1、3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1.复数的有关概念（1）复数定义：形如 abi（a，b R）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21.表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 zabi（a，bR） ，这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部.（2）复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集.表示：通常用大写字母 C 表示.2.复数的分类（1
2、）复数 zabi（a，b R） 实 数 （b 0）虚 数 （b 0） 纯 虚 数 a 0非 纯 虚 数 a 0)（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设 a、b、c、d 都是实数，则 abi cdi ac 且 bd ，abi0ab0.1.数系扩充的脉络自然数系整数系有理数系实数系复数系.2.对实部和虚部的理解复数 mni 的实部、虚部不一定是 m、n，只有当 mR，nR 时，m、n 才是该复数的实部、虚部. 3.对复数相等的理解（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 zabi（a，bR）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当 ac 且 bd 的时候才有
3、 abi cdi，ac 和 bd 有一个不成立时，就有 abic di.（3）由 abi0，a，bR，可得 a0 且 b0.判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）若 a，b 为实数，则 zabi 为虚数.（ ）（2）复数 z13i，z 22i，则 z1z 2.（ ）（3）复数 zbi 是纯虚数.（ ）（4）实数集与复数集的交集是实数集.（ ）答案：（1） （2） （3） （4）若全集 C复数，Q有理数 ，P虚数 ，则（ CQ）（CP）是（ ）A.C B.无理数集C.Q D.R解析：选 A.在全集 C中，有理数集 Q的补集是虚数集 P 和无理数集；虚数集 P 的补集是实数集，所以（CQ
4、）（C P）是全集 C.以 3i 的虚部为实部，以3 i 的实部为虚部的复数是（ ）2 2A.33i B.3iC. i D. i2 2 2 2答案：A若（x2y）i2x13i，则实数 x，y 的值分别为 .答案： ，12 74探究点 1 复数的概念下列命题：若 aR，则（a1）i 是纯虚数；若 a，bR，且 ab，则 ai bi；若（x 24）（x 23x 2 ）i 是纯虚数，则实数 x2；实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A. B.C. D.【解析】 对于复数 abi（ a，b R） ，当 a0 且 b0 时，为纯虚数.对于，若a1，则（a1）i 不是纯虚数，即 错误.两个虚数不能比
5、较大小，则错误.对于，若 x2，则 x240，x 2 3x20，此时（x 24）（ x23x2）i0，不是纯虚数，则错误.显然，正确.故选 D.【答案】 D（1）一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上.（2）对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为 abi 的形式，更要注意这里a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部. 1.对于复数 abi（a，bR） ，下列说法正确的是（ ）A.若 a0，则 abi 为纯虚数B.若 a（b1）i32i，则 a3，b2C.若 b0，则 abi 为实数D.i 的平方等于 1解析：选 C
6、.对于 A，当 a0 时，abi 也可能为实数；对于 B，若 a（b1）i32i，则 a3，b1；对于 D，i 的平方为1.故选 C.2.若 43aa 2ia 24ai，则实数 a 的值为（ ）A.1 B.1 或4C.4 D.0 或4解析：选 C.易知 解得 a4.4 3a a2， a2 4a，)探究点 2 复数的分类学生用书 P65已知 mR，复数 z （m 22m3）i，当 m 为何值时，m（m 2）m 1（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使 z 为实数，m 需满足 m22m 30，且 有意义，即m（m 2）m 1m10，解得 m3.（2）要使 z 为
