1、22 二项分布及其应用22.1 条件概率1.通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义 2.掌握求条件概率的两种方法3利用条件概率公式解决一些简单的问题1条件概率条件 设 A，B 为两个事件，且 P(A)0含义 在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记作 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率计算公式 事件个数法：P(B| A)n（AB）n（A）定义法：P(B|A) P（AB）P（A）2.条件概率的性质(1)P(B|A)0 ，1 (2)如果 B 与 C 是两个互斥事件，则 P(BC| A)P (B|A)P(C| A)注意 (1)前提条件：P(A )0.(2)P(BC|A)
2、 P(B |A)P(C| A)，必须 B 与 C 互斥，并且都是在同一个条件 A 下判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)若事件 A，B 互斥，则 P(B|A)1.( )(2)P(B|A)与 P(A|B)不同( )答案：(1) (2) 已知 P(AB) ，P(A ) ，则 P(B|A)为( )310 35A. B. C. D.950 12 910 14答案：B由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件 A 表示“第二位数字为 0”，用事件 B 表示“第一位数字为 0”，则 P(A|B)等于( )A. B. C. D.12 13 14 18答案：A一个盒子里有 6 只好晶体管，4 只坏晶
3、体管，任取两次，每次取 1 只，每次取出后不放回，则若已知第一次取出的是好的，则第二次取出的也是好的概率为_答案：59探究点 1 利用定义求条件概率甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录知道，甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问：(1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地为雨天的概念是多少？【解】 设“甲地为雨天”为事件 A， “乙地为雨天”为事件 B，根据题意，得P(A)0.2，P(B) 0.18，P(AB) 0.12.(1)乙地为雨天时甲地为雨天的概率是P(A|B)P（AB）P（B） .0.120.18 23(
4、2)甲地为雨天时乙地为雨天的概率是P(B|A) .P（AB）P（A） 0.120.2 35利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率 P(AB)和 P(A)(2)将它们相除得到条件概率 P(B|A) ，这个公式适用于一般情形 ，其中 AB 表示P（AB）P（A）A，B 同时发生 如图，EFGH 是以 O 为圆心，1 为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 HOE(阴影部分)内 ”，则 P(A)_，P(B |A)_解析：因为圆的半径为 1，所以圆的面积 Sr 2，正方形 EFGH 的面积为 2，所(2r2)
5、2以 P(A) .2P(B|A)表示事件“已知豆子落在正方形 EFGH 中，则豆子落在扇形 HOE(阴影部分) ”的概率，所以 P(B|A) .14答案： 2 14探究点 2 缩小基本事件范围求条件概率集合 A1，2，3，4 ，5，6 ，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率【解】 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b) ，甲抽到奇数的情形有 (1，2)，(1 ，3)，(1，4)，(1 ，5)，(1，6)，(3 ，1)，(3 ，2)，(3，4) ，(3，5)，(3 ，6)，(5，1)，(5 ，2)，(5，3
6、) ，(5，4)，(5 ，6)，共 15 个，在这 15 个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1 ，2)，(1，3)，(1，4)，(1 ，5)，(1，6)，(3 ，4)，(3 ，5)，(3，6) ，(5，6)，共 9 个，所以所求概率 P 915.351变问法 本例条件不变，求乙抽到偶数的概率解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2) ，(1，4)，(1 ，6)，(3，2)，(3 ，4)，(3，6)，(5 ，2)，(5，4)，(5 ，6)，共 9 个，所以所求概率 P .915 352变条件 若甲先取( 放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4”；事件 B：“甲、乙抽到的两数之
7、和等于 7”，求 P(B|A)解：甲抽到的数大于 4 的情形有：(5，1) ，(5，2) ，(5，3)，(5，4)，(5 ，5)，(5，6) ，(6，1)，(6，2)，(6 ，3)，(6，4)，(6 ，5)，(6 ，6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有：(5，2)，(6 ，1)，共 2 个所以 P(B|A) .212 16利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB.而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A)
8、，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于缩小的基本n（AB）n（A）事件范围的 一个盒子内装有 4 个产品，其中 3 个一等品，1 个二等品，从中取两次，每次任取 1 个，作不放回抽取设事件 A 为“第一次取到的是一等品” ，事件 B 为“第二次取到的是一等品” ，试求条件概率 P(B|A)解：将产品编号为 1，2，3 号的看作一等品，4 号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第 i 号，第 j 号产品，则试验的基本事件空间 (1，2) ，(1，3)，(1 ，4)，(2，1) ，(2，3)，(2 ，4)，(3，1)，(3 ，2)，(3 ，4)，(4，1) ，(4，2)，(4 ，3
