1、章末复习提升课变化率与导数问题展示 (教材 P10 习题 1.1A 组 T4)已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比如果车辆启动后车轮转动第一圈需要 0.8 s，求转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度【解】 设车轮旋转的角度为 ，时间为 t，依题意有 kt 2(k0)因为车辆启动后车轮转第一圈需要 0.8 s，所以 2k0.8 2，k ，258即 t2.258(t) t，limt 0258（t t）2 258t2t 254(3.2) 3.220(rad/ s)，254即车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20 rad/s.车轮旋转开始后，多长时间，瞬时角速度可以达到 100 ra
2、d/s.【解】 由 (t) t 得 100 t，所以 t16 s，即车轮旋转开始后，16 s 时瞬时254 254角速度可以达到 100 rad/s.若 a，b，t 均为正值，且 b a，求证：时间段a，b内的平均变化率小于时间段at ， bt 内的平均变化率【证明】 由 t2 知，在时间段a，b与 at ，bt内的平均变化率之差258K1K 2 258（b2 a2）b a258（b t）2 （a t）2b a t.254由于 t0，所以 K1K 20，即 K1K 2.即在时间段a，b内的平均变化率小于时间段at，bt 内的平均变化率导数的几何意义问题展示 (教材 P18 习题 1.2A 组
3、T6)已知函数 yxln x.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点 x1 处的切线方程【解】 (1)因为 yxln x，所以 y( xln x)x(ln x)(ln x) x1ln x xln x1.1x(2)由导数的几何意义得函数的图象在点 x1 处的切线斜率 ky| x1 ln 111.又当 x1 时，y 1ln 10，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y01(x1)，即 xy10.已知曲线 yxln x 的一条切线方程为 xy c0.求切点坐标与 c 的值【解】 因为 yx ln x，所以 y1ln x xln x1.1x设切点为(x 0，x 0ln x0)由切线方程
4、 xy c 0 知，切线斜率 k1.所以 ln x01 1，即 x01，x 0ln x00.所以切点为(1，0)，所以 10c0，即 c1.已知曲线 C：y xln x 与直线 l：yx b( b0)若曲线 C 上存在点 M 到直线 l 的距离的最小值为 .求 b 的值；2【解】 将直线 l 平移与 C 相切于点 M 时，M 即为存在的点，设 M 的坐标为( x0，x 0ln x0)由 yxln x 得 yln x1.所以 y|xx 0ln x01，因为直线 l：yxb 的斜率 k1. 所以 ln x011，即 x01，故 M 的坐标为(1，0) 由点到直线的距离得 ，所以 b1 或 b3，已
5、知 b0，若曲线 y 与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，求 a 的值x【解】 由题意，曲线 y 与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 dx x |xa0x 2332 a ，所以 a a 2，所以 a .a02332 2332 49在直线 l：yx4 与抛物线 y22x 围成的区域内任取一点 P，求 P 点取自 x 轴上方区域的概率【解】 经计算可知，直线 l：y x4 与抛物线 C：y 22x 围成的区域面积为 18，其中位于 x 轴上方部分的区域的面积为 ，所以点 P 取自 x 轴上方区域的概率为 .403 40318 20271函数 f(x)e xln x 在点(1，
6、f (1)处的切线方程是( )Ay2e(x1) Byex1Cy e(x1) Dy xe解析：选 C.因为 f(x)e x(ln x )，所以 f(1)e.又 f(1)0，所以所求的切线方程为1xye(x 1)2已知 (x2mx)dx 0，则实数 m 的值为( )10A B13 23C1 D2解析：选 B.根据题意有 (x2mx)dx | m0，解得 m ，故选10 (13x3 12mx2)10 13 12 23B.3已知函数 f(x) x42x 3 3m，xR ，若 f(x)90 恒成立，则实数 m 的取值范围12是( )A. B.32， ) (32， )C. D.( ，32 ( ， 32)解
7、析：选 A.因为函数 f(x) x42x 33m，所以 f(x)2x 36x 2.令 f(x)0，得 x0 或12x3.经检验知 x3 是函数 f(x)的最小值点，所以函数 f(x)的最小值为 f(3)3m .因为不272等式 f(x)90 恒成立，即 f(x)9 恒成立，所以 3m 9，解得 m .272 324已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数 f(x)满足 f(x)0.5已知函数 f(x)x 3ax 2x 1 在 R 上是单调函数，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x) 3x22ax1.因为 f(x)x 3ax 2x1 在 R 上是单调函数，所以 f(x)3x 22ax10
8、 恒成立，即 (2a) 2430，解得 a .3 3答案： ， 3 36已知 a0，函数 f(x)ax 3 ln x，且 f(1)的最小值是12，则实数 a 的值为12a_解析：f(x)3 ax2 ，12ax所以 f(1)3a 12，12a即 a 4.4a又 a0，有 a 4，4a所以 a 4，4a故 a2.答案：27已知函数 f(x)x 2ex1 x3x 2.13(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 g(x) x3x 2，试比较 f(x)与 g(x)的大小23解：(1)f(x)x (x2)(e x1 1)，由 f(x)0，得 x12，x 20，x 31.当2x0 或 x1 时，f(x)
9、0；当 x2 或 0x 1 时，f(x)0.所以函数 f(x)在(2，0)和(1 ，) 上是单调递增的，在 (，2)和(0 ，1)上是单调递减的(2)f(x)g(x) x 2ex1 x 3x 2(ex1 x)因为对任意实数 x 总有 x20，所以设 h(x)e x1 x .h(x)e x1 1，由 h(x)0，得 x1，则当 x1 时，h(x)0，即函数 h(x)在(，1)上单调递减，因此当 x1 时，h( x)h(1) 0.当 x1 时，h(x )0，即函数 h(x)在(1，)上单调递增，因此当 x1 时，h(x)h(1)0.当 x1 时，h(1)0.所以对任意实数 x 都有 h(x)0，即 f(x)g(x) 0，故对任意实数 x，恒有 f(x)g(x)