1、考点规范练 46 随机事件的概率一、基础巩固1.在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了 100 次,“正面朝上”的频数为 51,则“正面朝上”的频率为( )A.49 B.0.5 C.0.51 D.0.492.从 16 个同类产品(其中有 14 个正品,2 个次品) 中任意抽取 3 个,下列事件的概率为 1 的是( )A.三个都是正品B.三个都是次品C.三个中至少有一个是正品D.三个中至少有一个是次品3.从 1,2,9 中任取两个数,其中: 恰有一个偶数和恰有一个奇数; 至少有一个奇数和两个数都是奇数; 至少有一个奇数和两个数都是偶数 ; 至少有一个奇数和至少有一个偶数 .在上述事件中,是对立事件的是
2、( )A. B. C. D.4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在160,175(单位 :cm)内的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( )A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.85.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为 ,乙37夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 146.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为 ,取得两个绿球的概率为 ,则取得两个同颜色的球的概率
3、为 ;至715 115少取得一个红球的概率为 . 7.某班选派 5 人参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数/人 0 1 2 3 4 5概 率 0.1 0.16 x y 0.2 z(1)若获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56,求 x 的值;(2)若获奖人数最多 4 人的概率为 0.96,最少 3 人的概率为 0.44,求 y,z 的值.8.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:派出人数 小于等于 2 3 4 5 大于等于 6概 率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04(1)求有 4 人或 5 人外出家访
4、的概率;(2)求至少有 3 人外出家访的概率.二、能力提升9.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,统计结果如图:(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 h 的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 h,试估计该产品是甲品牌的概率 .10.袋中有除颜色外其他完全相同的 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,则得到黑13 512 512球、黄球和绿球的概率各是多少?11.某人在如图所示的直角
5、边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物 .根据历年的种植经验,一株该作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近” 作物株数 X 之间的关系如表所示.这里两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米.X 1 2 3 4Y 51 48 45 42(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量:Y 51 48 45 42频数 4(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg 的概率.三、高考预测12.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标
6、准 x(单位:吨),一名居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 名居民每人的月均用水量(单位 :吨),将数据按照0,0 .5),0.5,1),4,4.5分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中 a 的值;(2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x.估计 x 的值,并说明理由.考点规范练 46 随机事件的概率1.C 解析 由题意,根据事件发生的频率的定义可知 ,“正面朝上”的频率为 =
7、0.51.511002.C 解析 在 16 个同类产品中 ,只有 2 个次品,可知抽取 3 个产品,A 是随机事件,B 是不可能事件,C 是必然事件,D 是随机事件,又必然事件的概率为 1,故 C 正确.3.C 解析 从 9 个数字中取两个数有三种情况:一奇一偶,两奇,两偶,故只有 中两事件是对立事件.4.B 解析 因为必然事件发生的概率是 1,所以该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1-0.2-0.5=0.3,故选 B.5. 解析 因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“ 乙夺得冠1928军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法
8、公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .37+14=19286. 解析 由于“ 取得两个红球” 与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为 P= .715+115=815由于事件 A“至少取得一个红球” 与事件 B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1- .115=14157.解 记“在竞赛中,有 k 人获奖” 为事件 Ak(kN,k5),则事件 Ak 彼此互斥.(1)因为获奖人数不超过 2 人的概率为 0.56,所以 P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=
9、0.56.解得 x=0.3.(2)由获奖人数最多 4 人的概率为 0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即 z=0.04.由获奖人数最少 3 人的概率为 0.44,得 P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即 y+0.2+0.04=0.44.解得 y=0.2.8.解 (1)设派出 2 人及以下为事件 A,3 人为事件 B,4 人为事件 C,5 人为事件 D,6 人及以上为事件 E,则有 4 人或 5 人外出家访的事件为事件 C 或事件 D,C,D 为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有 3 人外出家访
10、的对立事件为 2 人及以下,所以由对立事件的概率可知 ,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.9.解 (1)甲品牌产品寿命小于 200 h 的频率为 ,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命5+20100=14小于 200 h 的概率为 .14(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于 200 h 的两种品牌产品共有 75+70=145(个), 其中甲品牌产品有 75 个,所以在样本中,寿命不低于 200 h 的产品是甲品牌的频率是 .据此估75145=1529计已使用了 200 h 的该产品是甲品牌的概率为 .152910.解 (方法一 )从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”
11、“摸到绿球” 分别为 A,B,C,D,则有 P(A)= ,P(BC )=P(B)+P(C)= ,13 512P(CD) =P(C)+P(D)= ,P(BC D )=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- ,解得 P(B)= ,P(C)512 13=23 14= ,P(D)= ,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 .16 14 14,16,14(方法二) 设红球有 n 个,则 ,解得 n=4,即红球有 4 个.12=13因为得到黑球或黄球的概率是 ,所以黑球和黄球共有 5 个 .512又总球数是 12,所以绿球有 12-4-5=3 个.又得到黄球或绿球的概率也是 ,所以黄球和绿球共有
12、 5 个 ,而绿球有 3 个,所以黄球有 5-5123=2 个.所以黑球有 12-4-3-2=3 个.因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 .312=14,212=16,312=1411.解 (1)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15,其中“ 相近 ”作物株数为 1 的作物有 2 株,“ 相近”作物株数为 2 的作物有 4 株,“相近” 作物株数为 3 的作物有 6 株,“相近” 作物株数为 4 的作物有 3 株,列表如下:Y 51 48 45 42频数 2 4 6 3所种作物的平均年收获量为 =46.512+484+456+42315 =69015(2)由(1)知,P( Y=51)=
13、 ,P(Y=48)= .215 415故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48 kg 的概率为P(Y48)=P( Y=51)+P(Y=48)= .215+415=2512.解 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在0,0 .5)中的频率为 0.080.5=0.04,同理,在0.5,1),1 .5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5)中的频率分别为 0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由 0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1,解得 a=0.30.(2)由(1),100 名居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.12=36 000.(3)因为前 6 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85,而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85,所以 2.5x 3.由 0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得 x=2.9.所以,估计月用水量标准为 2.9 吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.