1、第 2 课时 排列的综合应用(习题课)1.掌握几种有限制条件的排列问题 2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题探究点 1 无限制条件的排列问题(1)利用 1，2，3，4 这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？【解】 (1)本题实质是求从 1，2，3，4 四个数字中，任意选出三个数字排成一排 ，有多少种排法的排列问题，故有 A 43224 种排法，即可以组成 24 个没有重复数字的34三位数(2)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任取
2、3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A 54360，所以，共有 60 种不同的送法35变条件 若将本例(2)中的“有 5 本不同的书”改为“有 5 种不同的书” ，则有多少种不同的送法？解：由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是：555125，所以，共有 125 种不同的送法求解有关排列的实际应用问题的步骤第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求顺序，也即看当选出的元素位置发生变化时，结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要
3、善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数 1.把 3 张不同场次的电影票分给 10 人中的 3 人，分发种数为( )A2 160 种 B240 种C720 种 D120 种解析：选 C.有 A 720 种不同的分法3102从 100 个两两互质的数中取出两个，其商的个数为_解析：从 100 个两两互质的数中取出两个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为 A .2100答案：A (或 9 900)2100探究点 2 元素“相邻”与“不相邻”问题3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(
4、2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻【解】 (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有 A 种排法；3女生必须站在一起是女生的全排列，有 A 种排法；4全体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法2由分步乘法计数原理知，共有 A A A 288 种排队方法3 4 2(2)三个男生全排列有 A 种方法 ，把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全3排列，有 A 种排法故有 A A 720 种排队方法5 3 5(3)先安排女生，共有 A 种排法；男生在 4 个女生隔成的五个空中安排，共有 A 种排法，4 35故共有
5、 A A 1 440 种排法 4 35(4)排好男生后让女生插空，共有 A A 144 种排法3 4“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻” “不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法” ，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法” ，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素 (2018广东珠海第三中学高二下学期期中 )5 人站成一排，甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法的种数为( )A18 B24C36 D48解析：选 C.5
6、人站成一排，甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法有 3A A 36( 种)3 2探究点 3 元素“在”与“不在”问题六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端【解】 (1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 A 种站14法，然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A 种站法，根据分步乘法计数原理，共5有站法 A A 480 种14 5法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站，有 A 种站法，然25后其余 4 人有 A 种站法，根据分步乘法计数原理 ，共
7、有站法 A A 480 种4 25 4法三：若对甲没有限制条件共有 A 种站法，甲在两端共有 2A 种站法，从总数中减去这6 5两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有 A 2A 480 种6 5(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A 种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，2有 A 种，根据分步乘法计数原理 ，共有 A A 48 种站法 4 2 4(3)法一：甲在左端的站法有 A 种，乙在右端的站法有 A 种，且甲在左端而乙在右端的5 5站法有 A 种，共有 A 2A A 504 种站法4 6 5 4法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有 A 种， b.甲在中间 4 个位置之一
8、，而乙不5在右端有 A A A 种，故共有 A A A A 504 种站法14 14 4 5 14 14 4“在”与“不在”问题的解决方法1.(2018山西朔州怀仁一中高二下学期期中 )记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人不排在两端，不同的排法共有( )A2 400 种 B3 600 种C4 800 种 D7 200 种解析：选 A.可分两步：第一步，排两端，从 5 名志愿者中选 2 名全排有 A 20(种) 排法；25第二步，剩余 3 名志愿者与 2 位老人全排列有 A 120( 种 )排法 5根据分步乘法计数原理，共有 201202 400(种) 排