9、)，事件 A 有 9 种情况，事件 AB 有 6 种情况，P (B|A) .n（AB）n（A） 69 23探究点 3 条件概率性质的应用在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率【解】 设“摸出第一个球为红球”为事件 A， “摸出第二个球为黄球”为事件 B， “摸出第三个球为黑球”为事件 C， 则 P(A) ，P(AB) ，P( AC) .110 12109 145 13109 130所以 P(B|A) ，P( C|A) .P（AB）P（A） 145 110 29 P（AC）P（
10、A） 130 110 13所以 P(BC|A)P (B|A)P(C|A ) .29 13 59所以所求的条件概率为 .59利用条件概率性质的解题策略(1)分析条件，选择公式：首先看事件 B，C 是否互斥，若互斥，则选择公式 P(BC |A)P(B |A)P (C|A)(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个 (或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率 外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个第一个盒子中有 7 个球标有字母 A，3 个球标有字母 B，第二个盒子中有红球和白球各 5 个，第三个盒子中有
11、红球 8 个，白球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母 B 的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验为成功求试验成功的概率解：设 A 从第一个盒子中取得标有字母 A 的球 ，B 从第一个盒子中取得标有字母 B 的球 ，R 第二次取出的球是红球，W 第二次取出的球是白球，则 P(A) ，P(B) ，710 310所以 P(R|A) ，P(W|A) ，P(R|B) ，P(W |B) ，12 12 45 15所以 P(RARB)P (RA)P (RB)P( R|A)P(A)P(R|B
12、)P( B) 0.59.12 710 45 3101已知 P(B|A) ，P(A) ，则 P(AB)等于( )13 25A. B.56 910C. D.215 115解析：选 C.P(AB)P(B|A)P(A) ，故选 C.13 25 2152甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A 为“三个人去的景点不相同” ，B 为“甲独自去一个景点” ，则概率 P(A|B)等于( )A. B.49 29C. D.12 13解析：选 C.由题意可知n(B)C 2212 ，n( AB)A 6.13 3所以 P(A|B) .n（AB）n（B） 612 123考虑恰有两个小孩的家庭(1)若已知
13、某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；(2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩( 相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)解： (男，男)，(男，女)，( 女，男)，(女，女) 设 B“有男孩” ，则 B( 男，男)，( 男，女)，( 女，男)A“有两个男孩” ，则 A(男，男)，B1“第一个是男孩” ，则 B1(男，男)，( 男，女)，于是得(1)P( B) ，P (BA)P( A) ，34 14所以 P(A|B) ；P（BA）P（B） 13(2)P(B1) ，P(B 1A)P (A) ，12 14所以 P(A|B1) .P（B1A）P（B1） 12知识结构 深化拓展1.对条
14、件概率计算公式的两点说明(1)如果知道事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率，那么 P(B)P(B|A)；(2)已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当于 AB发生，要求 P(B|A)，相当于把 A 看作新的基本事件空间计算 AB 发生的概率，即 P(B|A) n（AB）n（A） .n（AB）n（）n（A）n（） P（AB）P（A）2两个区别(1)P(B|A)与 P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率；而 P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率(2)P(B|A)与 P(B)：在事件 A 发生的前
15、提下，事件B 发生的概率不一定是 P(B)，即 P(B|A)与 P(B)不一定相等., A 基础达标1已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为 0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为 0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A0.6 B0.7C0.8 D0.9解析：选 C.设“第一个路口遇到红灯 ”为事件 A， “第二个路口遇到红灯”为事件 B，则P(A)0.5，P(AB )0.4，则 P(B|A) 0.8.P（AB）P（A）2(2018西安高二检测)7 名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( )A. B.14 15C. D.
16、16 17解析：选 C.记“甲站在中间” 为事件 A， “乙站在末尾”为事件 B，则 n(A)A ，n(AB)6A ，5P(B|A) .163(2018洛阳高二检测)一盒中装有 5 个产品，其中有 3 个一等品，2 个二等品，从中不放回地取出产品，每次 1 个，取两次，已知第一次取得一等品的条件下，第二次取得的是二等品的概率是( )A. B.12 13C. D.14 23解析：选 A.设事件 A 表示“ 第一次取得的是一等品” ，B 表示“第二次取得的是二等品” 则 P(AB) ，P(A) .3254 310 35由条件概率公式知P(B|A) .P（AB）P（A）31035 124在区间(0，
17、1)内随机投掷一个点 M(其坐标为 x)，若 Ax|0x ，Bx| x ，则12 14 34P(B|A)等于 ( )A. B.12 14C. D.13 34解析：选 A.P(A) .121 12因为 AB x| x ，14 12所以 P(AB) ，141 14所以 P(B|A) .P（AB）P（A）1412 125(2018四川广安期末)甲、乙两人从 1，2，15 这 15 个数中，依次任取一个数(不放回)，则在已知甲取到的数是 5 的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是( )A. B.12 715C. D.815 914解析：选 D.设事件 A“甲取到的数是 5 的倍数” ，B“甲
