1、章末复习提升课复数的概念问题展示 （教材 P116 复习参考题 A 组 T2）已知复数 z 与（z2） 28i 都是纯虚数，求 z.【解】 因为 z 是纯虚数，所以设 zbi（b0，bR）.则（z2） 28i（2bi） 28i44bib 2i28i（4b 2）（4b8）i因为（z2） 28i 也是纯虚数，所以 4 b2 0，4b 8 0，)所以 b2.所以 z2i.复数 z 满足（z2） 28i，求复数 z.【解】 设 zxy i，x，y R，所以（xyi2） 28i，即（x2） 2y 22（x 2） yi8i，所以 （x 2）2 y2 0，2（x 2）y 8，)解得 或x 0，y 2) x
2、4，y 2. )所以 z2i 或 z42i.复数 z 满足（z2） 28i 是纯虚数 .求| z|的最小值.【解】 设 zxy i（x，y R） ，则（z2） 28i（x2yi） 28i（x 2） 2y 22（x2）y8i.因为（z2） 28i 是纯虚数，所以 （x 2）2 y2 0，2（x 2）y 8 0，)由得，y 2（x 2） 2，所以|z| 2x 2y 2x 2（x 2） 22x 24x42（x1） 22.所以当 x1，y 1 时，满足 式，此时，|z| 2 的最小值为 2，即|z| min .2复数的几何意义问题展示 （教材 P112 习题 3.2A 组 T3）ABCD 是复平面内的
3、平行四边形，A，B ，C 三点对应的复数分别是 13i ，i ，2i，求点 D 对应的复数.【解】 由复数的几何意义知，A，B，C 分别对应复平面内点（1，3） ， （0，1） ，（2，1）.又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 .AB DC 设 D（x，y） ，则有（1，4）（2x，1y） ，所以 2 x 1，1 y 4.)解得 x 3，y 5.)故点 D 对应的复数为 35i.在复平面上，A，B，C，D 四点对应的复数分别为 13i，i，2i ，35i，则四边形 ABCD 一定是（ ）A.矩形 B.梯形C.正方形 D.平行四边形【解析】 因为 （0，1）（1，3）（1，4） ，AB
4、（3，5）（1，3）（ 2，2） ，AD （2，1）（0，1）（ 2，2）.BC 所以 ， （1，4）（2，2）100.AD BC AB AD 所以 ABCD 仅为平行四边形，故选 D.【答案】 D【拓展 1】 在复平面 xOy 中，四边形 ABCD 的点 B，D 对应的复数分别为i 与35i，A ，C 两点在直线 2xy50 上，且 A、C 两点对应的复数 zA与 zC的实部和虚部都是正整数.（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；（2）计算：z AzC与 .zAzC【解】 （1）证明：设 zAabi，z Ccdi ，且 a，b，c，dN *，z AzC，因为 A、C 两点都在直线 2x
5、y50 上，所以（a，b）与（c，d）是方程 2xy 50 的正整数解对应的有序数对（ x，y ）.由 2xy50 得y52x0，所以 x ，52又 xN *，所以当 x1 时，y 3，当 x2 时，y1.所以（x，y）（1，3）或（2，1）.所以 zA13i，z C2i 或 zA2i ，z C13i.当 zA13i，z C2i 时，（3，5）（1，3）（ 2，2） ，AD （2，1）（0，1）（ 2，2） ，BC 所以 ，又 A，B ，C ，D 不共线，AD BC 所以 ABCD 是平行四边形.当 zA2i，z C13i 时，（3，5）（2，1）（ 1，4） ，AD （1，3）（0，1）（
6、1，4）.BC 所以 ，又 A，D，B ，C 不共线，AD BC 所以 ABCD 是平行四边形.（2）由（1）可知 zAzC（2i） （13i ）26ii 3i 217i.当 zA13i，z C2i 时， 1i.zAzC 1 3i2 i （1 3i）（2 i）（2 i）（2 i） 5 5i5当 zA2i，z C13i 时， i.zAzC 2 i1 3i （2 i）（1 3i）（1 3i）（1 3i） 5 5i10 12 12【拓展 2】 在复平面上，正方形 ABCD 的顶点 A、B、C、D 按逆时针方向排列.A，B 对应的复数分别为 13i 与i.（1）求 C、D 分别对应的复数 zC与 zD
