1、考点规范练 33 直线、平面平行的判定与性质一、基础巩固1.对于空间的两条直线 m,n 和一个平面 ,下列命题中的真命题是( )A.若 m ,n,则 mn B.若 m,n,则 mnC.若 m,n,则 mn D.若 m ,n,则 mn2.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB平面MNP 的图形的序号是( )A. B. C. D.3.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE EB=CF FB=1 2,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( )A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定4.平面
2、平面 的一个充分条件是 ( )A.存在一条直线 a,a,aB.存在一条直线 a,a,aC.存在两条平行直线 a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线 a,b,a,b,a,b5.已知平面 和不重合的两条直线 m,n,下列选项正确的是 ( )A.如果 m,n,m,n 是异面直线,那么 nB.如果 m,n 与 相交,那么 m,n 是异面直线C.如果 m,n,m,n 共面,那么 mnD.如果 m ,nm,那么 n6.设 l,m,n 表示不同的直线, 表示不同的平面,给出下列四个命题: 若 ml,且 m,则 l; 若 ml,且 m,则 l; 若 =l,=m,=n,则 lmn; 若 =m,=l,=n,且
3、 n,则 lm.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.47.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线 ,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 条. 8.如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B平面 B1CD,则A1D DC1 的值为 . 9.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心 ,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,则点Q 满足条件 时,有平面 D1BQ平面 PAO. 10. 如图所示,已知四边形 ABCD 是正方形,四边形 ACEF 是
4、矩形,AB=2,AF=1,M 是线段 EF 的中点.(1)求证:MA平面 BDE.(2)若平面 ADM平面 BDE=l,平面 ABM平面 BDE=m,试分析 l 与 m 的位置关系,并证明你的结论.11.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 E 在线段 B1C1 上,B 1E=3EC1,试探究:在 AC 上是否存在点 F,满足EF平面 A1ABB1?若存在,请指出点 F 的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.二、能力提升12.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A.
5、B. C. D.32 22 33 1313. 如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题: 没有水的部分始终呈棱柱形; 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; 棱 A1D1 始终与水面所在平面平行 ; 当容器倾斜如图所示时,BEBF 是定值.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.414. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 BCAC,BAC= ,AC=4,M 为 AA1 的中点,点 P 为 BM 的中点,Q3在线段 CA1 上,且 A1Q=3QC,则 P
6、Q 的长度为 . 15. 如图,已知四棱锥 P-ABCD,PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形 ,BCAD,CDAD , PC=AD=2DC=2CB,E 为 PD 的中点.(1)证明:CE平面 PAB;(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.三、高考预测16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABC=ACD= 90,BAC=CAD=60,PA平面 ABCD, PA=2,AB=1.设 M,N 分别为 PD,AD 的中点.(1)求证:平面 CMN平面 PAB;(2)求三棱锥 P-ABM 的体积.考点规范练 33 直线、平面平行的判定与性质1.D 解析 对 A,直线 m,n 可能平
7、行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行,也可能异面,故 B 错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误; 对 D,垂直于同一平面的两直线平行,故 D 正确.2.C 解析 对于图形 ,平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行,即可得到 AB平面 MNP;对于图形 ,ABPN,即可得到 AB平面 MNP;图形 无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.3.A 解析 如图,由 ,=得 ACEF.又因为 EF平面 DEF,AC平面 DEF,所以 AC平面 DEF.4.D 解析 若 =l,al,a ,a,则 a,a,故排除 A.若 =l,a,al,则 a ,故排除 B
8、.若 =l,a,al,b ,bl,则 a,b,故排除 C.选 D.5.C 解析 如图(1) 可知 A 错; 如图(2) 可知 B 错;如图(3),m ,n 是 内的任意直线,都有 nm ,故 D 错. n, n 与 无公共点, m, n 与 m 无公共点,又 m,n 共面, mn,故选 C.6.B 解析 对 ,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直 ,故 正确;对 ,直线l 可能在平面 内,故 错误;对 ,三条交线除了平行,还可能相交于同一点,故 错误;对 ,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上 正确.故选 B.7.6 解析 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任
