100 C.-50 D.010.等差数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值是( )A.5 B.6 C.7
4、 D.811.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn,a20,a6a70,a70,a1+a13=2a70,S130 的最大自然数 n 的值为 12.5.C 解析 由 a2+S3=4 及 a3+S5=12,得 解得41+4=4,61+12=12, 1=0,=1,所以 a4+S7=8a1+24d=24.故选 C.6.0 解析 an为等差数列 ,Sn 为其前 n 项和,a 2=2,S9=9, 2=1+=2,9=91+982=9,解得 d=- ,a1= ,13 73 a8=a1+7d=0.7.211 解析 由 Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得( Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=
5、2,即 an+1-an=2(n2), 数列a n从第二项起构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列,则 S15=1+214+ 2=211.141328.(1)解 设该等差数列为 an,则 a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2,所以 Sk=ka1+ d=2k+ 2=k2+k.(-1)2 (-1)2由 Sk=110,得 k2+k-110=0,解得 k=10 或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10.(2)证明 由(1)得 Sn= =n(n+1),(2+2)2则 bn= =n+1,故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列b
6、n是首项为 2,公差为 1 的等差数列,所以 Tn= .(2+1)2 =(+3)29.B 解析 因为函数 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,函数 f(x)在(-1,+ )内单调,所以 f(x)在(- ,-1)内也单调,且数列a n是公差不为 0 的等差数列.又 f(a50)=f(a51),所以 a50+a51=-2,所以 S100= =50(a50+a51)=-100.100(1+100)210.C 解析 (方法一)由 S3=S11,得 a4+a5+a11=0,根据等差数列的性质,可得 a7+a8=0.根据首项等于13 可推知这个数列为递减数列,从而得到 a70,a80, a3a4, a
7、3=9,a4=13, 1+2=9,1+3=13, 1=1,=4. 通项公式 an=4n-3.(2)由(1)知 a1=1,d=4, Sn=na1+ d(-1)2=2n2-n=2 .(-14)218 当 n=1 时,S n 最小,最小值为 S1=a1=1.(3)由(2)知 Sn=2n2-n, bn= ,+=22-+ b1= ,b2= ,b3= .11+ 62+ 153+ 数列b n是等差数列, 2b2=b1+b3,即 2= ,62+ 11+153+ 2c2+c=0, c=- (c=0 舍去),故 c=- .12 1213.解 (1) a4=2a2,且 a1,4,a4 成等比数列, 解得1+3=2(1+),1(1+3)=16, 1=2,=2. 数列a n的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2) n 同时满足: 20n116; n 能够被 5 整除, 满足条件的 n 组成等差数列b n,且 b1=20,d=5,bn=115, 项数为 +1=20.115-205 bn的所有项的和为 S20=2020+ 20195=1 350.12又 an=2n,即 an=2bn, 满足条件的所有 an 的和为2S20=21 350=2 700.