7、虚数，m 需满足 m22m 30，且 有意义，即 m10，解m（m 2）m 1得 m1 且 m3.（3）要使 z 为纯虚数，m 需满足 0，且 m22m30，解得 m0 或2.m（m 2）m 1解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为 abi（a，bR）的形式，以确定实部和虚部.（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可.（3）下结论：设所给复数为 zabi（a，bR） ，z 为实数 b0；z 为虚数 b0；z 为纯虚数a0 且 b0. 1.若复数（a 23a2）（a1）
8、i 是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A.1 B.2C.1 或 2 D.1解析：选 B.根据复数的分类知，需满足解得a2 3a 2 0，a 1 0，) a 1或 a 2，a1， )即 a2.2.当实数 m 为何值时，复数 lg（m 22m 7）（m 25m6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数 lg（m 22m 7）（m 25m6）i 是纯虚数，则lg（m2 2m 7） 0，m2 5m 6 0，)解得 m4.（2）复数 lg（m 22m7）（ m25m6）i 是实数，则 解得m2 2m 70，m2 5m 6 0，)m2 或 m3.探究点 3 复数相等（1）若（xy ）y i（x1）
9、i ，求实数 x，y 的值；（2）已知 a2（m2i）a2m i0（m R ）成立，求实数 a 的值；（3）若关于 x 的方程 3x2 x1（10x2x 2）i 有实根，求实数 a 的值.a2【解】 （1）由复数相等的充要条件，得 x y 0，y x 1，)解得x 12，y 12. )（2）因为 a，mR，所以由 a2am2（2am）i 0，可得 解得a2 am 2 0，2a m 0， )或a 2，m 22) a 2，m 22，)所以 a .2（3）设方程的实根为 xm ，则原方程可变为 3m2 m1（10m2m 2）i ，a2所以 解得 a11 或 .3m2 a2m 1 0，10 m 2m2
10、 0，) 715复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.注意 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是 a，b，c，dR，即当a，b，c，dR 时，abic diac 且 bd.若忽略前提条件，则结论不能成立. 1.复数 z1（2m7）（m 22）i，z 2（m 28）（4m 3）i，mR，若 z1z 2，则 m .解析：因为 mR，z 1z 2，所以（2m 7）（m 22）i（m 28）（4m3）i.由复数相等的充要条件得 2m 7 m2 8，
11、m2 2 4m 3，)解得 m5.答案：52.已知 A1 ， 2，a 23a1 （a 25a6）i，B 1，3，AB3，求实数a 的值.解：由题意知，a 23a1（a 25a6）i3（aR） ，所以 a2 3a 1 3，a2 5a 6 0，)即 a 4或 a 1，a 6或 a 1，)所以 a1.1.在 2 ， i，85i， （1 ）i，0.618 这几个数中，纯虚数的个数为（ ）727 3A.0 B.1C.2 D.3解析：选 C. i， （1 ）i 是纯虚数，2 ，0.618 是实数，85i 是虚数.27 3 72.若复数 zm 21（m 2m 2）i 为实数，则实数 m 的值为（ ）A.1
12、B.2C.1 D.1 或 2解析：选 D.因为复数 zm 21（m 2m2）i 为实数，所以 m2m20，解得 m1 或 m2.3.若复数 z（m1）（m 29）i0，则实数 m 的值等于 .解析：因为 z0，所以 m2 9 0，m 1 0，)解得 m3.答案：34.已知 （x 22x 3）i（xR ） ，求 x 的值.x2 x 6x 1解：因为 xR，所以 R，x2 x 6x 1由复数相等的条件得： x2 x 6x 1 0，x2 2x 3 0，)解得 x3.知识结构 深化拓展虚数为什么不能比较大小？引入虚数单位 i 后，规定 i21，但 i 与 0 的大小关系不能确定.理由如下：若 i0，则
13、2ii，两边同乘 i，得 2i2i 2，即21，与实数系中数的大小规定相矛盾；若 i0 则212ii 2iii i21，与实数系中数的大小规定也是矛盾的.故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分.A 基础达标1.以3i 的虚部为实部，以 3ii 2 的实部为虚部的复数是（ ）A.1i B.1iC.33i D.33i解析：选 A.3i 的虚部为 1，3i i 213i，其实部为1，故所求复数为 1i.2.在复平面内，复数 z（a 22a）（a 2a2）i 是纯虚数，则（ ）A.a0 或 a2 B.a0C.a1 且 a2 D.a1 或 a2解析：选 B.因为复数 z（a 22a）（a 2a2）i
