1、第一课 导数及其应用核心速填1导数的概念(1)定义：函数 yf(x)在 xx 0 处的瞬时变化率 ，称为lim x 0fx0 x fx0x函数 yf( x)在 xx 0 处的导数(2)几何意义：函数 yf(x)在 xx 0 处的导数是函数图象在点(x 0，f( x0)处的切线斜率2几个常用函数的导数(1)若 yf(x) c ，则 f(x)0.(2)若 yf(x) x ，则 f(x)1.(3)若 yf(x) x 2，则 f( x)2x.(4)若 yf(x) ，则 f(x) .1x 1x2(5)若 yf(x) ，则 f(x ) .x12x3基本初等函数的导数公式(1)若 f(x)c(c 为常数)，
2、则 f(x)0.(2)若 f(x)x (Q *)，则 f( x)x 1 .(3)若 f(x)sin x，则 f(x)cos _x.(4)若 f(x)cos x ，则 f(x )sin_x.(5)若 f(x)a x，则 f(x)a xln_a.(6)若 f(x)e x，则 f( x)e x.(7)若 f(x)log ax，则 f(x) .1xln a(8)若 f(x)ln x，则 f(x ) .1x4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x) g(x)f(x)g( x)(3) .fxgx f xgx fxg xg2x5复合函数的求导法则(1)复合函数记法
3、：y f(g (x)(2)中间变量代换：y f(u )，ug(x)(3)逐层求导法则：y xy uu x.6函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b) 内，如果 f(x )0，那么函数 yf (x)在这个区间内单调递增；如果 f( x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 xa 时，f (x )0，当xa 时，f (x)0，则点 a 叫做函数的极大值点，f (a)叫做函数的极大值；极小值：在点 xa 附近，满足 f(a)f(x)，当 xa 时，f (x )0，当xa 时，f (x)0，则
4、点 a 叫做函数的极小值点，f (a)叫做函数的极小值7求函数 y f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数 yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值8微积分基本定理一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 f(x)badxF(b) F (a)9定积分的性质 kf(x)dxk f(x)dx；baba f(x)g(x) dx f(x)dx g(x)dx；bababa f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中 acb)bacabc体系构建题型探究导数的几何意义
5、已知函数 f(x)x 3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标与切14线的方程. 【导学号：31062107】解 (1)f( x)(x 3x 16)3x 21，f(x)在点 (2， 6)处的切线的斜率为 kf(2)13.切线的方程为 y13(x 2)( 6)，即 y13x32.(2)法一：设切点为 (x0，y 0)，则直线 l 的斜率为 f(x 0)3x 1，20直线 l 的方程为y(3x 1)(xx 0)x x 016
6、.20 30又直线 l 过点(0,0)，0(3x 1)(x 0)x x 016.20 30整理得，x 8，30x02.y0(2) 3( 2)16 26.k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线 l 的方程为 ykx ，切点为(x 0，y 0)，则 k ，y0 0x0 0 x30 x0 16x0又kf( x0)3x 1，20 3x 1.x30 x0 16x0 20解得，x 0 2，y0(2) 3( 2)16 26.k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线 y 3 垂直，x4切线的斜率 k4.设切点坐标
7、为(x 0，y 0)，则 f( x0)3x 14，20x01.Error!或Error!即切点为(1 ，14) 或(1，18) 切线方程为 y4(x 1) 14 或 y4(x1) 18.即 y4x18 或 y4x14.规律方法 1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 yy 0fx 0xx 0，明确“过点 Px0，y 0的曲线yf x的切线方程”与“在点 Px0，y 0处的曲线 yf x的切线方程”的异同点.2.围绕着切点有三个等量关系：切点x 0，y 0，则kfx 0，y 0fx 0，x 0，y 0满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.跟踪训练1直线
8、ykxb 与曲线 yx 3ax 1 相切于点(2,3)，则 b_.解析 yx 3ax 1 过点(2,3)，a 3， y3x 23，k y |x2 3439，bykx392 15.答案 15函数的单调性与导数(1)f(x )是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 xf(x )f (x)0，对任意正数 a，b，若 ab，则必有( ) 【导学号：31062108】Aaf(b) bf (a) Bbf(a)af(b)Caf(a) bf(b) Dbf(b)af(a )(2)设 f(x)aln x ，其中 a 为常数，讨论函数 f(x)的单调性x 1x 1(1)A 令 F(x) ，则 F(x) .fxx