9、法2用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是 5 的六位数解：(1)法一：从特殊位置入手( 直接法)：第一步：排个位，从 1，3，5 三个数字中选 1 个，有 A 种排法；13第二步：排十万位，有 A 种排法；14第三步：排其他位，有 A 种排法 4故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有 A A A 288(个)13 14 4法二：从特殊元素入手(直接法 )：0 不在两端，有 A 种排法；14从 1，3，5 中任选一个排在个位上，有 A 种排法；13其他数字全排列有 A 种排法 4故可以组成无重复数字的六
10、位数且是奇数的共有 A A A 288(个)14 13 4法三：(排除法)从整体上排除：6 个数字的全排列数为 A ，0，2，4 在个位上的排列数为 3A ，而6 51，3，5 在个位上，0 在十万位上的排列数为 3A ，故符合题意的六位数奇数共有 A 3A4 63A 288(个)5 4从局部上排除：1 在个位上的排列有 A 个，其中 0 在十万位上的排列有 A 个，故 1 在5 4个位上的六位奇数有(A A )个，同理，3，5 在个位上的六位奇数也各有(A A )个，因5 4 5 4此符合题意的六位奇数共有 3(A A )288( 个) 5 4(2)法一：(排除法 )6 个数字的全排列有 A
11、 个， 0 在十万位上的排列有 A 个 ，5 在个位上的排列有 A 个，06 5 5在十万位上且 5 在个位上的排列有 A 个，4故符合题意的六位数共有 A A (A A )504( 个) 6 5 5 4法二：(直接法)个位上不排 5，有 A 种排法 但十万位上数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，15因此，需分两类：第一类，当个位上排 0 时，有 A 种排法；5第二类，当个位上不排 0 时，有 A A A 种排法14 14 4故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个) 5 14 14 41用 1，2，3，9 这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A32
12、4 B224C360 D648解析：选 B.先排个位数，有 A 种，然后排十位和百位，有 A 种，故共有 A A 224 个14 28 14 28没有重复数字的三位偶数2(2018四川达州周测)已知 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A240 种 B360 种C480 种 D720 种解析：选 C.先排甲，有 4 种；剩余 5 人全排列有 A 120(种) ，所以不同的演讲次序有54120480(种)故选 C.35 位母亲带领 5 名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有_种解析：第 1 步，先排 5 位母亲的位置，有 A 种排法；5第 2 步
13、，把 5 名儿童插入 5 位母亲所形成的 6 个空位中，如下所示：母亲_母亲_母亲_母亲_母亲_，共有 A 种排法56由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有 A A 86 400 种5 56答案：86 40043 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，其中甲只能站中间或两端；(2)全体站成一排，男生必须排在一起解：(1)( 特殊元素优先法 )先考虑甲的位置，有 A 种方法，再考虑其余 6 人的位置，有 A13种方法6故有 A A 2 160 种方法13 6(2)(捆绑法 )把所有男生看作一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，故有 A
14、 A 720 种不同的排法 3 5知识结构 深化拓展1.解排列应用题的基本思想实 际 问 题 化 归 （建 模 ）排 列 问 题 求 数 学 模 型 的 解 求 排 列 数 得 实 际 问 题 的 解实 际 问 题2解有限制条件的排列问题的基本思路限制条件 解题策略特殊元素通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊位置通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当
15、中, A 基础达标13 个学生在 4 本不同的参考书中各挑选 1 本，不同的选法数为( )A3 B24C34 D43解析：选 B.3 个学生在 4 本不同的参考书中各挑选一本 ，相当于从 4 个不同元素中选 3 个，再全排列，故其选法种数为 A 24.342有 5 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么 5 名同学值日顺序的编排方案共有( )A12 种 B24 种C48 种 D120 种解析：选 B.因为同学甲只能在周一值日 ，所以除同学甲外的 4 名同学将在周二至周五值日，所以 5 名同学值日顺序的编排方案共有 A 24( 种)43从 a，b，c，d，e 五人中选 2
16、人分别参加数学和物理竞赛，但 a 不能参加物理竞赛，则不同的选法种数为( )A16 B12C20 D10解析：选 A.先选 1 人参加物理竞赛 ，除去 a，有 A 种， 再从剩下的 4 人中选 1 人参加数14学竞赛，有 A 种，共有 A A 16 种14 14 144从 2，4 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A6 B12C18 D24解析：选 D.先从 2，4 中选一个数字 ，有 2 种选法；再从 1，3，5 中选两个数字并排列，有 A 种选法；最后将从 2， 4 中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有 2 种放法综23上所述，奇
