1、2.3 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.数学归纳法一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0（n 0N *）时命题成立；（2） （归纳递推）假设 nk（kn 0，k N *）时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前 n 项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是所有与正整数有关的问
2、题都能用数学归纳法解决.2.第一个值 n0 是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值 n0 都是 1.3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当 nk（kn 0，kN *）时命题成立”起着已知的作用，证明“当 nk1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当 nk1 时命题也成立.而不能直接将nk1 代入归纳假设，此时 nk1 时命题成立也是假设，命题并没有得证. 判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.（ ）（2）数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.（ ）（3
3、）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（ ）答案：（1） （2） （3）用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于（n2）”时，归纳奠基中 n0 的取值应为（ ）A.1 B.2C.3 D.4解析：选 C.根据凸 n 边形至少有 3 条边，知 n3，故 n0 的取值应为 3.用数学归纳法证明等式 123（n3） （nN *）时，第（n 3）（n 4）2一步验证 n1 时，左边应取的项是（ ）A.1 B.12C.123 D.1234答案：D用数学归纳法证明 1 1）第一步要证明的不等式12 13 12n 1是 ，从 nk 到 nk1 时，左端增加了 项.解析：当 n2 时，1 2.12 13当 nk 时
4、到第 2k1 项，而当 nk1 时到第 2k1 1 项，所以 2k 11（ 2k1）2 k1 2 k22 k2 k2 k.答案：1 2 2 k12 13探究点 1 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1427310n（3n1）n（n1） 2，其中 nN *.【证明】 （1）当 n1 时，左边144，右边12 24，左边右边，等式成立.（2）假设当 nk（k N *）时等式成立，即 1427310k（3k1）k （k1） 2，那么当 nk1 时，1427310k（3k1）（k 1）3 （k 1）1k（k1） 2（k 1）3 （ k1）1（k1） （k 24k 4）（ k1）（k1）1 2，即当
5、 nk1 时等式也成立.根据（1）和（2）可知等式对任何 nN *都成立.用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明： .1213 2235 n2（2n 1）（2n 1） n（n 1）2（2n 1）证明：（1）当 n1 时， 成立.1213 1223（2）假设当 nk 时等式成立即有 ，那么当 nk1 时，1213 2235 k2（2k 1）（2k 1） k（k 1）2（2k 1） 1213 2235 k2（2k 1）（2k 1） （k 1）2（2k 1）（2k 3） k（k 1）2（2k 1） （k 1）2（2k 1）（2k 3），（k 1）（k 2）2（2k 3）即当 nk1 时等式也成立
6、.由（1） （2）可得对于任意的 nN *等式都成立.探究点 2 用数学归纳法证明不等式求证： （n2，nN *）.1n 1 1n 2 13n 56【证明】 （1）当 n2 时，左边 ，故左边右边，不等式成立.13 14 15 16 5760（2）假设当 nk（k 2，kN *）时不等式成立，即 ，则当 nk1 时，1k 1 1k 2 13k 56 1（k 1） 1 1（k 1） 2 13k 13k 1 13k 2 13（k 1） 1k 1 1k 2 13k (13k 1 13k 2 13k 3 1k 1) 56.（*）(13k 1 13k 2 13k 3 1k 1)法一：（分析法）下面证（*
7、）式 ，即 0，56 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1只需证（3k2） （3k 3）（3k 1） （3k3）（3k1） （3k2）3（3k1）（3k2）0，只需证（9k 215k 6）（9k 212k3）（9k 29k 2）（27k 227k6）0，只需证 9k50，显然成立.所以当 nk1 时，不等式也成立.法二：（放缩法） （*）式 ，(3 13k 3 1k 1) 56 56所以当 nk1 时，不等式也成立.由（1） （2）可知，原不等式对一切 n2，nN *均成立.用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点用数学归纳法证明： 1 （n2，nN *）.122 132 142 1n2
