1、11 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.通过实例，能总结出分类加法计数原理，分步乘法计数原理 2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步” 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有两个不同方案” ，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同
2、的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中 2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤” ，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成两个步骤在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事 判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件
3、事( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成( )答案：(1) (2) (3) (4)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有( )A3 种 B4 种C7 种 D12 种答案：C已知 x2，3，7，y 31，24，4，则( x，y) 可表示不同的点的个数是( )A1 B3C6 D9答案：D某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有_种答案：3加工某
4、个零件分三道工序，第一道工序有 5 人可以选择，第二道工序有 6 人可以选择，第三道工序有 4 人可以选择，每两道工序中可供选择的人各不相同，如果从中选 3 人每人做一道工序，则选法有_种答案：120探究点 1 分类加法计数原理学生用书 P2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解】 法一：按十位上的数字分别是 1，2，3，4，5，6，7，8 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有 8765432136(个) 法二：按个位上的数字分别是 2，3，4，5，6，7
5、，8，9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有 1234567836(个) 变问法 在本例条件下，个位数字小于十位数字且为偶数的两位数有多少个？解：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个当个位数字是 6 时，十位数字可取 7，8，9，共 3 个当个位数字是 4 时，十位数字可取 5，6，7，8，9，共 5 个同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个，当个位数字是 0 时，共 9 个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1357925(个).利用分类加法计数原理
6、计数时的解题流程某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数 女生人数 总人数高三(1)班 30 20 50高三(2)班 30 30 60高三(3)班 35 20 55(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2) 班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解：(1)从每个班选 1 名学生任学生会主席，共有 3 类不同的方案：第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法；第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法；第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生
7、，有 55 种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从三个班中选 1 名学生任学生会主席，共有506055165(种)不同的选法(2)从高三(1)班、(2) 班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，共有 3 类不同的方案：第 1 类，从高三(1)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；第 2 类，从高三(2)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法；第 3 类，从高三(3)班女生中选出 1 名学生，有 20 种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长，共有 30302080(种) 不
8、同的选法探究点 2 分步乘法计数原理学生用书 P2从2，1，0，1，2，3 这六个数字中任选 3 个不重复的数字作为二次函数yax 2bxc 的系数 a，b，c，则可以组成抛物线的条数为多少？【解】 由题意知 a 不能为 0，故 a 的值有 5 种选法；b 的值也有 5 种选法；c 的值有 4 种选法由分步乘法计数原理得：554100(条) 1变问法 若本例中的二次函数图象开口向下，则可以组成多少条抛物线？解：需分三步完成，第一步确定 a 有 2 种方法，第二步确定 b 有 5 种方法，第三步确定 c有 4 种方法，故可组成 25440 条抛物线2变条件、变问法若从本例的六个数字中选 2 个作
9、为椭圆 1 的参数 m，n，则可x2m y2n以组成椭圆的个数是多少？解：据条件知 m0，n0 ，且 mn，故需分两步完成，第一步确定 m，有 3 种方法，第二步确定 n，有 2 种方法，故确定椭圆的个数为 326(个) 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程从 1，2，3，4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数解：(1)分三步：第 1 步，排个位，有 4 种方法；第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第 3 步，排百位，从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法故共有 43224 个满足要求的三位数
