1、16 微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义 2.掌握微积分基本定理的数学表达式 3.会利用微积分基本定理求函数的定积分微积分基本定理内容如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b) F(a)ba符号f(x)dxF(x )| F( b)F(a)ba ba从微积分基本定理可以看出，求定积分的关键是寻找原函数，如此就建立了积分与微分的联系中学阶段的定积分寻找原函数都是关注基本初等函数的导函数的原函数值得注意的是由于 f(x)F(x) F (x)c，c 为常数，因此原函数有无穷个，但是由于 f(x)badx F(x)c| F (b)c F(a)c F
2、(b) F (a)，所以我们一般选取最简单的原函数，ba不用加任意常数判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)若 F(x)f(x)，则 F(x)唯一( )(2)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数 ( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数( )答案：(1) (2) (3) dx 等于( )421xA2ln 2 B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：选 D. dxln x | ln 4ln 2ln 2.421x 42(ex2x)dx 等于( )10A1 Be1Ce De 1解析：选 C. (ex2x )dx(e xx 2)
3、| (e1) 1e.10 10sin xdx_0解析： sin xdxcos x| (cos )(cos 0)2.0 0答案：2探究点 1 求简单函数的定积分求下列定积分(1) xndx；10(2) (cos xsin x)dx；20(3) dx.21(ex 1x)【解】 (1) xndx10 xn1 |1n 1 10 1n1 0n11n 1 1n 1 .1n 1(2) (cos xsin x)dx20(sin xcos x)|20)(sin 2cos 2)(sin 0cos 0)0.(3) dx21(ex 1x)(e xln x)| 21(e 2 ln 2)(e 1ln 1)e 2eln 2
4、.(1)用微积分基本定理求定积分的步骤求 f(x)的一个原函数 F(x)；计算 F(b)F(a) (2)注意事项有时需先化简被积函数，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如 F(x)c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数 c.1. dx _21(1x 1x2)解析： dx21(1x 1x2) | (ln 11) ln 2 .(ln x 1x)21 (ln 2 12) 12答案：ln 2122求下列定积分(1) sin2 dx；(2) (2x 2)(3x)dx；x2 32(3) (1 )dx.94x x解：(1)sin 2 ，x 1 cos x2而 cos x，(12x 12sin
5、 x) 12 12所以 sin2 dx dxx2 (12 12cos x) .(12x 12sin x) 4 12 24(2)原式 (62x3x 2x 3)dx32 |(6x x2 x3 14x4)32 .(63 32 33 1434) (62 22 23 1424) 74(3) (1 )dx ( x)dx94x x94 x |(23xx 12x2)94 (2393 1292) (2342 1242)45 .16探究点 2 求分段函数的定积分(1)若 f(x) 求 f(x)dx；x2， x 0，cos x 1， x 0， )(2)计算定积分 |32x |dx.21【解】 (1) f(x)dx
6、x2dx (cos x1)dx，0 1又因为 x 2，(sin xx)cos x1，(13x3)所以原式 x3| (sin xx) 13 0 1 (sin 00) .(0 13) (sin 2 2) 43 2(2) |3 2x|dx (32x)dx (2x3)d x21(3x x2) ( x23x) .12分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质(3) ，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算 1. e|x|dx_1 1解析： e|x|dx1 1 ex dx exdx0 110e x | e x|0 1 10e 0e 1e
7、1e 02e2.答案：2e22已知 f(x) 求 f(x)dx.2x ex， 0 x 1，x 1x， 1 x 2， )20解： f(x)dx (2xe x)dx dx201021(x 1x)(x 2 ex)| |10 (12x2 ln x)21(1e)(0e 0) (1222 ln 2) (121 ln 1)e ln 2.32探究点 3 利用定积分求参数(1)若 (2x3x 2)dx0(k0)，则 k 等于_k0(2)已知 x(0，1，f( x) (12x2t )dt，则 f(x)的值域是 _10【解析】 (1) (2x3x 2)dx(x 2x 3)| k 2k 30，所以 k0( 舍)或 k
8、1.k0 k0(2) (12x2t )dt(12x )t t2 22x，10 |10)即 f(x)2x2，因为 x(0 ，1，所以 f(1)f(x)0，a 2， )所以 a2.答案：24 d 的值为_(12sin2 2)解析：因为 12sin 2 cos ，所以 d cos dsin .(1 2sin22) 32答案：32知识结构 深化拓展1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性 ”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通