17、数的个数为 2A 224.235将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为( )A480 B360C120 D240解析：选 D.甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有 A 720(种)，甲、乙、丙的排列有6A 6(种) ，3因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有 2 240(种) 7206故选 D.6六个停车位置，有 3 辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为_解析：把 3 个空位看作一个元素，与 3 辆汽车共有 4 个元素全排列，故停放的方法有A 432124 种4答案：247有 8 名男生和 3 名女生，从中选出
18、4 人分别担任语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答) 解析：由题意知，从剩余 10 人中选出 3 人担任 3 个学科课代表，有 A 720 种310答案：7208某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有_种解析：甲、乙作为元素集团，内部有 A 种排法， “甲、乙”元素集团与“戊”全排列有 A2种排法将丙、丁插在 3 个空中有 A 种方法2 23所以由分步乘法计数原理，共有 A A A 24 种排法2 2 23答案：249用 0，1，2，3，4 五
19、个数字：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？解：(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知 ，共有 455552 500(个)(2)先排万位，从 1，2，3，4 中任取一个有 A 种填法，其余四个位置四个数字共有 A 种，14 4故共有 A A 96(个)14 4(3)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从 1，3 中选一个填入个位有 A 种填法，然后从12剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位，有 A 种填法，包含 0 在内还有 3 个数在中间三个位13置上全排列，排列数为 A ， 故共有 A A A 36(个)
20、3 12 13 310分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；(2)6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6 人排成一排，甲、乙不相邻解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为 A 720.6(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 A 种选法，然后其他 5 人排，有 A14种排法，故排法种数为 A A 480.5 14 5(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余 4 人先排好；第二步 ，甲、乙在已排好的 4 人的左、右及之间的空位中排，共有 A A 480 种排法4 25B 能力提升11(2018济南高二检
21、测)在 1，2，3，4，5，6，7 的任一排列 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方法种数为( )A576 B720C864 D1 152解析：选 C.先把数字 1，3， 5，7 作全排列，有 A 种排法；再排数字 6，由于数字 6 不与43 相邻，在排好的排列中，除 3 的左、右 2 个空外，还有 3 个空可排数字 6，故数字 6 有 3种排法；最后排数字 2，4，数字 2，4 不与 6 相邻且数字 2 与 4 不相邻，在剩下的 4 个空当中排 2，4，有 A 种排法 根据分步乘法计数原理，共有 A 3A 864 种排法，故24 4 24选 C.1
22、2(2018湖南长沙一中期末) 将数字 1，1，2，2，3，3 排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有( )A12 种 B18 种C24 种 D36 种解析：选 A.第一行的两列排列种数有 A 236(种) ，然后第二行和第三行的第一列的23排列种数有 A 212(种)，最后第二行和第三行的第二列就只有一种排法，由分步乘2法计数原理可得完成这件事不同的排列方法共有 62112(种) 故选 A.13某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后
23、压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻解：(1)先排唱歌节目有 A 种排法 ，再排其他节目有 A 种排法，所以共有 A A 1 2 6 2 6440(种)排法(2)先排 3 个舞蹈节目，3 个曲艺节目有 A 种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 个排6唱歌节目，有 A 种插入方法 ，所以共有 A A 30 240(种)排法27 6 27(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目排列共 A 种排法，再将 3 个舞4蹈节目插入，共有 A 种插入方法 ，最后将 2 个唱歌节目排列，有 A 种排法，故所求排法35 2共有 A
24、A A 2 880(种)排法4 35 214(选做题) 已知圆的方程( xa) 2( yb) 2r 2(r0) ，从 0，3，4，5，6，7，8，9，10这 9 个数中选出 3 个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径问：(1)可以作多少个不同的圆？(2)经过原点的圆有多少个？(3)圆心在直线 xy100 上的圆有多少个？解：(1)可分两步完成：第一步，先选 r，因为 r0，则 r 有 A 种选法，第二步，再选18a，b，在剩余 8 个数中任取 2 个，有 A 种选法，所以由分步乘法计数原理可得有28A A 448(个)不同的圆18 28(2)圆(xa) 2( yb) 2r 2 经过原点，a、b、r 满足 a2b 2r 2，满足该条件的 a，b，r 共有 3，4，5 与 6，8，10 两组，考虑 a、b 的顺序，有 A 种情况，2所以符合题意的圆有 2A 4(个)2(3)圆心在直线 xy100 上，即满足 ab10，则满足条件的 a、b 有三组：0，10；3，7；4，6.当 a、b 取 10、0 时，r 有 7 种情况，当 a、b 取 3、7；4、6 时，r 不可取 0，有 6 种情况，考虑 a、b 的顺序，有 A 种情况 ，2所以满足题意的圆共有 A A 2A A 38(个) 2 17 2 16