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2019人教A版数学选修2-2学案:3.1.1数系的扩充和复数的概念

1、3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.了解引进虚数单位 i 的必要性,了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念(1)复数定义:形如 abi(a,b R)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足 i21.表示方法:复数通常用字母 z 表示,即 zabi(a,bR) ,这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数 z 的实部,b 叫做复数 z 的虚部.(2)复数集定义:全体复数所成的集合叫做复数集.表示:通常用大写字母 C 表示.2.复数的分类(1

2、)复数 zabi(a,b R) 实 数 (b 0)虚 数 (b 0) 纯 虚 数 a 0非 纯 虚 数 a 0)(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设 a、b、c、d 都是实数,则 abi cdi ac 且 bd ,abi0ab0.1.数系扩充的脉络自然数系整数系有理数系实数系复数系.2.对实部和虚部的理解复数 mni 的实部、虚部不一定是 m、n,只有当 mR,nR 时,m、n 才是该复数的实部、虚部. 3.对复数相等的理解(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 zabi(a,bR)的形式,即分离实部和虚部.(2)只有当 ac 且 bd 的时候才有

3、 abi cdi,ac 和 bd 有一个不成立时,就有 abic di.(3)由 abi0,a,bR,可得 a0 且 b0.判断正误(正确的打“” ,错误的打“” )(1)若 a,b 为实数,则 zabi 为虚数.( )(2)复数 z13i,z 22i,则 z1z 2.( )(3)复数 zbi 是纯虚数.( )(4)实数集与复数集的交集是实数集.( )答案:(1) (2) (3) (4)若全集 C复数,Q有理数 ,P虚数 ,则( CQ)(CP)是( )A.C B.无理数集C.Q D.R解析:选 A.在全集 C中,有理数集 Q的补集是虚数集 P 和无理数集;虚数集 P 的补集是实数集,所以(CQ

4、)(C P)是全集 C.以 3i 的虚部为实部,以3 i 的实部为虚部的复数是( )2 2A.33i B.3iC. i D. i2 2 2 2答案:A若(x2y)i2x13i,则实数 x,y 的值分别为 .答案: ,12 74探究点 1 复数的概念下列命题:若 aR,则(a1)i 是纯虚数;若 a,bR,且 ab,则 ai bi;若(x 24)(x 23x 2 )i 是纯虚数,则实数 x2;实数集是复数集的真子集.其中正确的是( )A. B.C. D.【解析】 对于复数 abi( a,b R) ,当 a0 且 b0 时,为纯虚数.对于,若a1,则(a1)i 不是纯虚数,即 错误.两个虚数不能比

5、较大小,则错误.对于,若 x2,则 x240,x 2 3x20,此时(x 24)( x23x2)i0,不是纯虚数,则错误.显然,正确.故选 D.【答案】 D(1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题,所以在判定数的性质和结论时,一定要关注在哪个数集上.(2)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为 abi 的形式,更要注意这里a,b 均为实数时,才能确定复数的实、虚部. 1.对于复数 abi(a,bR) ,下列说法正确的是( )A.若 a0,则 abi 为纯虚数B.若 a(b1)i32i,则 a3,b2C.若 b0,则 abi 为实数D.i 的平方等于 1解析:选 C

6、.对于 A,当 a0 时,abi 也可能为实数;对于 B,若 a(b1)i32i,则 a3,b1;对于 D,i 的平方为1.故选 C.2.若 43aa 2ia 24ai,则实数 a 的值为( )A.1 B.1 或4C.4 D.0 或4解析:选 C.易知 解得 a4.4 3a a2, a2 4a,)探究点 2 复数的分类学生用书 P65已知 mR,复数 z (m 22m3)i,当 m 为何值时,m(m 2)m 1(1)z 为实数?(2)z 为虚数?(3)z 为纯虚数?【解】 (1)要使 z 为实数,m 需满足 m22m 30,且 有意义,即m(m 2)m 1m10,解得 m3.(2)要使 z 为

7、虚数,m 需满足 m22m 30,且 有意义,即 m10,解m(m 2)m 1得 m1 且 m3.(3)要使 z 为纯虚数,m 需满足 0,且 m22m30,解得 m0 或2.m(m 2)m 1解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为 abi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论:设所给复数为 zabi(a,bR) ,z 为实数 b0;z 为虚数 b0;z 为纯虚数a0 且 b0. 1.若复数(a 23a2)(a1)

