1、17 定积分的简单应用17.1 定积分在几何中的应用17.2 定积分在物理中的应用1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功2将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数 f(x)在 a，b上是连续函数，由直线 y0，xa，xb 与曲线 yf(x)围成的曲边梯形的面积为 S，填表：f(x)的符号 平面图形的面积与定积分的关系f(x)0S f(x)dxba续 表f(x)的符号 平面图形的面积与定积分的关系f(x)g(x)，那么直线 xa，xb与曲线 yf(x) ， yg(x )围成的平面图形的面积为 S f(x)g( x
2、)dxba2定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 vv (t)(v(t)0) 在时间区间a，b上的定积分，即 s v(t)dtab(2)一物体在恒力 F(单位：N) 的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单位：m) ，则力 F 所做的功为 WFs；而若是变力所做的功，W 等于其力函数 F(x)在位移区间a，b上的定积分，即 W F(x)dxab1由一条曲线 yf( x)和直线 xa，x b，y0(b a)所围图形的面积(1)如图所示，f (x)0， f(x)dx0，所以所求面积 S f(x)dx.baba(2)如图所示，f (x
3、)a) 所围图形的面积(1)如图所示，f (x)g(x)0，所以所求面积 S f(x)g(x)d x.ba(2)如图所示，f (x)0，g(x)0，则运动物体的路程为 s v(t)dt；若 v(t)0)，则 p ，所以 y ，所以 S2 dx 2 x | .14 x2 20x2 23 32 2083答案：838如图，已知点 A ，点 P(x0，y 0)(x00)在曲线 yx 2 上，若阴影部分面积与(0，14)OAP 面积相等，则 x0_解析：由题意得 x2dx x0，即 x x0，x00 12 14 1330 18解得 x0 .64答案：649求由抛物线 y28x (y0)与直线 xy60
4、及 y0 所围成图形的面积解：法一：由 解得交点坐标为(2，4) ，如图，所以y2 8x，y 0，x y 6 0，)所求面积为 A dx (6 x)dx2 x | | 2 (36 18)(122)208x62 2 2332 20 (6x 12x2)62 423 32 .403法二：由 y2 8x，y 0，x y 6 0，)解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A dy |40(6 y 18y2) (6y 12y2 124y3)40248 43 .124 40310A、B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途中 C 点，这一段的速度为 1.2
5、t m/s，到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车，经 t s 后，速度为(241.2t) m/s，在 B 站恰好停车，试求：(1)A，C 间的距离；(2)B，D 间的距离解：(1)设 A 到 C 的时间为 t1s，则 1.2t124，解得 t120.则AC 1.2tdt0.6t 2| 240(m)200 20即 A，C 间的距离为 240 m.(2)设 D 到 B 的时间为 t2 s，则 241.2t 20，解得 t220，则 BD (241.2t)d t(24t0.6t 2)| 240(m) 200 20即 B，D 间的距离为 24
6、0 m.B 能力提升11如图，求由曲线 yx 2，4y x 2 及直线 y1 所围图形的面积为( )A. B.23 43C. D.38 34解析：选 B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于 y 轴右侧图形面积的 2 倍法一：由 得 C(1，1)同理得 D(2，1)y x2，y 1)则所求图形的面积S2 10x24 （ x2）dx 21x24 （ 1）dx2 (103x24dx 21x24dx 211dx)2 .43法二：同法一得 C(1，1)， D(2，1) 则所求图形的面积为 S2 (2 )0 1 y ydy2 dy2 (y) | .0 1 y ( 23) 32 0 1 4312过原点的直
7、线 l 与抛物线 yx 22ax(a0)所围成的图形面积为 a3，则直线 l 的方92程为_解析：设直线 l 的方程为 ykx，由 得交点坐标为(0 ，0)，(2 ak ，2akk 2)，图形面积y kx，y x2 2ax)S kx(x 22ax )2a k0dx | a3，(k 2a2 x2 x33)2a k0 （k 2a）32 （k 2a）33 （k 2a）36 92所以 ka，所以直线 l 的方程为 yax.答案：yax13求正弦曲线 ysin x 与余弦曲线 ycos x 与直线 x ，x 围成的图形的面34 54积解：如图，画出 ysin x 与 ycos x 在 上的图象，它们 3
8、4，54共有三个交点，分别为 ，( 34， 22)， .(4，22) (54， 22)在 上，cos xsin x ，( 34，4)在 上，sin x cos x，(4，54)所以所求的面积 S (cos xsin x )dx (sin xcos x)d x2 (sin xcos x)d x2(sin xcos x) 4 .214(选做题) 如图，设点 P 在曲线 yx 2 上，从原点向 A(2，4) 移动，记直线 OP 与曲线 yx 2 所围成的图形的面积为 S1，直线 OP、直线 x2 与曲线 yx 2 所围成的图形的面积为 S2.(1)当 S1S 2 时，求点 P 的坐标；(2)当 S1S 2 有最小值时，求点 P 的坐标和最小值解：(1)设点 P 的横坐标为 t(00.2所以当 t 时，S 1S 2 有最小值 ，此时点 P 的坐标为( ，2)283 423 2