9、了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数 F(x)的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法转化为计算原函数 F(x)在积分区间上的增量(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足 F( x)f(x)的原函数 F(x)，再计算 F(b)F(a).A 基础达标1定积分 ( x 2)dx( )10 xA0 B. 13C D113解析：选 B. ( x 2)dx | .10 x (23x32 13x3)10 132. dx 等于 ( )21（x 1）2xA3 B. ln 272C. ln 2 D. 52 92解析：选 B. dx dx21（x 1）2x21x2 2x 1x
10、 dx |21(x 2 1x) (12x2 2x ln x)21 (1222 22 ln 2) (1212 21 ln 1) ln 2.故选 B.723已知 f(x)2|x |，则 f(x)dx( )2 1A3 B4C. D. 72 92解析：选 C.因为 f(x)2| x| 所以2 x，x 0，2 x，x0，)f(x)dx (2x )dx (2 x)dx | | 2 .2 10 120 (2x x22) 0 1 (2x x22)20 32 724已知函数 f(a) sin xdx，则 f 等于( )a0 (f(2)A1 B1cos 1C0 Dcos 11解析：选 B.f sin xdxcos
11、 x 1，(2)f f(1) sin xdxcos x| 1cos 1.(f(2)10 105若 (xa)dx cos 2xdx，则 a( )21A1 B1C2 D4解析：选 C. (xa)dx | a， cos 2xdx sin 2x ，所以21 (12x2 ax)21 32 12 12a ，解得 a2，故选 C.32 126计算 (x2sin x)d x_1 1解析： (x2sin x)d x | .1 1 (x33 cos x) 1 1 23答案：237已知 2 (kx1)dx 4，则实数 k 的取值范围为_21解析： (kx1)dx | (2k2) k1，所以 2 k14，解得21 (
12、12kx2 x)21 (12k 1) 32 32k2.23答案： 23， 28设 f(x)kxb，若 f(x)dx2， f(x)dx3.则 f(x)的解析式为_1021解析：由 (kxb)dx 2，得102，(12kx2 bx)|10)即 kb2，12由 (kxb)dx 3，得 3，21 (12kx2 bx)|21)即(2k 2b) 3.(12k b)所以 kb3，32由联立解得，k1，b ，所以 f(x)x .32 32答案：f(x) x329若 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx .求 dx 的值1010 17621f（x）x解：设 f(x)kxb，k 0，则 (kx
13、b)dx | b5，10 (k2x2 bx)10 k2xf(x)dx (kx2bx)d x1010 | ，(kx33 bx22)10 k3 b2 176联立可得 k 4，b 3.)所以 f(x)4x3.则 dx dx21f（x）x214x 3x dx (4x3ln x )|21(4 3x) 21(83ln 2) (43ln 1)43ln 2.10计算 (|2x3|3 2x|)dx.3 3解：设 y|2x3| |32x | 4x(x 32)，6( 320x a03t2dt， x 0)解析：显然 f(1)ln 10，f(0)0 3t2dtt 3| a 3，得 a38，即 a2.a0 a0答案：21
14、3已知 (x3ax3ab)d x2a6 且 f(t) (x3ax3ab)dx 为偶函数，求 a，b.1 1t0解：因为 f(x)x 3ax 是奇函数，所以 (x3ax)dx 0，1 1所以 (x3ax3ab)dx1 1 (x3ax)dx (3ab)dx1 11 10(3ab)1 (1)6a2b，所以 6a2b2a6，即 2ab3.又 f(t) (x3 ax3ab)dx | (3ab) t为偶函数，t0 x44 ax22 （3a b）xt0 t44 at22所以 3ab0.由得 a3，b9.14(选做题) 已知 f(x)是 f(x)在(0，)上的导函数，满足 xf(x)2f(x) ，且 x2f(
15、x)1x2 21ln xd x1.(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x0 时，证明不等式 2ln xex 22.解：(1)由 xf(x)2f( x) 得1x2x2f(x)2xf(x) ，1x即x 2f(x) ，1x所以 x2f(x)ln xc( c为常数)，即 x2f(x)ln xc.又 x2f(x)ln xdx 1，21即 cdx1，21所以 cx| 1，21即 2cc1，所以 c1.所以 x2f(x)ln x1，所以 f(x) .ln x 1x2(2)证明：由第一问知 f(x) (x0)，ln x 1x2所以 f(x)1xx2 2x（ln x 1）x4 ， 2ln x 1x3当 f(x)0 时， xe ，12 f(x)0 时，0e ，12 所以 f(x)在(0，e )上单调递增，12 在(e ， ) 上单调递减12 所以 f(x)maxf(e ) ，12 e2所以 f(x) ，ln x 1x2 e2即 2ln xex 22.