1、22.3 独立重复试验与二项分布1.理解 n 次独立重复试验的模型 2.理解二项分布3能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题1n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验2二项分布前提 在 n 次独立重复试验中X 事件 A 发生的次数字母的含义 p 每次试验中事件 A 发生的概率分布列 P(Xk)C pk(1p) nk ，k0，1，2，nkn结论 随机变量 X 服从二项分布记法 记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率明确该公式中各量表示的意义：n 为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件 A 发生的概率；k 是在 n 次独立重复试验
2、中事件 A 发生的次数 判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种( )(2)n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同( )(3)二项分布与超几何分布是同一种分布( )(4)两点分布是二项分布的特殊情形( )答案：(1) (2) (3) (4)已知随机变量 X 服从二项分布，XB ，则 P(X2)等于( )(6， 13)A. B.316 4243C. D.13243 80243答案：D任意抛掷三枚均匀硬币，恰有 2 枚正面朝上的概率为( )A. B.34 38C. D.13 14答案：B设随机变量 XB(2 ，p)，若 P(X1) ，则 p
3、_ 59答案：13探究点 1 独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设每次射击是否击中目标，23 34相互之间没有影响(结果须用分数作答 )(1)求甲射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率【解】 (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，故 P(A1)1P (A1)1( )3 .23 1927(2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2， “乙射击 2 次，恰有 1 次击中目标”为事件 B2
4、，则 P(A2)C ( )2 ，P(B 2)C ( )1(1 ) ，由于甲、乙射击相互独223 49 12 34 34 38立，故 P(A2B2) .49 38 161变问法 在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率？解：记“甲击中目标 1 次”为事件 A3， “乙击中目标 1 次”为事件 B3，则 P(A3)C ，P(B 3) ，1223 13 49 38所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3) .49 38 162变问法 在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中 2 次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件 A4， “乙击中 2 次”为事件 B4，则 P(A4)C
5、(1 )02232 ，P( B4)C ( )2 ，所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4) .19 234 916 19 916 116独立重复试验概率求法的三个步骤1.某一试验中事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次独立重复试验中 发生 k 次A 的概率为( )AC pk(1p) nk knB(1p) kpn kC(1p) k DC (1p) kpnkkn解析：选 D.由于 P(A)p，P(A) 1p，所以在 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率为 C (1p) kpnk .故选 D.kn2某气象站天气预报的准确率为 80%，计算：( 结果保留到小数点后第 2 位)
6、(1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率；(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率解：(1)记“预报一次准确”为事件 A，则 P(A)0.8.5 次预报相当于 5 次独立重复试验“恰有 2 次准确”的概率为PC 0.820.230.051 20.05，25因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05.(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确” ，其概率为PC 0.25C 0.80.240.006 72.05 15所以所求概率为 1P10.006 720.99.所以“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率约为 0.99.探究
7、点 2 二项分布抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点 P 的横坐标，另一枚的点数为点 P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点 P 在圆 x2y 216 内的次数 X 的分布列【解】 由题意可知，点 P 的坐标共有 6636(种) 情况 ，其中在圆 x2y 216 内的有点(1，1)，(1 ，2)，(1，3)，( 2，1)，(2 ，2)，(2，3) ，(3，1)，(3 ，2)共 8 种，则点 P 在圆x2y 216 内的概率为 .836 29由题意可知 XB ，(3， 29)所以 P(X0)C ，03(29)0(79)3343729P(X1)C ，13(29)1(79)298243P(X2)C