9、xf x fxx2又当 x0 时， xf(x)f(x) 0， F(x )0，F(x)在 (0，)上单调递减又 ab，F(a)F (b)， ，faa fbbbf(a)af( b)，故选 A.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f(x) .ax 2x 12 ax2 2a 2x axx 12当 a0 时，f(x )0，函数 f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，令 g(x)ax 2(2a2)xa，由于 (2a2) 24a 24(2a1) ，当 a 时，0，12f(x) 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 12x 12xx 12当 a 时，0，g(x) 0，12f(x)0，函数 f(x)在(
10、0，)上单调递减当 a0 时，0.12设 x1，x 2(x1x 2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1 ，x 2 ， a 1 2a 1a a 1 2a 1a由 x1 0，a 1 2a 1 a a2 2a 1 2a 1 a所以 x(0，x 1)时，g( x)0，f(x )0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x 2)时，g(x )0，f (x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g( x)0，f(x )0，函数 f(x)单调递减，综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a 时，函数 f(x)在 (0，)上单调递减；12当 a0 时，12函数 f(x)在 ，(0，
11、 a 1 2a 1a )上单调递减，( a 1 2a 1a ， )在 上单调递增( a 1 2a 1a ， a 1 2a 1a )规律方法 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用 fx与其导数fx之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解. 求解参数范围的步骤为：1对含参数的函数 fx求导，得到 fx；2若函数 fx在a，b上单调递增，则 fx 0 恒成立；若函数 fx在a，b上单调递减 ，则 f x0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；3验证参数范围中取等号时，是否恒有 fx 0. 若 fx0 恒成立，则函数 fx在a ，b 上为常函数，舍去此参数值.跟踪训练2若函数 f(x
12、) x3 ax2(a1)x 1 在区间(1,4) 上为减函数，在区间13 12(6， ) 上为增函数，试求实数 a 的取值范围解 函数 f(x)的导数 f(x)x 2axa1.令 f( x)0，解得 x1 或 xa1.当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在 (1，a1) 上为减函数，在( a1，)上为增函数依题意当 x(1,4)时，f(x)0，当 x(6， )时，f(x)0.故 4a16，即 5a7.因此 a 的取值范围是5,7函数的极值、最值与导数已知函数 f(x)x 3ax 2b 的图象上一点
13、P(1,0)且在点 P 处的切线与直线 3xy0 平行(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解 (1)因为 f(x)3x 22ax ，曲线在 P(1,0)处的切线斜率为 f(1)32a，即 32a3，a3.又函数过(1,0) 点，即2b0，b2.所以 a3，b2，f(x ) x33x 22.(2)由 f(x)x 33x 22，得 f( x)3x 26x.由 f( x)0，得 x0 或 x2.当 0t2 时，在区间(0，t)上，f(x )0，f(x)在0，t上是减函数，所以 f(x)maxf(0)2，f(x) minf( t)t 33t 2
14、2.当 2t3 时，当 x 变化时，f(x )，f(x)的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t) tf(x) 0 0 f(x) 2 2 t33t 22f(x)minf(2) 2，f (x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个f(t)f(0)t 33t 2t 2(t3)0，所以 f(x)maxf(0)2.母题探究：(变结论) 在本例条件不变的情况下，若关于 x 的方程 f(x)c 在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数 c 的取值范围解 令 g(x)f(x) c x 33x 22c，则 g(x) 3x 26x3x (x2)在 x1,2)上，g(x)0；在 x(2,3上，g(
15、 x)0.要使 g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则Error!解得 2c 0.规律方法 1求极值时一般需确定 fx0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练3已知 a，b 为常数且 a0，f(x) x 3 (1a)x 23ax b.32(1)函数 f(x)的极大值为 2，求 a，b 间的关系式；(2)函数 f(x)的极大值为 2，且在区间0,3上的最小值为 ，求 a，b 的值. 232【导
16、学号：31062109】解 (1)f(x)3x 23(1a)x3a3(xa)( x1)，令 f( x)0，解得 x11，x 2a，因为 a0，所以 x1x 2.当 x 变化时， f( x)，f(x)的变化情况如下表：x (，1) 1 (1，a) a (a，)f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值所以当 x 1 时，f (x)有极大值 2，即 3a2b3.(2)当 0a 3 时，由(1) 知， f(x)在0，a)上为减函数，在(a,3上为增函数，所以 f(a)为最小值，f(a) a3 a2b.12 32即 a3 a2b .12 32 232又由 b ，于是有 a33a 23a260，3 2a