8、i 是纯虚数,则实数 a 的值为( )A.1 B.2C.1 或 2 D.1解析:选 B.根据复数的分类知,需满足解得a2 3a 2 0,a 1 0,) a 1或 a 2,a1, )即 a2.2.当实数 m 为何值时,复数 lg(m 22m 7)(m 25m6)i 是(1)纯虚数;(2)实数.解:(1)复数 lg(m 22m 7)(m 25m6)i 是纯虚数,则lg(m2 2m 7) 0,m2 5m 6 0,)解得 m4.(2)复数 lg(m 22m7)( m25m6)i 是实数,则 解得m2 2m 70,m2 5m 6 0,)m2 或 m3.探究点 3 复数相等(1)若(xy )y i(x1)

9、i ,求实数 x,y 的值;(2)已知 a2(m2i)a2m i0(m R )成立,求实数 a 的值;(3)若关于 x 的方程 3x2 x1(10x2x 2)i 有实根,求实数 a 的值.a2【解】 (1)由复数相等的充要条件,得 x y 0,y x 1,)解得x 12,y 12. )(2)因为 a,mR,所以由 a2am2(2am)i 0,可得 解得a2 am 2 0,2a m 0, )或a 2,m 22) a 2,m 22,)所以 a .2(3)设方程的实根为 xm ,则原方程可变为 3m2 m1(10m2m 2)i ,a2所以 解得 a11 或 .3m2 a2m 1 0,10 m 2m2

10、 0,) 715复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.注意 在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是 a,b,c,dR,即当a,b,c,dR 时,abic diac 且 bd.若忽略前提条件,则结论不能成立. 1.复数 z1(2m7)(m 22)i,z 2(m 28)(4m 3)i,mR,若 z1z 2,则 m .解析:因为 mR,z 1z 2,所以(2m 7)(m 22)i(m 28)(4m3)i.由复数相等的充要条件得 2m 7 m2 8,

11、m2 2 4m 3,)解得 m5.答案:52.已知 A1 , 2,a 23a1 (a 25a6)i,B 1,3,AB3,求实数a 的值.解:由题意知,a 23a1(a 25a6)i3(aR) ,所以 a2 3a 1 3,a2 5a 6 0,)即 a 4或 a 1,a 6或 a 1,)所以 a1.1.在 2 , i,85i, (1 )i,0.618 这几个数中,纯虚数的个数为( )727 3A.0 B.1C.2 D.3解析:选 C. i, (1 )i 是纯虚数,2 ,0.618 是实数,85i 是虚数.27 3 72.若复数 zm 21(m 2m 2)i 为实数,则实数 m 的值为( )A.1

12、B.2C.1 D.1 或 2解析:选 D.因为复数 zm 21(m 2m2)i 为实数,所以 m2m20,解得 m1 或 m2.3.若复数 z(m1)(m 29)i0,则实数 m 的值等于 .解析:因为 z0,所以 m2 9 0,m 1 0,)解得 m3.答案:34.已知 (x 22x 3)i(xR ) ,求 x 的值.x2 x 6x 1解:因为 xR,所以 R,x2 x 6x 1由复数相等的条件得: x2 x 6x 1 0,x2 2x 3 0,)解得 x3.知识结构 深化拓展虚数为什么不能比较大小?引入虚数单位 i 后,规定 i21,但 i 与 0 的大小关系不能确定.理由如下:若 i0,则

13、2ii,两边同乘 i,得 2i2i 2,即21,与实数系中数的大小规定相矛盾;若 i0 则212ii 2iii i21,与实数系中数的大小规定也是矛盾的.故虚数不能比较大小,只有相等与不相等之分.A 基础达标1.以3i 的虚部为实部,以 3ii 2 的实部为虚部的复数是( )A.1i B.1iC.33i D.33i解析:选 A.3i 的虚部为 1,3i i 213i,其实部为1,故所求复数为 1i.2.在复平面内,复数 z(a 22a)(a 2a2)i 是纯虚数,则( )A.a0 或 a2 B.a0C.a1 且 a2 D.a1 或 a2解析:选 B.因为复数 z(a 22a)(a 2a2)i

14、是纯虚数,所以 a22a0 且a2a20,所以 a0.3.若 xii 2y2i,x,y R,则复数 xyi ( )A.2i B.2iC.12i D.12i解析:选 B.由 i21,得 xii 21xi ,则由题意得 1xiy2i,根据复数相等的充要条件得 x 2,y 1,故 xyi2i.4.复数 za 2b 2(a| a|) i(a,bR )为实数的充要条件是( )A.|a|b|B.a0 且 abD.a0解析:选 D.复数 z 为实数的充要条件是 a| a|0,即|a| a,得 a0,故应选 D.5.下列命题:若 zabi,则仅当 a0, b0 时 z 为纯虚数;若 z z 0,则 z1z 2