14、是纯虚数，所以 a22a0 且a2a20，所以 a0.3.若 xii 2y2i，x，y R，则复数 xyi （ ）A.2i B.2iC.12i D.12i解析：选 B.由 i21，得 xii 21xi ，则由题意得 1xiy2i，根据复数相等的充要条件得 x 2，y 1，故 xyi2i.4.复数 za 2b 2（a| a|） i（a，bR ）为实数的充要条件是（ ）A.|a|b|B.a0 且 abD.a0解析：选 D.复数 z 为实数的充要条件是 a| a|0，即|a| a，得 a0，故应选 D.5.下列命题：若 zabi，则仅当 a0， b0 时 z 为纯虚数；若 z z 0，则 z1z 2
15、0；21 2若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.其中正确命题的个数是（ ）A.0 B.1C.2 D.3解析：选 A.在中未对 zabi 中 a，b 的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若 z11，z 2i，则 z z 110，但 z1z20，故错误；21 2在中忽视 0i0，故也是错误的.故选 A.6.如果 x1yi 与 i3x 为相等复数，x、y 为实数，则 x ，y .解析：由复数相等可知 所以x 1 3x，y 1， ) x 14，y 1.)答案： 1147.已知复数 zm 2（1i）m（m i） （m R ） ，若 z 是实数，则 m
16、 的值为 .解析：zm 2m 2im 2mi（m 2m）i，所以 m2m0，所以 m0 或 1.答案：0 或 18.若复数 z（sin cos 1）（sin cos ）i 是纯虚数，则 sin2 017 cos2 017 .解析：由题意得 sin cos 1 0，sin cos 0， )由得 sin cos 1，又 sin2cos 21.所以 或sin 0，cos 1) sin 1，cos 0. )所以 sin2 017 cos2 017（ 1） 2 0170 2 0171.答案：19.已知复数 z（m 25m6）（m 22m15）i.（1）若复数 z 是实数，求实数 m 的值；（2）若复数
17、z 是虚数，求实数 m 的取值范围；（3）若复数 z 是纯虚数，求实数 m 的值；（4）若复数 z 是 0，求实数 m 的值.解：（1）当 m22m150 时，复数 z 为实数，所以 m5 或3.（2）当 m22m150 时，复数 z 为虚数.所以 m5 且 m3.所以实数 m 的取值范围为m|m 5 且 m3.（3）当 时，复数 z 是纯虚数，所以 m2.m2 2m 15 0m2 5m 6 0 )（4）当 时，复数 z 是 0，所以 m3.m2 2m 15 0m2 5m 6 0)10.已知关于 x，y 的方程组有实数解，求实数 a，b 的值.(x 32) 2（y 1）i y 4xi（2x a
18、y） （4x y b）i 9 8i)解：设（x 0，y 0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的意义，得x0 32 y02（y0 1） 4x0，2x0 ay0 9 （4x0 y0 b） 8 )由得 代入得 .x0 52，y0 4) a 1b 2)所以实数 a，b 的值分别为 1，2.B 能力提升11.“复数 4a 2（1aa 2）i（aR）是纯虚数”是“a2”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 B.因为 1aa 2 0，所以若复数 4a 2（1aa 2）(a 12)2 34i（aR）是纯虚数，则 4a 20，即 a2；当 a2 时，4a 2
19、（1aa 2）i7i 为纯虚数，故选 B.12.使不等式 m2（m 23m）i（m 24m3）i 10 成立的实数 m 的取值集合是 .解析：由已知，得 解得 m3，所以所求的实数 m 的取值集合是3.m2 3m 0m2 4m 3 0，m2 10 )答案：313.已知关于 x 的方程 x2（23i）x5m ii 0 有实数根，求纯虚数 m.解：由于 m 是纯虚数.设 mbi（bR，且 b0） .设方程的实数根为 a，则代入原方程整理得（a 22a5b）（13a）i0.因为 a，bR，所以由复数相等的充要条件，得 ，解得 b ，所以纯虚数 m i.a2 2a 5b 01 3a 0 ) 745 7
20、4514.（选做题）已知复数 z1a 22aai，z 22xy（xy）i，其中 a，x，yR ，且 z1z 2，求 3xy 的取值范围.解：由复数相等的充要条件，得 ，消去 a，得 x2y 22x2y0，即 a2 2a 2xya x y )（x1） 2（ y1） 22.法一：令 t3x y，则 y3xt .分析知圆心（1，1）到直线 3xyt 0 的距离 d ，|2 t|10 2解得 22 t22 ，5 5即 3xy 的取值范围是22 ，22 .5 5法二：令 ，x 1 2cos y 1 2sin )得 （R） ，x 2cos 1y 2sin 1)所以 3xy sin 3 cos 22 sin（ ）2（其中 tan 3） ，于是 3xy2 2 5的取值范围是22 ，22 .5 5