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2019人教A版数学选修2-2学案:3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

1、3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设 z1abi,z 2c di(a,b,c,dR)是任意两个复数,则 z1z 2(ac)(bd)i,z 1z 2(a c)(bd)i.(2)加法运算律对任意 z1,z 2,z 3C,交换律:z 1z 2z 2z 1.结合律:(z 1z 2)z 3z 1(z 2z 3).2.复数加减法的几何意义如图,设复数 z1,z 2 对应的向量分别为 , ,四边形 OZ1ZZ

2、2OZ1 OZ2 为平行四边形,则与 z1z 2 对应的向量是 ,与 z1z 2 对应的向量是OZ .Z2Z1 判断正误(正确的打“” ,错误的打“” )(1)两个虚数的和或差可能是实数.( )(2)若复数 z1,z 2 满足 z1z 20,则 z1z 2.( )(3)在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.( )(4)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( )(5)复数的减法不满足结合律,即(z 1z 2)z 3z 1(z 2z 3)可能不成立.( )答案:(1) (2) (3) (4) (5)已知复数 z134i,复数 z234i ,那么 z1z 2 等于(

3、)A.8i B.6C.68i D.68i答案:B(5i)(3i)5i 等于( )A.5i B.25iC.25i D.2解析:选 B.(5i)(3i)5i5i3i 5i25i.若复数 z 满足 zi33 i,则 z 等于 .解析:因为 zi33i,所以 z3ii362i.答案:62i探究点 1 复数的加减法运算(1)计算:(56i)( 2i )(34i) ;(2)设 z1x2i,z 23yi(x ,yR) ,且 z1z 256i,求 z1z 2.【解】 (1)原式(523)(614)i11i.(2)因为 z1x2i,z 23yi,z 1z 256i ,所以(3x)(2y )i56i ,所以 所以

4、 所以 z1z 2(22i)(38i)(23)3 x 5,2 y 6,) x 2,y 8,)2( 8)i110i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减) ,就是把两个复数的实部相加(减) ,虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算,两个复数相减,也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减) ,所有虚部相加(减). 1.复数(12i )(34i )(53i)对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选 A.复数(12i)(34i )(53i )( 135)(243)i9i,其对应的点为(9,1) ,在第一象限.2.计

5、算:(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0152 016 i)(2 0162 017i).解:法一:原式(12342 0152 016)(23452 0162 017)i1 0081 008i.法二:(12i)(23i)1i,(34i)(45i)1i,(2 0152 016i)(2 016 2 017i)1i.将上述 1 008 个式子左右分别相加,得原式1 008(1i)1 0081 008i.探究点 2 复数加减法的几何意义已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O,A,C 对应的复数分别为0,32i,24i.(1)求 表示的复数;AO (2)求 表示的复数.CA 【解】 (1)因

6、为 ,AO OA 所以 表示的复数为(3 2i) ,即32i.AO (2)因为 ,CA OA OC 所以 表示的复数为(32i)(24i)52i.CA 1.若本例条件不变,试求点 B 所对应的复数.解:因为 ,所以 表示的复数为(32i )( 24i )16i.所以点OB OA OC OB B 所对应的复数为 16i.2.若本例条件不变,求对角线 AC,BO 的交点 M 对应的复数.解:由题意知,点 M 为 OB 的中点,则 ,由互动探究 1 中点 B 坐标为(1,6)得点 M 坐标为 ,所以点 M 对OM 12OB (12,3)应的复数为 3i.12复数加减法几何意义的应用技巧(1)复数的加

7、减运算可以转化为点的坐标或向量运算.(2)复数的加减运算转化为向量运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则. 1.在复平面内,复数 1i 与 13i 分别对应向量 和 ,其中 O 为坐OA OB 标原点,则| |( )AB A. B.22C. D.410解析:选 B.因为 ,所以 对应的复数为(13i)(1i)2i,故AB OB OA AB | |2.AB 2.已知复数 z112i,z 2 2i ,z 312i,如图,它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点 A,B,C ,求这个正方形的第四个顶点 D 所对应的复数.解:如题图,正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi(x,yR )

8、,则 对应的复数是(xy i)(12i)(x1)(y2)AD OD OA i, 对应的复数是(12i )(2i )1 3i.因为 ,BC OC OB AD BC 即(x1)(y 2)i13i ,所以 x 1 1,y 2 3,)解得 x 2,y 1.)故点 D 对应的复数为 2i.1.已知 z12i,z 212i,则复数 zz 2z 1 对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:选 C.z z2z 1(12i )(2i)13i.故 z 对应的点为(1,3) ,位于第三象限.2.已知复数 z1 i,z 2cos 60isin 60,则|z 1 z2|( )12 3

9、2A.1 B. 3C. D.12 32解析:选 A.z2cos 60 isin 60 i,所以 z1z 2 i i1,则12 32 12 32 12 32|z1z 2|1.3.已知复数 z1(a 22)3ai,z 2a(a 22)i ,若 z1z 2 是纯虚数,那么实数 a的值为 .解析:由 z1z 2a 22a(a 23a2)i 是纯虚数,得 a2.a2 2 a 0,a2 3a 2 0)答案:24.已知复数 z12i,z 2 12i.(1)求 z1z 2;(2)在复平面内作出复数 z1z 2 所对应的向量.解:(1)由复数减法的运算法则得 z1z 2(2i)(12i )1i.(2)在复平面内

