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2019人教A版数学选修2-3学案:2.4正态分布

1、24 正态分布1.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 2.了解变量落在区间( , ,( 2,2 ,( 3,3 的概率大小 3.会用正态分布去解决实际问题, 1正态曲线函数 , (x) e ,x ( ,),其中实数 和 (0)为参数, , (x)12 (x )222的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线2正态分布一般地,如果对于任何实数 a,b(ab) ,随机变量 X 满足 P(aXb) , (x)dx,则称ba随机变量 X 服从正态分布正态分布完全由参数 和 确定,因此正态分布常记作N(, 2),如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 XN ( , 2)参数 是反映

2、随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计; 是衡量随机变量总体波动大小 的特征数,可以用样本的标准差去估计把 0, 1 的正态分布称为标准正态分布3正态曲线的性质正态曲线 , (x) e ,xR 有以下性质:12 (x )222(1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交(2)曲线是单峰的,它关于直线 x 对称(3)曲线在 x 处达到峰值 12(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1(5)当 一定时,曲线的位置由 确定,曲线随着 的变化而沿 x 轴平移,如图.(6)当 一定时,曲线的形状由 确定, 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布

3、越 分散,如图 .4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P( X )0.682_7;P(2X 2)0.954_5;P(3X 3)0.997_3判断正误(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)函数 , (x)中参数 , 的意义分别是样本的均值与方差( )(2)正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 , 的变化而变化的( )(3)正态曲线可以关于 y 轴对称( )答案:(1) (2) (3) 设随机变量 XN(, 2),且 P(XC)P(XC),则 C( )A0 BC D答案:D已知随机变量 X 服从正态分布 N(3, 2),则 P(X3)( )A. B.15 14C. D.13 12答

4、案:D已知正态分布密度函数为 f(x) e ,x( ,) ,则该正态分布的均值为12 x24_,标准差为_答案:0 2探究点 1 正态分布密度曲线如图是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的均值和方差【解】 从正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x20 对称,最大值为 ,12所以 20, ,12 12所以 .2于是 , (x) e ,x(,) ,总体随机变量的期望是 20,方差是12 (x 20)242 ( )22. 2正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式,应抓住图象的实质,主要有两点:一是对称轴 x,二是最值 ,这两点确定以后,相应

5、参数 , 便确定了,代入便可求出相应的解析式 12若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为 .142求该正态分布的概率密度函数的解析式解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,即 0.由于 ,得 4,12 124故该正态分布的概率密度函数的解析式是, (x) e ,x( ,) 142 x232探究点 2 利用正态分布的性质求概率设 XN(1,2 2),试求:(1)P(1X3);(2)P(3X5) 【解】 因为 XN(1,2 2),所以 1,2.(1)P(1X3)P (12X12)P(X )0.682 7.(2)因为 P(3X5)P (3X1)

6、,所以 P(3X5) P(3X 5)P(1X3)12 P(14X14)P(1 2X12)12 P(2 X 2)P( X )12 (0.954 50.682 7)0.135 9.12变问法 在本例条件下,试求 P(X5)解:因为 P(X5)P(X3),所以 P(X5) 1P(3 X5)12 1P (14 X14)12 1P (2X 2)12 (10.954 5)0.022 75. 12正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.(2)熟记 P(X ) ,P( 2X2 ),P( 3X3)的值(3)注意概率值的求解转化:P(X a) 1P(Xa

7、) ;P(X a) P( X a) ;若 b,则 P(Xb) . 1 P(b X 2 b)21.已知随机变量 服从正态分布 N(2, 2),且 P(4)0.2.由题意知图象(如图)的对称轴为直线 x2,P(4)0.2,所以 P(04)0.6.所以 P(0c1) P( 2)0.023,则 P(22) 等于( )A0.477 B0.628C0.954 D0.977解析:选 C.由题意可知随机变量 服从正态分布 N(0, 2),所以图象关于 y 轴对称,又P(2)0.023,所以 P(22) 1P(2)P(2)0.954.3设 XN(5,1),求 P(61)0.5,则实数 a 的值为( )A1 B.

8、 3C2 D4解析:选 A.因为随机变量 X 服从正态分布 N(a,4) ,所以 P(Xa)0.5.由 P(X1)0.5,可知 a1.2设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x) , (x) e18,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )(x 10)28A10 与 8 B10 与 2C8 与 10 D2 与 10解析:选 B.由正态密度函数的定义可知,总体的均值 10,方差 24,即 2.3已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2X 4)0.682 7,则 P(X4)( )A0.158 8 B0.158 65C0.158 6 D0.158 5解析:选

9、 B.由于 X 服从正态分布 N(3,1),故正态分布曲线的对称轴为 x3.所以 P(X4)P(X4) 1 P(2 X 4)2 1 0.682 720.158 65.4已知某批零件的长度误差(单位:毫米) 服从正态分布 N(0,3 2),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量 服从正态分布 N(, 2),则 P( )68.27%,P (2 2 )95.45%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析:选 B.由正态分布的概率公式知 P(33)0.682 7,P(66) 0.954 5,故P(3 6) 0.135 913.59%,故选

10、 B.P( 6 6) P( 3 3)2 0.954 5 0.682 725(2018洛阳模拟)某班有 50 名学生,一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N(105,10 2),已知 P(95X105)0.32,估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为( )A10 B9C8 D7解析:选 B.因为考试的成绩 X 服从正态分布 N(105,10 2),所以正态曲线关于 x105 对称因为 P(95X 105)0.32 ,所以 P(X115) (10.322)0.18.所以该班学生数12学成绩在 115 分以上的人数为 0.18509.6设随机变量 N(2,2) ,则 D( )_12解析:因

11、为 N(2,2) ,所以 D()2.所以 D( ) D() 2 .12 122 14 12答案:127设随机变量 XN(4, 2),且 P(4X8)0.3,则 P(X0)_解析:概率密度曲线关于直线 x4 对称,在 4 右边的概率为 0.5,在 0 左边的概率等于在8 右边的概率,即 0.50.30.2.答案:0.28在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1, 2)(0)若 X 在(0 ,1)内取值的概率为 0.4,则 X 在(0,2) 内取值的概率为 _解析:如图,易得 P(0X 1) P (1X2),故 P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案:0.89在一次测试中,测试结果

12、 X 服从正态分布 N(2, 2)(0),若 X 在(0,2) 内取值的概率为0.2,求:(1)X 在(0,4)内取值的概率;(2)P(X4)解:(1)由 XN(2 , 2),对称轴 x2,画出示意图,因为 P(04) 1P(04)( )13A. B.16 14C. D.13 12解析:选 A.因为随机变量 X 服从正态分布,其正态分布密度曲线为函数 f(x) e12的图象,所以 2,即函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称,因为Error!f( x)dx , (x 2)22 13所以 P(04) ,所以 P(X4)13 13 12 P(22)p,则 P(074);某班级共有 20 名同学参加此次学科知识竞赛,记 X 表示这 20 名同学中成绩超过 74 分的人数,利用的结果,求 E(X)附:若 ZN(, 2),则 P(74) 0.158 65.1 P(60 14Z60 14)2由知,某位同学参加学科知识竞赛的成绩 Z 超过 74 分的概率为 0.158 65,依题意可知,XB(20 ,0.158 65),所以 E(X)200.158 653.173.