17、2即(a 1)327 ，所以 a2，b .32当 a3 时，由(1)知 f(x)在0,3上为减函数，即 f(3)为最小值，f (3) ，232从而求得 a ，不合题意，舍去10748综上，a2，b .32生活中的优化问题某企业拟建造如图 11 所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方643米建造费用为 3 千元，半球体部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为 y 千元图 11(1)将 y 表示成 r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定 r 和 l 为
18、何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用解 由题意可知 r2l ，l .4r33 643 643r2 4r3又圆柱的侧面积为 2rl ，1283r 8r23两端两个半球的表面积之和为 4r2.所以 y 34r 24 8 r2.(1283r 8r23 ) 128r又 l 0r2 ，所以定义域为(0,2 )643r2 4r3(2)因为 y 16r ，128r2 16r3 8r2所以令 y 0，得 2r 2 ；令 y0，得 0r 2.所以当 r2 米时，该容器的建造费用最小，为 96 千元，此时 l 米83规律方法 解决优化问题的步骤1要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确
19、定函数的定义域.2要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.3验证数学问题的解是否满足实际意义.跟踪训练4现有一批货物由海上 A 地运往 B 地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里/小时，A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时 960 元(1)把全程运输成本 y(元) 表示为速度 x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得 y (9600.6
20、x 2) 300x ，函数的定义域为500x 480 000x(0,35，即 y 300 x(0x35)480 000x(2)由(1)知 y 300x(0x 35)，所以 y 300.令480 000x 480 000x2y0，解得 x40 或 x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值又当 0x35 时，y 0 ，所以 y 300x 在480 000x(0,35上单调递减，故当 x35 时，函数 y 300x 取得最小值480 000x故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35 海里/小时的速度行驶 .函数方程思想设函数 f(x)x 36x5，xR.(1)求 f(x
21、)的极值点；(2)若关于 x 的方程 f(x)a 有 3 个不同实根，求实数 a 的取值范围；(3)已知当 x(1，) 时，f(x)k (x1)恒成立，求实数 k 的取值范围. 【导学号：31062110】解 (1)f(x)3(x 22)，令 f(x)0，得 x1 ，x 2 .2 2当 x(， )( ，)时，f(x )0，当 x( ， ) 时，f (x)2 2 2 20，因此 x1 ，x 2 分别为 f(x)的极大值点、极小值点2 2(2)由(1)的分析可知 yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线 ya 与 yf(x)的图象有 3 个不同交点需54 f( )af( )54 .则方程 f
22、(x) a 有 3 个不2 2 2 2同实根时，所求实数 a 的取值范围为(54 ，54 )2 2(3)法一：f(x)k(x 1)，即(x1)(x 2x5) k (x1)，因为 x1，所以 kx 2x5 在(1，)上恒成立，令 g(x)x 2x5，由二次函数的性质得 g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1) 3，所以所求 k 的取值范围是为(，3 法二：直线 yk (x1)过定点(1,0)且 f(1)0，曲线 f(x)在点(1,0)处切线斜率 f(1)3，由(2)中草图知要使 x(1，)时，f(x)k (x1)恒成立需 k3.故实数 k的取值范围为( ，3规律方法 讨论方程根的个数，
23、研究函数图象与 x 轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极最值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极最值列出，然后再借助单调性和极最 值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.跟踪训练5已知函数 f(x)e x ，aR，试讨论函数 f(x)的零点个数1x a解 函数 f(x)的定义域为 x|xa (1)当 xa 时，e x0，x a0， f(x)0，即 f(x)在(a， ) 上无零点(2)当 xa 时，f(x) ，exx a 1x a令 g(x)e x(xa)1，则 g(x) e x(xa1)由 g(x) 0 得 xa1.当 xa1 时， g(x )0；当 xa1 时， g(x )0，g(x)在( ，a1)上单调递减，在 (a1，)上单调递增，g(x)ming( a1)1e a1 .当 a 1 时， g(a1)0，xa1 是 f(x)的唯一零点；当 a1 时，g(a1) 1e a1 0， f(x)没有零点；当 a1 时，g(a1) 1e a1 0， f(x)有两个零点