9、意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1 的中点分别为E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条.8.1 解析 设 BC1B1C=O,连接 OD. A1B平面 B1CD 且平面 A1BC1平面 B1CD=OD, A1BOD. 四边形 BCC1B1 是菱形, O 为 BC1 的中点, D 为 A1C1 的中点,则 A1D DC1=1.9.Q 为 CC1 的中点 解析 如图,假设 Q 为 CC1 的中点,因为 P 为 DD1 的中点,所以 QBPA.连接 DB,因为 P,O 分别是 DD1,D
10、B 的中点,所以 D1BPO.又 D1B平面 PAO,QB平面 PAO,所以 D1B平面 PAO,QB平面 PAO.又 D1BQB=B,所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1 的中点时,有平面 D1BQ平面 PAO.10. (1)证明 如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE.因为 O,M 分别是 AC,EF 的中点,四边形 ACEF 是矩形,所以四边形 AOEM 是平行四边形,所以 AMOE.又因为 OE平面 BDE,AM平面 BDE,所以 AM平面 BDE.(2)解 lm.证明如下:由(1)知 AM平面 BDE,又 AM平面 ADM,平面 ADM平面 B
11、DE=l,所以 lAM.同理 ,AM平面 BDE,又 AM平面 ABM,平面 ABM平面 BDE=m,所以 mAM,所以 lm .11.解法一 当 AF=3FC 时,FE 平面 A1ABB1.证明如下:在平面 A1B1C1 内过点 E 作 EGA 1C1 交 A1B1 于点 G,连接 AG.因为 B1E=3EC1,所以 EG= A1C1.34又因为 AFA 1C1,且 AF= A1C1,34所以 AF EG,所以四边形 AFEG 为平行四边形,所以 EF AG.又因为 EF平面 A1ABB1,AG平面 A1ABB1,所以 EF平面 A1ABB1.解法二 当 AF=3FC 时,EF 平面 A1A
12、BB1.证明如下:在平面 BCC1B1 内过点 E 作 EGBB 1 交 BC 于点 G,因为 EGBB 1,EG平面 A1ABB1,BB1平面 A1ABB1,所以 EG平面 A1ABB1.因为 B1E=3EC1,所以 BG=3GC,所以 FGAB.又因为 AB平面 A1ABB1,FG平面 A1ABB1,所以 FG平面 A1ABB1.又因为 EG平面 EFG,FG平面 EFG,EGFG=G,所以平面 EFG平面 A1ABB1.因为 EF平面 EFG,所以 EF平面 A1ABB1.12.A 解析 (方法一) 平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 ABCD=m,平面 CB1
13、D1平面 A1B1C1D1=B1D1, mB 1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1,平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面DCC1D1=CD1, nCD 1. B1D1,CD1 所成的角等于 m,n 所成的角,即B 1D1C 等于 m,n 所成的角. B1D1C 为正三角形, B 1D1C=60, m,n 所成的角的正弦值为 .32(方法二) 由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1 平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 ,m 即为 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即
14、为 m 与 n 所成的角.因为AEF 是正三角形 ,所以EAF=60 ,故 m,n 所成角的正弦值为 .3213.C 解析 由题图,显然 是正确的, 是错误的;对于 , A1D1BC,BCFG, A1D1FG ,且 A1D1平面 EFGH,FG平面 EFGH, A1D1平面 EFGH(水面). 是正确的;对于 , 水是定量的(定体积 V), SBEFBC=V,即 BEBFBC=V.12 BEBF= (定值),即 是正确的,故选 C.214. 解析 由题意知,AB=8,过点 P 作 PDAB 交 AA1 于点 D,连接 DQ,则 D 为 AM 的中点,13PD= AB=4.12又因为 =3,1=
15、1所以 DQAC,PDQ= ,DQ= AC=3,3 34在PDQ 中,PQ= .42+32-243 3=1315.(1)证明 如图,设 PA 的中点为 F,连接 EF,FB.因为 E,F 分别为 PD,PA 的中点,所以 EFAD ,且 EF= AD,12又因为 BCAD,BC= AD,12所以 EFBC,且 EF=BC,即四边形 BCEF 为平行四边形,所以 CEBF.因此 CE平面 PAB.(2)解 分别取 BC,AD 的中点为 M,N,连接 PN 交 EF 于点 Q,连接 MQ,因为 E,F,N 分别是 PD,PA,AD 的中点,所以 Q 为 EF 中点 .在平行四边形 BCEF 中,M
16、Q CE.由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD,N 是 AD 的中点得 BNAD.所以 AD平面 PBN.由 BCAD 得 BC平面 PBN,那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线 ,垂足为 H,连接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影,所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角.设 CD=1.在PCD 中,由 PC=2,CD=1,PD= 得 CE= ,2 2在PBN 中,由 PN=BN=1,PB= 得 QH= ,314在 RtMQH 中,QH= ,MQ= ,14 2所以 sinQMH= .28所以,直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦
17、值是 .2816.(1)证明 M,N 分别为 PD,AD 的中点, MNPA.又 MN平面 PAB,PA平面 PAB, MN平面 PAB.在 RtACD 中,CAD=60,CN=AN, ACN=60.又BAC=60, CNAB . CN平面 PAB,AB平面 PAB, CN平面 PAB. CNMN=N,CN,MN平面 CMN, 平面 CMN平面 PAB.(2)解 由(1)知,平面 CMN平面 PAB, 点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离.由已知得,AB=1,ABC=90,BAC= 60, BC= ,3 三棱锥 P-ABM 的体积 V=V 三棱锥 M-PAB=V 三棱锥 C-PAB=V 三棱锥 P-ABC= 1 2= .1312 3 33