8、 ，23(29)2(79)128243P(X3)C .3(29)3(79)08729故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 343729 98243 28243 8729解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式 P(Xk)C pk(1p) nk (k0，1，2，n )必须在满足“独立重复试验”时kn才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性 ，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次 1.将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 k1 次正面的概率，那么 k 的值等于( )A0 B1
9、C2 D3解析：选 C.事件 A“正面向上 ”，发生的次数 B ，由题设得 C C ，(5， 12) k5(12)5 k 15 (12)5 所以 kk15，所以 k2.2位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 ，质点 P 移动 5 次后位于点(2，3) 的概率是12( )A. BC(12)525(12)5CC D C C3(12)32535(12)5解析：选 B.质点 P 由原点移动到(2，3) 需要移动 5 次，且必须有 2 次向右，3 次向上，所以质点 P 移动 5 次后位于点(2，3) 的概率即为质点 P 的
10、 5 次移动中恰有 2 次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是 ，所以向右12移动的次数 XB ，所以所求的概率为 P(X2)C C .(5， 12) 25(12)2 (12)3 25(12)5 究点 3 二项分布的综合应用袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球求：(1)有放回抽样时，取到黑球的次数 X 的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数 Y 的分布列【解】 (1)有放回抽样时，取到的黑球的次数 X 可能的取值为 0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为 ，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 XB ，则15 (3， 15)P(X0
11、)C ，03 (15)0(45)364125P(X1)C ，13 (15)1(45)248125P(X2)C ，23 (15)2(45)112125P(X3)C .3 (15)3(45)01125所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125(2)不放回抽样时，取到的黑球数 Y 可能的取值为 0，1，2，则 P(Y0) ，715P(Y1) ，715P(Y2) .115所以 Y 的分布列为Y 0 1 2P 715 715 115二项分布实际应用问题的解题策略(1)根据题意设出随机变量(2)分析出随机变量服从二项分布(3)找到参数 n(试验的次数)和 p(事
12、件发生的概率) (4)写出二项分布的分布列 在一次数学考试中，第 14 题和第 15 题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设 4 名考生选做这两题的可能性均为 . 12(1)求其中甲、乙 2 名考生选做同一道题的概率；(2)设这 4 名考生中选做第 15 题的考生人数为 X，求 X 的分布列解：(1)设事件 A 表示“甲选做第 14 题” ，事件 B 表示“ 乙选做第 14 题” ，则甲、乙 2 名考生选做同一道题的事件为“ABA B” ，且事件 A，B 相互独立所以 P(ABA B)P (A)P(B) P(A)P(B) (1 )(1 ) .12 12 12 12 12(2)随机变量
13、 X 的可能取值为 0，1，2，3，4.且 XB(4 ， )12所以 P(Xk) C ( )k(1 )4k C ( )4(k0，1，2，3，4)k412 12 k412所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 1161某人投篮一次投进的概率为 ，现在他连续投篮 6 次，且每次投篮相互之间没有影响，23那么他投进的次数 服从参数为 的二项分布，记为 B ，计算 P(2)( )(6， 23) (6， 23)A. B.20243 8243C. D.4729 427解析：选 A.根据二项分布概率的计算公式可得 ，P( 2)C ，故选 A.26(23)2(123)4
14、202432一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为 ，则此射手一次8081射击命中的概率为( )A. B.13 23C. D.14 25解析：选 B.设此射手射击四次命中次数为 ，一次射击命中的概率为 p，所以 B(4，p) 依题意可知，P( 1) ，8081所以 1P( 0)1C (1 p)4 ，048081所以(1p) 4 ，181所以 p .233某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的则该市的 4 位申请人中恰有 2 人申请甲片区房源的概率为_解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是 4 次
15、独立重复试验，设申请甲片区房源记为A，则 P(A) ，恰有 2 人申请甲片区的概率为 PC .13 24(13)2(23)2827答案：8274甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 .12 23求乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率解：设“乙恰好比甲多击中目标 2 次”为事件 A， “乙击中目标 2 次且甲击中目标 0 次”为事件 B1， “乙击中目标 3 次且甲击中目标 1 次”为事件 B2，则 AB 1B2，B 1，B 2 为互斥事件，则 P(A)P(B 1)P(B 2)C ( )2 C ( )3C ( )3C ( )3 ，2323 13 03 12