10、作复数 z1z 2 所对应的向量,如图中 .OZ 知识结构 深化拓展在复平面内,z 1,z 2 对应的点为 A,B,z 1z 2对应的点为 C,O 为坐标原点,则四边形 OACB 为平行四边形;若|z 1z 2|z 1z 2|,则四边形 OACB 为矩形;若|z 1| z2|,则四边形 OACB 为菱形;若|z 1| z2|且|z 1z 2|z 1z 2|,则四边形OACB 为正方形;若|z 1| z2|z 1z 2|,则OAB 是正三角形.A 基础达标1.已知复数 z12i,z 2 i,i 是虚数单位,则复数 z12z 2( )A.12i B.12iC.12i D.23i解析:选 D.因为

11、z12i,z 2i,所以 z12z 22i 2i23i.2.设 a,bR,z 12bi,z 2ai,当 z1z 20 时,复数 abi 为( )A.1i B.2iC.3 D.2i解析:选 D.由 2 a 0,b 1 0,)得 a 2,b 1,)所以 abi2i.3.在平行四边形 ABCD 中,若 A,C 对应的复数分别为1i 和43i ,则该平行四边形的对角线 AC 的长度为( )A. B.55C.2 D.105解析:选 B.依题意, 对应的复数为(43i)(1i)34i,因此 ACAC 的长度即为| 34i| 5.4.复数 z1a4i,z 23 bi,若它们的和 z1z 2 为实数,差 z1

12、z 2 为纯虚数,则a,b 的值为( )A.a3,b4 B.a3,b4C.a3,b4 D.a3,b4解析:选 A.因为 z1z 2(a3)(4b)i 为实数,所以 4b0,b4.因为 z1z 2(a4i)( 3bi )(a3)(4 b)i 为纯虚数,所以 a3且 b4.故 a3,b4.5.设 f(z)|z|,z 134i, z22i ,则 f(z 1z 2)( )A. B.510 5C. D.52 2解析:选 D.因为 z1z 255i,所以 f(z 1z 2) f(55i)|5 5i| 5 .26.已知复数 z 满足 z(12i )5i ,则 z .解析:z(5i)(12i)43i.答案:4

13、3i7.已知复数 z12ai,z 2a i (aR ) ,且复数 z1z 2 在复平面内对应的点位于第二象限,则 a 的取值范围是 .解析:因为复数 z1z 22aiai (2a)(a1 )i 在复平面内对应的点位于第二象限,所以 解得 a2.2 a 0,a 1 0,)答案:(2,)8.已知|z|4,且 z2i 是实数,则复数 z .解析:因为 z2i 是实数,可设 za2i (aR ) ,由| z|4 得 a2416,所以 a212,所以 a2 ,3所以 z2 2i.3答案:2 2i39.设 mR,复数 z1 ( m15)i,z 22m(m3)i,若 z1z 2 是虚数,m2 mm 2求 m

14、 的取值范围.解:因为 z1 (m 15)i ,m2 mm 2z22m(m3)i,所以 z1z 2 (m15)m (m 3)i(m2 mm 2 2) (m 22m15)i.m2 m 4m 2因为 z1z 2 是虚数,所以 m22m150 且 m2,所以 m5 且 m3 且 m2,所以 m 的取值范围是(,3)(3,2)(2,5)(5,).10.已知 z1(3xy )(y 4x)i,z 2(4y2x )(5x3y )i (x,y R) ,设zz 1z 213 2i,求 z1,z 2.解:zz 1z 2(3xy)(y 4x)i(4y2x )(5x3y)i(3x y)(4y 2x )(y4x)(5x

15、 3y)i(5x3y)(x 4y)i.又因为 z132i,且 x,yR,所以 解得5x 3y 13,x 4y 2,) x 2,y 1,)所以 z1(321)(142)i59i ,z24(1)225 23(1)i87i.B 能力提升11.若复数 z 满足条件| z(22i )|1,则复平面内 z 对应的点的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析:选 A.设 zx yi(x , yR) ,则| z(22i)| xyi 22i| | (x 2)(y2)i|1,所以(x 2) 2(y 2) 21.所以复平面内 z 对应的点的轨迹是圆.12.在复平面内,ABC 的三个顶点所对应的复数分别

16、为 z1,z 2,z 3,复数 z 满足|zz 1| zz 2| zz 3|,则 z 对应的点是ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析:选 A.设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应,由ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1, z2,z 3 及| zz 1|z z2|zz 3|,可知点 Z 到ABC 的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义,可知点 Z 为ABC 的外心.故选 A.13.已知在复平面内的正方形 ABCD 有三个顶点对应的复数分别是12i,2i,12i,则第四个顶点对应的复数是 .解析:设复平面内正方形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 对应的复数分别为12

17、i,2i,12i,则 (1,2) , (2,1) , (1,2) ,设OA OB OC (a,b).OD 因为 (3, 1) , (1, 3) ,且 1(3)AB OB OA BC OC OB (1)(3)0,所以 ,AB BC 所以 ,即向量 与 对应的复数相等,AB DC AB DC 所以3i1a(2 b)i ,所以 解得 所以 (2,1). 2 b 1, 1 a 3,) a 2,b 1.) OD 故第四个顶点对应的复数是 2i.答案:2i14.(选做题)已知 z022i ,| zz 0| .2(1)求复数 z 在复平面内对应的点的轨迹;(2)求当 z 为何值时,| z|有最小值,并求出| z|的最小值.解:(1)设 zxy i(x,yR ) ,由|zz 0| ,2即|x y i(2 2i)| |(x 2)(y2)i| ,2解得(x2) 2(y 2) 22,所以复数 z 对应的点的轨迹是以 Z0(2,2)为圆心,半径为 的圆.2(2)当 z 对应的 Z 点在 OZ0 的连线上时,| z|有最大值或最小值.因为|OZ 0|2 ,半径 r ,2 2所以当 z1i 时,| z|min .2