1、考点规范练 49 二项分布与正态分布一、基础巩固1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ,则 p= ( )18 940A. B. C. D.110 215 16 152.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,32),且 P(X1) =0.30,则 P(20),若 在(80,120) 内的概率为 0.7,则他的速度超过 120 的概率为 ( )A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.27.甲射击命中目标的概率是 ,乙射击命中目标的概率是 ,丙射击命中目标的概率是 .
2、现在三人同时射12 13 14击目标,则目标被击中的概率为( )A. B. C. D.34 23 45 7108.某集装箱内有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,若两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.若有 4 人参与摸奖,则恰好有 3 人获奖的概率是( )A. B. C. D.16625 96625 624625 46259.1 000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N(530,502),则成绩在 630 分以上的考生人数约为 .(注:正态分布 N(,2)在区间( -,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别为 0.68
3、2 7,0.954 5,0.997 3) 10.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 .现安排甲组研发新产品 A,23和 35乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立 .(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品 A 研发成功,则预计企业可获利润 120 万元; 若新产品 B 研发成功,则预计企业可获利润100 万元.求该企业可获利润的分布列.11.某架飞机载有 5 位空降兵依次空降到 A,B,C 三个地点,每位空降兵都要空降到 A,B,C 中的任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是 ,用 表示地点 C 空降人数,求:13(1)地点 A 空降 1 人
4、,地点 B,C 各空降 2 人的概率;(2)随机变量 的分布列.二、能力提升12.设事件 A 在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件 A 至少发生一次的概率为 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为( )6364A. B. C. D.14 34 964 276413.在盒子里有大小相同,仅颜色不同的球共 10 个,其中红球 4 个,白球 3 个,蓝球 3 个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取 3 次,过程中如果取出蓝球则不再取球.求:(1)最多取两次就结束的概率;(2)整个过程中恰好取到 2 个白球的概率;(3)设取球的次数为随机变量 X
5、,求 X 的分布列和均值.14.一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 1 个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有 3 次摸到红球即停止.(1)求恰好摸 4 次停止的概率;(2)记 4 次之内(含 4 次)摸到红球的次数为 X,求随机变量 X 的分布列.三、高考预测15.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立.23 13(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列.考点规范练 49 二项分
6、布与正态分布1.B 解析 由题意,得 (1-p)+ p= ,18 78 940故 p= ,故选 B.2152.A 解析 因为该正态密度曲线的对称轴方程为 x=2,所以 P(X3) =P(X1)=0.30,所以 P(1120)=1-P(80120)= P(120)=0.15.12则他的速度超过 120 的概率为 0.15.故选 C.7.A 解析 设“甲命中目标” 为事件 A,“乙命中目标”为事件 B,“丙命中目标”为事件 C,则击中目标表示事件 A,B,C 中至少有一个发生.又 P( )=P( )P( )P( )=1-P(A)1-P(B)1-P(C)= , (1-12)(1-13)(1-14)=
7、14故击中的概率为 1-P( )= .348.B 解析 由题意知,获奖的概率为 P= ,记获奖的人数为 ,则 B ,所以 4 人中恰好有 3 人626=25 (4,25)获奖的概率 P(=3)= .34(25)335=966259.23 解析 由题意可知 =530,=50,在区间(430,630) 的概率为 0.954 5,故成绩在 630 分以上的概率为 0.023,因此成绩在 630 分以上的考生人数约为 1 0000.023=23.1-0.954 5210.解 记 E=甲组研发新产品成功, F=乙组研发新产品成功.由题设知 P(E)= ,P( )= ,P(F)= ,P( )23 13 3
8、5 = ,且事件 E 与 F,E 与 与 F, 都相互独立.25 , 与 (1)记 H=至少有一种新产品研发成功,则 ,于是 P( )=P( )P( )= .= 1325=215故所求的概率为 P(H)=1-P( )=1- .215=1315(2)设企业可获利润为 X 万元,则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为 P(X=0)=P( )= , 1325=215P(X=100)=P( F)= ,1335=15P(X=120)=P(E )= ,2325=415P(X=220)=P(EF)= .2335=25故所求 X 的分布列为X 0 100 120 220P 215 15 415
9、 2511.解 (1)设“地点 A 空降 1 人,地点 B,C 各空降 2 人”为事件 M,易知基本事件的总数 n=35=243 个,事件 M 发生包含的基本事件 m= =30 个.1524故所求事件 M 的概率 P(M)= .=30243=1081(2)依题意,5 位空降兵空降到地点 C 相当于 5 次独立重复试验. B ,且 的取值可能为 0,1,2,3,4,5.(5,13)则 P(=k)= .5(13)(1-13)5- P(=0)= ,P(=1)= ,05(13)0(1-13)5=32243 15(13)(1-13)4=80243P(=2)= ,P(=3)= ,25(13)2(23)3=
10、80243 35(13)3(23)2=40243P(=4)= ,P(=5)= .45(13)4(1-13)=10243 55(13)5=1243 随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 5P 32243 80243 80243 40243 10243 124312.C 解析 假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功, 设每次试验成功的概率为 p,由题意得,事件A 发生的次数 XB(3,p),则有 1-(1-p)3= ,得 p= ,故事件 A 恰好发生一次的概率为6364 34.1334(1-34)2=96413.解 (1)设取球的次数为 ,则 P(=1)= ,13110=310P(=2)=
11、 ,1711013110=21100所以最多取两次就结束的概率为P(=1)+P(=2)= .51100(2)由题意可知,可以如下取球方式:红白白,白红白,白白红,白白蓝,故恰好取到 2 个白球的概率为 3+ .410310310 310310310=1351 000=27200(3)随机变量 X 的取值为 1,2,3,P(X=1)= ,310P(X=2)= ,710310=21100P(X=3)= ,710710(310+710)=49100随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 310 21100 49100X 的均值 E(X)=1 +2 +3 .310 2110049100=219100
12、14.解 (1)设事件“ 恰好摸 4 次停止” 的概率为 P,则P= .23(14)23414=9256(2)由题意,得 X=0,1,2,3,P(X=0)= ,04(34)4=81256P(X=1)= ,1414(34)3=2764P(X=2)= ,24(14)2(34)2=27128P(X=3)=1- ,81256276427128=13256 X 的分布列为X 0 1 2 3P 81256 2764 27128 1325615.解 用 A 表示“甲在 4 局以内( 含 4 局)赢得比赛”,A k表示 “第 k 局甲获胜”,B k表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,
13、k=1,2,3,4,5.23 13(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)= .(23)2+13(23)2+2313(23)2=5681(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= ,59P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= ,29P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= ,1081P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .881故 X 的分布列为X 2 3 4 5P 59 29 1081 881