8、 1n证明：（1）当 n2 时，左式 ，右式1 .122 14 12 12因为 ，所以不等式成立.14 12（2）假设 nk（k 2，k N*）时，不等式成立，即 1 ，122 132 142 1k2 1k则当 nk1 时， 1 1 1 1122 132 142 1k2 1（k 1）2 1k 1（k 1）2 （k 1）2 kk（k 1）2 k2 k 1k（k 1）21 ，k（k 1）k（k 1）2 1k 1所以当 nk1 时，不等式也成立.综上所述，对任意 n2 的正整数，不等式都成立.探究点 3 归纳猜想证明已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a11，S nn 2an（nN *）.（1
9、）写出 S1，S 2，S 3，S 4，并猜想 Sn的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 an的表达式.【证明】 （1）因为 a11，S nn 2an，所以 S1a 11，当 n2 时，S 2a 1a 24a 2，可得 a2 ，S 21 ；当 n3 时，13 13 43S3a 1a 2a 39a 3，可得 a3 ，S 31 ；16 13 16 32当 n4 时，S 4a 1a 2a 3a 416a 4，可得 a4 ，S 4 .猜想 Sn .110 85 2nn 1（2）下面用数学归纳法证明猜想成立.当 n1 时，结论显然成立.假设当 nk（k 1，k N*）时结论成立，即 Sk ，2
10、kk 1则当 nk1 时，S k1 （k1） 2ak1 （k1） 2（S k1 S k） ，所以（k 22k）S k1 （k 1） 2Sk（k1） 2 ，2kk 1所以 Sk 1 .2（k 1）k 2故当 nk1 时结论也成立.由可知，对于任意的 nN *，都有 Sn .2nn 1因为 Snn 2an，所以 an .Snn2 2nn 1n2 2n（n 1）“归纳猜想证明”的一般步骤已知数列a n满足 Sna n2n1.（1）写出 a1，a 2，a 3，推测 an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得结论.解：（1）由 Sna n2n1，得 a1 ，a 2 ，a 3 ，推测32 74 158an
11、2 （nN *）.2n 1 12n 12n（2）证明：a n2 （nN *）.12n当 n1 时，a 12 ，结论成立.121 32假设当 nk（k 1，k N*）时结论成立，即 ak2 ，那么当 nk1 时，12ka1a 2a ka k1 a k1 2（k1）1，因为 a1a 2a k2k1a k，所以 2ak1 a k2，所以 2ak1 4 ，所以 ak1 2 ，12k 12k 1所以当 nk1 时结论成立.由知对于任意正整数 n，结论都成立.规范解答 数学归纳法的应用（本题满分 12 分）给出四个等式：11，14（12） ，149123，14916（1234） ，（1）写出第 5，6 个
12、等式，并猜测第 n（nN *）个等式；（2）用数学归纳法证明你猜测的等式.【解】 （1）第 5 个等式：149162512345， （1 分）第 6 个等式：149162536（123456） ， （2 分）第 n 个等式为：1 22 23 24 2（1） n1 n2 （ 1）n 1（1 2 3 n）.（4 分）正确猜测此结论,是本题的基础.（2）证明：当 n1 时，左边1 21，右边（1） 011，左边右边，等式成立. （6 分）假设 nk（k 1，k N*）时，等式成立，即 122 23 24 2（1） k1 k2（1） k1 （ 123k）（1） k1 . （7 分）k（k 1）2则当
13、nk1 时，122 23 24 2（1） k1 k2（1） k（k1） 2（1） k1 （1） k（k1） 2k（k 1）2（1） k（k1） （k 1） k2（ 1）k（k 1）（k 1） 12 （ 1）k（1 2 3 k 1）.（10 分）由 nk 到 nk 1 是本题难点.)所以 nk1 时，等式也成立， （11 分）根据可知，对nN *等式均成立. （12 分） （1）应用数学归纳法时，可按口诀“递推基础不可少，归纳假设要用到，突出形式明依据，总结定论莫忘掉”来检查要点.（2）在数学归纳法应用中，要明确当 nk1 时，等式两边的式子与 nk 时等式两边的式子的联系，增加的项为（1） k
14、（k1） 2.这样才可正确求解.1.一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n1 时命题成立，并在假设当 nk（k1且 kN *）时命题成立的基础上，证明了当 nk2 时命题成立，那么综合上述，对于（ ）A.一切正整数命题成立B.一切正奇数命题成立C.一切正偶数命题成立D.以上都不对解析：选 B.本题证明了当 n 1，3，5，7，时，命题成立，即命题对一切正奇数成立.A，C ，D 不正确.2.用数学归纳法证明“ ”时，由 k 到 k1，不等式左边的变1n 1 1n 2 12n 1134化是（ ）A.增加 一项12（k 1）B.增加 和 两项12k 1 12k 2C.增加 和 两项，同时减少 一