7、.（2）设 与 对应的复数分别为 z1 与 z2，求 .AC BD (z2z1) (z2z1)2 (z2z1)2 017 【解】 （1）设 zCabi，z Dcdi ，a，b，c，dR，所以 （0，1）（1，3）（1，4） ，AB （a，b）（0，1）（ a，b1） ，BC 因为 ABCD 是正方形，所以 0，AB BC 且| | | |.AB BC 即（1，4）（a，b1） 0.且 ，（ 1）2 （ 4）2 a2 （b 1）2所以 a 4b 4，a2 （b 1）2 17，)解得 或a 4，b 0 ) a 4，b 2.)当 a4，b0 时，A、B、C 的顺序是顺时针排列，舍去.当 a4，b2
8、时，A、B、C 的顺序是逆时针排列.此时，z C4 2i，由 得（c ，d）（1，3）（4，2）（0，1） ，AD BC 即（c，d）（4，2）（0，1）（1，3）（5，2）.所以 zD52i.（2）由（1）得 z1（42i ）（13i ）35i，z2（52i）（i）53i. i.z2z1 5 3i3 5i i（3 5i）3 5i所以 i i 2i 2 017 i.(z2z1) (z2z1)2(z2z1)2 017 i（1 i2 017）1 i i（1 i）1 i复数的运算与参数问题问题展示 （教材 P116 复习参考题 B 组 T3）已知复数 z1m（4m 2）i （m R） ，z22cos
9、 （ 3sin ）i（ ，R） ，并且 z1z 2，求 的取值范围.【解】 由 z1z 2 得 m（4m 2）i2cos （ 3sin ）i ，由复数相等的定义知，必有 m 2cos ，4 m2 3sin ，)得 44cos 2 3sin .所以 44cos 23sin 44（1sin 2）3sin 4sin 23sin 4 (sin2 34sin )4 .(sin 38)2 916因为 sin 1 ，1，所以 max4 7， min .( 1 38)2 916 916故 . 916，7已知复数 z1m（4m 2）i（m R ） ，z 22cos （7 3sin ）i.若 z1z 2.求证：z
10、 1在复平面上对应的点 Z 在虚轴上.【证明】 因为 z1z 2，由复数相等的定义得 m 2cos ，4 m2 7 3sin ， )代入得 44cos 273sin .所以 4sin23sin 70.解得 sin 1 或 sin （舍去） .74所以 cos 0，即 m0.1 sin2所以 z14i，即 z1 对应的点 Z 在虚轴上.1.已知复数 z （i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内所对应的点在（ ） i3（ 1 2i）2A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选 C.因为z i，所以 z 在复平面内所 i3（ 1 2i）2 i 3 4i i（ 3 4i）（ 3 4i
11、）（ 3 4i） 4 3i25 425 325对应的点在第三象限，故选 C.2.已知复数 z12ai（aR） ，z 212i ，若 为纯虚数，则| z1|（ ）z1z2A. B.2 3C.2 D. 5解析：选 D.由于 为纯虚数，则 a1，则z1z2 2 ai1 2i （2 ai）（1 2i）5 2 2a （4 a）i5|z1| ，故选 D.53.已知 i 是虚数单位，z 是复数，则下列叙述正确的是（ ）A.z 为纯虚数z B.z2n0（nZ）C.对于任意的 zC，| z| |z D.满足 z 的 z 仅有一个1z解析：选 C.当 z0 时，z 0R，所以选项 A 错误；当 zi，n1 时，z
12、 z2ni 2 10，所以选项 B 错误；由复数的模与共轭复数的定义，知 |z| |，所以选项z C 正确；当 z i 或i 时均满足 z，故选项 D 错误.1z4.复数 z2cos （3sin ）i 的模的最大值为 .解析：因为|z| （2cos ）2 （ 3sin ）2 3.4cos2 9sin2 4 5sin2 4 5所以|z| max3.答案：35.复数 的共轭复数是 .2 i1 2i解析：因为 i ，2 i1 2i （2 i）（1 2i）（1 2i）（1 2i） 2 i 4i 25所以 的共轭复数为i.2 i1 2i答案：i6.复数 z ，若 z2 0，求纯虚数 a.（1 i）2 3（1 i）2 i az解：z 1i.2i 3 3i2 i因为 a 为纯虚数，设 ami（m R ，m0） ，则 z2 （1i） 2 2i i0，az mi1 i mi m2 m2 (m2 2)所以 所以 m4，所以 a4i. m20，m2 2 0，)