10、(2)第 1 步，排个位，只能从 2，4 中选 1 个，有 2 种方法；第 2 步，排十位，从剩下的 3 个数中选 1 个，有 3 种方法；第 3 步，排百位，只能从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法故共有 23212 个满足要求的三位偶数探究点 3 两个计数原理的综合应用学生用书 P3甲同学有 5 本不同的数学书、4 本不同的物理书、3 本不同的化学书，现在乙同学向甲同学借书，(1)若借 1 本书，则有多少种借法？(2)若每科各借 1 本书，则有多少种借法？(3)若任借 2 本不同学科的书，则有多少种借法？【解】 (1)需完成的事情是“借 1 本书” ，所以借给乙数学、物理、化学
11、书中的任何 1 本，都可以完成这件事情根据分类加法计数原理，共有 54312 种借法(2)需完成的事情是“每科各借 1 本书” ，意味着要借给乙 3 本书，只有从数学、物理、化学三科中各借 1 本，才能完成这件事情根据分步乘法计数原理，共有 54360 种借法(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借 2 本不同学科的书 ”，可分三类：第 1 类，借 1 本数学书和 1 本物理书，只有 2 本书都借，事情才能完成，根据分步乘法计数原理，有 5420 种借法；第 2 类，借 1 本数学书和 1 本化学书，有 5315 种借法；第 3 类，借 1 本物理书和 1 本化学书，有 4312 种借法根据分
12、类加法计数原理，共有 20151247 种借法利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步” ，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类” 现有 3 名医生、5 名护士、2 名麻醉师(1)从中选派 1 名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出 1 名医生、1 名护士和 1 名麻醉师组成 1 个医疗小组，有多少种不
13、同的选法？解：(1)分三类：第一类，选出的是医生，有 3 种选法；第二类，选出的是护士，有 5 种选法；第三类，选出的是麻醉师，有 2 种选法根据分类加法计数原理，共有 35210(种) 选法(2)分三步：第一步，选 1 名医生，有 3 种选法；第二步，选 1 名护士，有 5 种选法；第三步，选 1 名麻醉师，有 2 种选法根据分步乘法计数原理知，共有 35230(种) 选法1某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有 5 名同学只会用综合法证明，有 3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选 1 名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )A8 B15C18 D30解析：选 A.共有 5
14、38 种不同的选法 2已知集合 A1，2，B 3，4，5 ，从集合 A、B 中先后各取一个元素构成平面直角坐标系中的点的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )A5 B6C10 D12解析：选 B.完成这件事可分两步：第一步 ，从集合 A 中任选一个元素，有 2 种不同的方法；第二步，从集合 B 中任选一个元素，有 3 种不同的方法由分步乘法计数原理得，一共有236 种不同的方法3体育场南侧有 4 个大门，北侧有 3 个大门，某人到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )A12 种 B7 种C14 种 D49 种解析：选 D.要完成进、出门这件事 ，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场
15、，第一步进门有 437 种方法；第二步出门也有 437 种方法，由分步乘法计数原理知进、出门的方案有 7749 种4现有高一学生 50 人，高二学生 42 人，高三学生 30 人，组成冬令营(1)若从中选 1 人作总负责人，共有多少种不同的选法？(2)若每年级各选 1 名负责人，共有多少种不同的选法？(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？解：(1)从高一选 1 人作总负责人有 50 种选法；从高二选 1 人作总负责人有 42 种选法；从高三选 1 人作总负责人有 30 种选法由分类加法计数原理，可知共有 504230122 种选法(2)从高一选 1 名
16、负责人有 50 种选法；从高二选 1 名负责人有 42 种选法；从高三选 1 名负责人有 30 种选法由分步乘法计数原理，可知共有 50423063 000 种选法(3)高一和高二各选 1 人作中心发言人，有 50422 100 种选法；高二和高三各选 1人作中心发言人，有 42301 260 种选法；高一和高三各选 1 人作中心发言人，有50301 500 种选法故共有 2 1001 2601 5004 860 种选法知识结构 深化拓展两个计数原理的联系与区别加法计数原理 乘法计数原理共同点两个原理都是计算完成某项工作的方法种数，最后的目的都必须完成某件事区别一完成一件事，共有 n 类办法，
17、关键词是“分类”完成一件事，共分 n 个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立地完成这件事，每一种办法都是独立的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏， “独立”确保不重复, A 基础达标1(2018西安一中高二检测) 完成一项工作，有两种方法，有 5 个人只会用第一种方法，另外有 4 个人只会用第二种方法，从这 9 个人中选 1 人完成这项工作，不同的选法种数是( )A
18、5 B4C9 D20解析：选 C.由分类加法计数原理求解 ，549(种)故选 C.2已知集合 M1，2，3，N4，5，6，7 ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A18 B16C14 D10解析：选 C.分两类：第一类 M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有 326(个)第一、二象限的点；第二类 M 中取纵坐标 ，N 中取横坐标，共有 248(个) 第一、二象限的点综上可知，共有 6814(个)不同的点3现有 4 名同学去听同时进行的 3 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A81 B64C48 D24解析：