15、项12k 1 12k 2 1k 1D.以上结论都不正确解析：选 C.当 nk 时，左边 ，当 nk1 时，左边 1k 1 1k 2 1k k 1k 2 ，1k 3 1（k 1） （k 1） 1（k 1） k 1（k 1） （k 1）故不等式左边的变化是增加 和 两项，同时减少 一项.12k 1 12k 2 1k 13.求证：1 （nN *）.12 13 12n 1 n2证明：当 n1 时，左边1，右边 ，所以不等式成立.12假设当 nk（k 1，k N*）时不等式成立，即 1 .12 13 12k 1 k2则当 nk1 时，1 12 13 12k 1 12k 1 1 12k 1 2 12k k
16、2 12k 1 1 12k 1 2 12k 2 k 1 .k2 12k 12k 12k k2 12k k 12所以当 nk1 时， 不等式成立.由可知 1 （nN *）成立.12 13 12n 1 n2知识结构 深化拓展数学归纳法证题的三个关键点（1）验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.（2）递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 nk 到 nk 1 时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.（3）利用假设是核心在第二步证明 nk1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳
17、假设“nk 时命题成立”作为条件来导出“nk1”也成立，在书写 f（k1）时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是 f（k）中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.A 基础达标1.用数学归纳法证明“1aa 2a n1 （a1，nN *） ”，在验证 n11 an 21 a成立时，左边的项是（ ）A.1 B.1aC.1aa 2 D.1aa 2a 3解析：选 C.因为左边式子中 a 的最高指数是 n1，所以当 n1 时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当 n1 时，左边1aa 2.2.用数学归纳法证明 n（n1）（n2）（3n2）（2n1） 2（nN
18、 *）时，若记 f（n）n（n1 ）（n2）（3n 2） ，则 f（k 1）f （k）等于（ ）A.3k1 B.3k1C.8k D.9k解析：选 C.因为 f（k）k （ k1）（k2）（3k2） ，f（k1）（k1）（ k2）（ 3k2）（3k1）3k （3k1） ，则 f（k 1）f（k）3k13k3k 1 k 8k.3.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，x ny n能被 xy 整除”的第二步是（ ）A.假设 n2k1 时正确，再推 n2k3 时正确（kN *）B.假设 n2k 1 时正确，再推 n2k1 时正确（kN *）C.假设 nk 时正确，再推 nk1 时正确（kN *）D.假
19、设 nk（k1）时正确，再推 nk2 时正确（k N*）解析：选 B.nN*且为奇数，由假设 n2k1（kN *）时成立推证出n2k1（kN *）时成立，就完成了归纳递推.4.用数学归纳法证明不等式 n 时，从 nk 到 nk1 不等式左边增添12 13 12n的项数是（ ）A.k B.2k1C.2k D.2k1解析：选 C.当 nk 时，不等式左边为 ，共有 2k1 项；当 nk112 13 14 12k时，不等式左边为 ，共有 2k1 1 项，所以增添的项数为 2k1 2 k2 k.12 13 14 12k 15.对于不等式 n1（nN *） ，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：n2 n
20、（1）当 n1 时， 11，不等式成立.12 1（2）假设当 nk（k N *）时，不等式成立，即 k1.k2 k那么当 nk1 时， （k 1）2 （k 1） k2 3k 2 （k2 3k 2） （k 2）（k1）1，（k 2）2所以当 nk1 时，不等式也成立.根据（1）和（2） ，可知对于任何 nN *，不等式均成立.则上述证法（ ）A.过程全部正确B.n1 验得不正确C.归纳假设不正确D.从 nk 到 nk1 的证明过程不正确解析：选 D.此同学从 nk 到 nk1 的证明过程中没有应用归纳假设.6.用数学归纳法证明“设 f（ n）1 ，则 nf （1）f（2）12 13 1nf（n1