15、0;21 2若实数 a 与 ai 对应,则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选 A.在中未对 zabi 中 a,b 的取值加以限制,故错误;在中将虚数的平方与实数的平方等同,如若 z11,z 2i,则 z z 110,但 z1z20,故错误;21 2在中忽视 0i0,故也是错误的.故选 A.6.如果 x1yi 与 i3x 为相等复数,x、y 为实数,则 x ,y .解析:由复数相等可知 所以x 1 3x,y 1, ) x 14,y 1.)答案: 1147.已知复数 zm 2(1i)m(m i) (m R ) ,若 z 是实数,则 m

16、 的值为 .解析:zm 2m 2im 2mi(m 2m)i,所以 m2m0,所以 m0 或 1.答案:0 或 18.若复数 z(sin cos 1)(sin cos )i 是纯虚数,则 sin2 017 cos2 017 .解析:由题意得 sin cos 1 0,sin cos 0, )由得 sin cos 1,又 sin2cos 21.所以 或sin 0,cos 1) sin 1,cos 0. )所以 sin2 017 cos2 017( 1) 2 0170 2 0171.答案:19.已知复数 z(m 25m6)(m 22m15)i.(1)若复数 z 是实数,求实数 m 的值;(2)若复数

17、z 是虚数,求实数 m 的取值范围;(3)若复数 z 是纯虚数,求实数 m 的值;(4)若复数 z 是 0,求实数 m 的值.解:(1)当 m22m150 时,复数 z 为实数,所以 m5 或3.(2)当 m22m150 时,复数 z 为虚数.所以 m5 且 m3.所以实数 m 的取值范围为m|m 5 且 m3.(3)当 时,复数 z 是纯虚数,所以 m2.m2 2m 15 0m2 5m 6 0 )(4)当 时,复数 z 是 0,所以 m3.m2 2m 15 0m2 5m 6 0)10.已知关于 x,y 的方程组有实数解,求实数 a,b 的值.(x 32) 2(y 1)i y 4xi(2x a

18、y) (4x y b)i 9 8i)解:设(x 0,y 0)是方程组的实数解,由已知及复数相等的意义,得x0 32 y02(y0 1) 4x0,2x0 ay0 9 (4x0 y0 b) 8 )由得 代入得 .x0 52,y0 4) a 1b 2)所以实数 a,b 的值分别为 1,2.B 能力提升11.“复数 4a 2(1aa 2)i(aR)是纯虚数”是“a2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选 B.因为 1aa 2 0,所以若复数 4a 2(1aa 2)(a 12)2 34i(aR)是纯虚数,则 4a 20,即 a2;当 a2 时,4a 2

19、(1aa 2)i7i 为纯虚数,故选 B.12.使不等式 m2(m 23m)i(m 24m3)i 10 成立的实数 m 的取值集合是 .解析:由已知,得 解得 m3,所以所求的实数 m 的取值集合是3.m2 3m 0m2 4m 3 0,m2 10 )答案:313.已知关于 x 的方程 x2(23i)x5m ii 0 有实数根,求纯虚数 m.解:由于 m 是纯虚数.设 mbi(bR,且 b0) .设方程的实数根为 a,则代入原方程整理得(a 22a5b)(13a)i0.因为 a,bR,所以由复数相等的充要条件,得 ,解得 b ,所以纯虚数 m i.a2 2a 5b 01 3a 0 ) 745 7

20、4514.(选做题)已知复数 z1a 22aai,z 22xy(xy)i,其中 a,x,yR ,且 z1z 2,求 3xy 的取值范围.解:由复数相等的充要条件,得 ,消去 a,得 x2y 22x2y0,即 a2 2a 2xya x y )(x1) 2( y1) 22.法一:令 t3x y,则 y3xt .分析知圆心(1,1)到直线 3xyt 0 的距离 d ,|2 t|10 2解得 22 t22 ,5 5即 3xy 的取值范围是22 ,22 .5 5法二:令 ,x 1 2cos y 1 2sin )得 (R) ,x 2cos 1y 2sin 1)所以 3xy sin 3 cos 22 sin( )2(其中 tan 3) ,于是 3xy2 2 5的取值范围是22 ,22 .5 5