16、 3 23 13 12 16所以乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率为 .16知识结构 深化拓展1.独立重复试验的基本特征(1)每次试验都在同样条件下进行(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生(3)各次试验之间相互独立(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的2n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义A 基础达标1某学生通过英语听力测试的概率为 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的13概率是( )A. B.49 29C. D.427 227解析：选 A.记“恰有 1 次获得通过 ”为事件 A，则 P(A)C ( )(1 )2 .故选 A.1313 13 492设随机变量 服
17、从二项分布 B(6， )，则 P(3)等于 ( )12A. B.1132 732C. D.2132 764解析：选 C.P(3) P(0)P(1)P( 2) P(3)C ( )6C ( )6C ( )6C0612 1612 2612( )6 .故选 C.3612 21323甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 ，则甲以 31 的比分获胜的概率为( )23A. B.827 6481C. D.49 89解析：选 A.当甲以 31 的比分获胜时 ，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以 31 的比
18、分获胜的概率为 PC ( )2(1 )2323 23 3 ，故选 A.23 49 13 23 8274一个学生通过某种英语听力测试的概率是 ，他连续测试 n 次，要保证他至少有一次通12过的概率大于 0.9，那么 n 的最小值为( )A6 B5C4 D 3解析：选 C.由 1C 0.9，得 1) 1CP(X1)0.9，P( X1，P（X k 1）P（X k） 20 k2k 2得 kP(Xk)；当 k6 时，P(X7)P( X6)；当 k6 时，P (Xk1)98%，即 0.2n 2.43.lg 2 2lg 2 1 1.699 00.699 0因为 nN *，所以 n 的最小正整数值为 3.答案
19、：3三、解答题15已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为 和 ，假设两人射击相互独立，23 34且每人各次射击互不影响(1)若甲、乙两人各射击 1 次，求至少有一人命中目标的概率；(2)若甲、乙两人各射击 4 次，求甲命中目标 2 次，且乙命中目标 3 次的概率解：(1)若甲、乙两人各射击 1 次，由题意可得他们都没有命中目标的概率为 ，故至少有一人命中目标的概率为 1 .(1 23)(1 34) 112 112 1112(2)若甲、乙两人各射击 4 次，则甲命中目标 2 次，且乙命中目标 3 次的概率为 C 24(23)2C .(1 23)2 34(34)3 (1 34) 1816为
20、了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别 北京 上海 天津 八一人数 4 6 3 5(1)从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为 ，求随机变量 的分布列解：(1)“从这 18 名队员中选出两名，两人来自同一队” 记作事件 A，则 P(A) .29(2) 的所有可能取值为 0，1，2.因为 P(0) ，P(1) ，P( 2)91153 56153 ，所以 的分布列如下：6153 0 1 2P 91153 56153 6153
21、17.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛23 13结果相互独立(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列解：用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局) 赢得比赛” ，A k 表示 “第 k 局甲获胜” ，B k 表示“第k 局乙获胜” 则 P(Ak) ，P( Bk) ，23 13k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A 1A2)P (B1A2A3)P(A 1B2A3A4)P(A 1)P(A2)P(B
22、 1)P(A2)P(A3)P(A 1)P(B2)P(A3)P(A4)( )2 ( )2 ( )223 13 23 23 13 23 .5681(2)X 的可能取值为 2，3，4，5.P(X2)P(A 1A2)P(B 1B2)P(A 1)P(A2)P(B 1)P(B2) .59P(X3)P(B 1A2A3)P(A 1B2B3)P(B 1)P(A2)P(A3)P (A1)P(B2)P(B3) .29P(X4)P(A 1B2A3A4)P( B1A2B3B4)P(A 1)P(B2)P(A3)P(A4)P( B1)P(A2)P(B3)P(B4) .1081P(X5)1P(X2) P(X3) P(X4)
23、.881故 X 的分布列为X 2 3 4 5P 59 29 1081 88118.甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错或不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ，乙队每人答对的概率都是 .342312 23设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分(1)求随机变量 的分布列；(2)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率解：(1)由题设知 的可能取值为 0，1，2，3，P(0)(1 )(1 )(1 ) ，34 23 12 124P(1) (1 )(1 )(1 )
24、 (1 )(1 )(1 ) ，34 23 12 34 23 12 34 23 12 14P(2) (1 ) (1 ) (1 ) ，34 23 12 34 23 12 34 23 12 1124P(3) ，34 23 12 14所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3P 124 14 1124 14(2)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A， “甲队比乙队得分高 ”为事件 B，则 P(A) C ( )3 C ( )2(1 ) C (1 )2 .14 3 23 1124 23 23 23 14 13 23 23 13P(AB) C (1 )2 ，14 13 23 23 118P(B|A) .P（AB）P（A）11813 16