21、）nf（n） （nN *，n2） ”时，第一步要证的式子是 .解析：因为 n2，所以 n02.观察等式左边最后一项，将 n02 代入等式，可得2f （1）2f（2）.答案：2f（1）2f（2）7.用数学归纳法证明 .假设 nk 时，不等式成立，则当122 132 1（n 1）2 12 1n 2nk1 时，应推证的目标不等式是 .解析：观察不等式左边的分母可知，由 nk 到 nk1 左边多出了 这一项.1（k 2）2答案： 122 132 1（k 1）2 1（k 2）2 12 1k 38.对任意 nN *，3 4n2 a 2n 1 都能被 14 整除，则最小的自然数 a .解析：当 n1 时，3
22、 6a 3 能被 14 整除的数为 a3 或 5；当 a3 且 n2 时，3 103 5不能被 14 整除，故 a5.答案：59.证明：1 （nN *）.12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n证明：当 n1 时，左边1 ，右边 ，等式成立.12 12 12假设当 nk（k N *且 k1）时等式成立.即 1 .12 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k则当 nk1 时，左边1 12 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 1k 2 12k 12k 1 ( 1k 1 12k 2) ，1（k 1） 1 1（
23、k 1） 2 1（k 1） k 1（k 1） （k 1）所以当 nk1 时等式也成立，由知，对一切 nN *等式都成立 .10.已知数列a n中，a 15，S n1 a n（n2 且 nN *）.（1）求 a2，a 3，a 4 并由此猜想 an的表达式；（2）用数学归纳法证明a n的通项公式.解：（1）a 2S 1a 15，a 3S 2a 1a 210，a 4S 3a 1a 2a 320.猜想：a n52 n2 （n2，nN *）（2）证明：当 n2 时，a 252 22 5 成立.假设当 nk（k 2 且 kN *）时猜想成立，即 ak5 2k2 ，则 nk1 时，ak1 S ka 1 a2
24、a k551052 k25 52 k1 .5（1 2k 1）1 2故当 nk1 时，猜想也成立.由可知，对 n2 且 nN *，都有 an52 n2 .于是数列a n的通项公式为an 5，n 1，52n 2，n 2且 n N*.)B 能力提升11.已知 12333 243 3n3 n1 3 n（nab） 对一切 nN *都成立，14那么 a，b 的值为（ ）A.a ，b B.ab12 14 14C.a0，b D.a ，b14 14 12解析：选 A.法一：特值验证法，将各选项中 a，b 的值代入原式，令 n1，2 验证，易知选 A.法二：因为 12333 243 3n3 n1 3 n（nab）
25、 对一切 nN *都成14立，所以当 n1，2 时有1 3（a b） 14，1 23 32（2a b） 14，)即 解得1 3a 3b 14，7 18a 9b 14，) a 12，b 14.)12.用数学归纳法证明“当 nN *时，求证：122 22 32 5n1 是 31 的倍数”时，当 n1 时，原式为 ，从 nk 到 nk1 时需增添的项是 .解析：当 n1 时，原式应加到 2511 2 4，所以原式为 122 22 32 4，从 nk 到 nk 1 时需添 25k2 5k1 2 5（k 1）1 .答案：122 22 32 425k2 5k1 2 5k2 2 5k3 2 5k413.平面
26、内有 n（n2，nN *）条直线，其中任何两条均不平行，任何三条均不共点，证明：交点的个数 f（n） .n（n 1）2证明：（1）当 n2 时，两条直线有一个交点，f（2）1，命题成立.（2）假设当 nk（k 2，k N*）时，命题成立，即 f（k ） .那么当 nk1k（k 1）2时，第 k1 条直线与前 k 条直线均有一个交点，即新增 k 个交点，所以 f（k1）f（k）k k ，即当 nk1 时命题也成立.k（k 1）2 k2 k2 （k 1）（k 1） 12根据（1）和（2） ，可知命题对任何 n2，nN *成立.14.（选做题）若不等式 对一切正整数 n 都成立.1n 1 1n 2
27、1n 3 13n 1 a24（1）猜想正整数 a 的最大值；（2）用数学归纳法证明你的猜想.解：（1）当 n1 时， ，即 ，所以 a26，而 a 是11 1 11 2 11 3 1312 2624 2624 a24正整数，所以猜想 a 的最大值为 25.（2）下面用数学归纳法证明 .1n 1 1n 2 1n 3 13n 1 2524当 n1 时，已证.假设当 nk（k 1，k N*）时不等式成立，即 .1k 1 1k 2 1k 3 13k 1 2524那么当 nk1 时， 1（k 1） 1 1（k 1） 2 1（k 1） 3 13k 1 13k 2 13k 3 13（k 1） 1 (1k 1 1k 2 13k 1) (13k 2 13k 3 13k 4 1k 1) 2524 ( 13k 2 13k 3 13k 4 1k 1) 2524 6（k 1）9k2 18k 8 23（k 1） 2524 6（k 1）9k2 18k 9 23（k 1） 2524 23（k 1） 23（k 1） ，2524即当 nk1 时不等式也成立.根据，可知对任何 nN *，都有 .所以正整数1n 1 1n 2 1n 3 13n 1 2524a 的最大值为 25.