18、所取的数大于乙所取的数” ，又因为本题为古典概型概率问题，所以根据条件概率可知，P(B|A) .故选 D.n（A B）n（A） 4 9 14314 9146已知 P(A)0.4，P(B) 0.5，P(A|B)0.6，则 P(B|A)为_解析：因为 P(A|B) ，P（AB）P（B）所以 P(AB)0.3.所以 P(B|A) 0.75.P（AB）P（A） 0.30.4答案：0.757抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为 3 或 6，则两骰子点数之和大于 8 的概率为_解析：令 A“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为 3 或 6”，B“两骰子点数之和大于 8”，则 A(3，1)，(3，2)
19、，(3，3)，(3 ，4)，(3，5) ，(3，6) ，(6，1)，(6 ，2)，(6，3) ，(6，4)，(6，5)，(6 ，6)，AB(3 ， 6)，(6，3) ，(6，4) ，(6，5)，(6，6)所以 P(B|A) .P（AB）P（A） n（AB）n（A） 512答案：5128从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次，每次抽 1 张已知第 1 次抽到 A，则第 2 次也抽到 A 的概率是_解析：设“第 1 次抽到 A”为事件 A， “第 2 次也抽到 A”为事件 B，则 AB 表示两次都抽到 A，P( A) ，P(AB ) ，所以 P(B|A) .452 113 43
20、5251 11317 P（AB）P（A） 117答案：1179(2018福建厦门六中高二下学期期中) 一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球有 1 个，标号为 1 的小球有 2 个，标号为 2 的小球有 n 个从袋子中任取 2 个小球，取到标号都是 2 的小球的概率是 .110(1)求 n 的值；(2)从袋子中任取 2 个球，已知其中一个的标号是 1 的条件下，求另一个标号也是 1 的概率解：(1)由题意得 ，解得 n2( 负值舍去)所以 n2.n（n 1）（n 3）（n 2） 110(2)记“一个的标号是 1”为事件 A， “另一个的标号也是 1”为事件 B，所以
21、P(B|A) .n（AB）n（A） 1710已知男人中有 5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从 100 个男人和 100 个女人中任选一人(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率解：设“任选一人是男人”为事件 A；“任选一人是女人”为事件 B， “任选一人是色盲”为事件 C.(1)P(C)P( AC)P(BC)P( A)P(C|A)P(B)P(C|B) .100200 5100 100200 0.25100 21800(2)P(A|C) .P（AC）P（C）520021800 2021B 能力提升11先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是 1，2，3，4，5，6
22、点) ，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 x，y ，记事件 A 为“xy 为偶数 ”，事件 B 为“x，y 中有偶数且xy” ，则概率 P(B|A)的值为 ( )A. B.12 13C. D.14 16解析：选 B.根据题意，事件 A 为“x y 为偶数” ，则 x，y 两个数均为奇数或偶数，共有23318 个基本事件所以事件 A 发生的概率为 P(A) ，而 A，B 同时发生，基本事件有“24”23366 12“26” “42” “46” “62” “64” ，一共有 6 个基本事件，所以事件 A，B 同时发生的概率为P(AB) ，666 16所以 P(B|A) .P（AB）P（A）1
23、612 1312从 1100 共 100 个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于 50，则此数是 2或 3 的倍数的概率为_解析：设事件 C 为“取出的数不大于 50”，事件 A 为“取出的数是 2 的倍数” ，事件 B 是“取出的数是 3 的倍数” 则 P(C) ，且所求概率为12P(AB |C)P(A|C )P(B|C)P (AB|C) P（AC）P（C） P（BC）P（C） P（ABC）P（C）2( )25100 16100 8100 .3350答案：335013一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球，那么：(1)先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？(2)先
24、摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A， “再摸出 1 个白球”为事件 B，则“先后两次摸出白球”为事件 AB， “先摸一球不放回，再摸一球”共有 43 种结果，所以 P(A) ，P(AB ) ，12 2143 16所以 P(B|A) .所以先摸出 1 个白球不放回，再摸出 1 个白球的概率为 .1612 13 13(2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 A1， “再摸出 1 个白球 ”为事件 B1， “两次都摸出白球”为事件 A1B1，P (A1) ，P( A1B1) ，所以 P(B1|A1) .所以先12 2244 14
25、 P（A1B1）P（A1）1412 12摸出 1 个白球后放回，再摸出 1 个白球的概率为 .1214(选做题) 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少能答对其中的4 道题即可通过；若能答对其中的 5 道题就能获得优秀已知某考生能答对其中的 10 道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率解：设“该考生 6 道题全答对”为事件 A， “该考生恰好答对了 5 道题”为事件 B， “该考生恰好答对了 4 道题”为事件 C， “该考生在这次考试中通过”为事件 D， “该考生在这次考试中获得优秀”为事件 E，则 DABC，EAB，且 A，B，C 两两互斥，由古典概型的概率公式知 P(D)P(ABC)P( A)P(B)P( C) ，又 ADA ，BDB，所以 P(E|D)P(AB|D)P(A |D)P( B|D) P（AD）P（D） P（BD）P（D） P（A）P（D） P（B）P（D） .1358