19、选 A.每个同学都有 3 种选择，所以不同选法共有 3481( 种)，故选 A.4如果 x，yN，且 1x3，xy 7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y) 的个数是( )A15 B12C5 D4解析：选 A.分情况讨论： 当 x1 时，y0，1，2，3，4，5，有 6 种情况；当 x2 时，y 0，1，2，3，4，有 5 种情况；当 x3 时，y 0，1，2，3，有 4 种情况由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是 65415.5十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )A24 种 B16 种C12 种 D10 种解析：选 C.完成该任务可分
20、为四类 ，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1 个入口进入时，有 3 种行车路线；同理，从第 2 个，第 3 个，第 4 个入口进入时，都分别有 3 种行车路线，由分类加法计数原理可得共有 333312 种不同的行车路线，故选 C.6已知集合 A0，3，4，B1，2，7，8 ，集合 Cx|xA 或 xB ，则当集合 C中有且只有一个元素时，C 的情况有 _种解析：分两种情况：当集合 C 中的元素属于集合 A 时，有 3 种；当集合 C 中的元素属于集合 B 时，有 4 种因为集合 A 与集合 B 无公共元素，所以集合 C 的情况共有 347(种)答案：77某班小张等 4 位同学报名
21、参加 A，B，C 三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报 A 小组，则不同的报名方法有_种解析：小张的报名方法有 2 种，其他 3 位同学各有 3 种，所以由分步乘法计数原理知共有233354 种不同的报名方法答案：548直线方程 AxBy 0，若从 0，1，2，3，5，7 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为A，B 的值，则可表示_条不同的直线解析：若 A 或 B 中有一个为零时，有 2 条；当 AB0 时，有 5420 条，则共有20222(条)，即所求的不同的直线共有 22 条答案：229(2018云南丽江测试)现有高二四个班学生 34 人，其中一、二、三、四班各 7
22、 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选 1 人，有 7 种选法；第二类，从二班学生中选 1 人，有 8 种选法；第三类，从三班学生中选 1 人，有 9 种选法；第四类，从四班学生中选 1 人，有 10 种选法所以，共有不同的选法 N7 891034(种)(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法 N78910 5 040(种)(3)
23、分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选 1 人， 有 78 种不同的选法；从一、三班学生中各选 1 人，有 79 种不同的选法；从一、四班学生中各选 1 人，有 710 种不同的选法；从二、三班学生中各选 1 人，有 89 种不同的选法；从二、四班学生中各选 1 人，有 810 种不同的选法；从三、四班学生中各选 1 人，有 910 种不同的选法所以共有不同的选法 N7 87971089810910431(种)10(1)如图，在由电键组 A 与 B 所组成的并联电路中，要接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯 C 发光的方法有多少种？(2)如图，由电键组 A，B 组成的电路中，要闭合两个电键
24、接通电源，使电灯 C 发光的方法有几种？解：(1)只要闭合图中的任一电键，电灯即发光由于在电键组 A 中有 2 个电键，电键组 B中有 3 个电键，且分别并联，应用分类加法计数原理，所以共有 235(种) 接通电源使电灯发光的方法(2)只有在闭合 A 组中 2 个电键中的一个之后，再闭合 B 组中 3 个电键中的一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光根据分步乘法计数原理，共有 236(种) 不同的接通方法使电灯发光B 能力提升11(2018郑州高二检测)从集合 1，2，3，10 中任意选出 3 个不同的数，使这 3 个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A3 B4C6 D8解析：选 D
25、.以 1 为首项的等比数列为 1，2，4；1，3，9.以 2 为首项的等比数列为 2，4，8.以4 为首项的等比数列为 4，6，9.把这 4 个数列的顺序颠倒，又得到 4 个数列，所以所求的数列共有 2(211)8( 个) 12(2018长沙高二检测)满足 a，b1，0，1，2 ，且关于 x 的方程 ax22x b0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A14 B13C12 D10解析：选 B.对 a 进行讨论，为 0 与不为 0，当 a 不为 0 时还需考虑判别式与 0 的大小若 a0，则 b1，0，1，2，此时(a，b) 的取值有 4 个；若 a0，则方程 ax22x b0 有实根，
26、需 44ab0，所以 ab1，此时(a，b) 的取值为( 1，0) ，(1，1)，( 1，1)，( 1，2)，(1，1) ，(1，0)，(1 ，1)，(2，1)，(2 ，0)，共 9 个所以(a，b) 的个数为 4913.故选 B.13已知集合 M3，2，1，0，1，2，点 P(a，b) 表示平面上的点(a，bM)(1)点 P 可以表示平面上的多少个不同点？(2)点 P 可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)点 P 可以表示多少个不在直线 yx 上的点？解：(1)完成这件事分为两个步骤：a 的取法有 6 种，b 的取法有 6 种由分步乘法计数原理知，点 P 可以表示平面上 6636(个)
27、不同点(2)根据条件，需满足 a0，b0.完成这件事分两个步骤：a 的取法有 3 种，b 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知，点P 可以表示平面上 326(个 )第二象限的点(3)因为点 P 不在直线 yx 上 ，所以第一步 a 的取法有 6 种，第二步 b 的取法有 5 种，根据分步乘法计数原理可知，点 P 可以表示 6530(个) 不在直线 yx 上的点14(选做题) 某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有 30292017 400 种结果(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有 20193011 400 种结果 因此共有不同结果 17 40011 40028 800 种