1、3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加减法的运算法则及加法运算律（1）加减法则设 z1abi，z 2c di（a，b，c，dR）是任意两个复数，则 z1z 2（ac）（bd）i，z 1z 2（a c）（bd）i.（2）加法运算律对任意 z1，z 2，z 3C，交换律：z 1z 2z 2z 1.结合律：（z 1z 2）z 3z 1（z 2z 3）.2.复数加减法的几何意义如图，设复数 z1，z 2 对应的向量分别为 ， ，四边形 OZ1ZZ
2、2OZ1 OZ2 为平行四边形，则与 z1z 2 对应的向量是 ，与 z1z 2 对应的向量是OZ .Z2Z1 判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）两个虚数的和或差可能是实数.（ ）（2）若复数 z1，z 2 满足 z1z 20，则 z1z 2.（ ）（3）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（ ）（4）复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.（ ）（5）复数的减法不满足结合律，即（z 1z 2）z 3z 1（z 2z 3）可能不成立.（ ）答案：（1） （2） （3） （4） （5）已知复数 z134i，复数 z234i ，那么 z1z 2 等于（
3、）A.8i B.6C.68i D.68i答案：B（5i）（3i）5i 等于（ ）A.5i B.25iC.25i D.2解析：选 B.（5i）（3i）5i5i3i 5i25i.若复数 z 满足 zi33 i，则 z 等于 .解析：因为 zi33i，所以 z3ii362i.答案：62i探究点 1 复数的加减法运算（1）计算：（56i）（ 2i ）（34i） ；（2）设 z1x2i，z 23yi（x ，yR） ，且 z1z 256i，求 z1z 2.【解】 （1）原式（523）（614）i11i.（2）因为 z1x2i，z 23yi，z 1z 256i ，所以（3x）（2y ）i56i ，所以 所以
4、 所以 z1z 2（22i）（38i）（23）3 x 5，2 y 6，) x 2，y 8，)2（ 8）i110i.解决复数加减运算的思路两个复数相加（减） ，就是把两个复数的实部相加（减） ，虚部相加（减）.复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减） ，所有虚部相加（减）. 1.复数（12i ）（34i ）（53i）对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选 A.复数（12i）（34i ）（53i ）（ 135）（243）i9i，其对应的点为（9，1） ，在第一象限.2.计
5、算：（12i）（23i）（34i）（45i）（2 0152 016 i）（2 0162 017i）.解：法一：原式（12342 0152 016）（23452 0162 017）i1 0081 008i.法二：（12i）（23i）1i，（34i）（45i）1i，（2 0152 016i）（2 016 2 017i）1i.将上述 1 008 个式子左右分别相加，得原式1 008（1i）1 0081 008i.探究点 2 复数加减法的几何意义已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为0，32i，24i.（1）求 表示的复数；AO （2）求 表示的复数.CA 【解】 （1）因
6、为 ，AO OA 所以 表示的复数为（3 2i） ，即32i.AO （2）因为 ，CA OA OC 所以 表示的复数为（32i）（24i）52i.CA 1.若本例条件不变，试求点 B 所对应的复数.解：因为 ，所以 表示的复数为（32i ）（ 24i ）16i.所以点OB OA OC OB B 所对应的复数为 16i.2.若本例条件不变，求对角线 AC，BO 的交点 M 对应的复数.解：由题意知，点 M 为 OB 的中点，则 ，由互动探究 1 中点 B 坐标为（1，6）得点 M 坐标为 ，所以点 M 对OM 12OB (12，3)应的复数为 3i.12复数加减法几何意义的应用技巧（1）复数的加
7、减运算可以转化为点的坐标或向量运算.（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则. 1.在复平面内，复数 1i 与 13i 分别对应向量 和 ，其中 O 为坐OA OB 标原点，则| |（ ）AB A. B.22C. D.410解析：选 B.因为 ，所以 对应的复数为（13i）（1i）2i，故AB OB OA AB | |2.AB 2.已知复数 z112i，z 2 2i ，z 312i，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点 A，B，C ，求这个正方形的第四个顶点 D 所对应的复数.解：如题图，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi（x，yR ）
8、，则 对应的复数是（xy i）（12i）（x1）（y2）AD OD OA i， 对应的复数是（12i ）（2i ）1 3i.因为 ，BC OC OB AD BC 即（x1）（y 2）i13i ，所以 x 1 1，y 2 3，)解得 x 2，y 1.)故点 D 对应的复数为 2i.1.已知 z12i，z 212i，则复数 zz 2z 1 对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选 C.z z2z 1（12i ）（2i）13i.故 z 对应的点为（1，3） ，位于第三象限.2.已知复数 z1 i，z 2cos 60isin 60，则|z 1 z2|（ ）12 3
9、2A.1 B. 3C. D.12 32解析：选 A.z2cos 60 isin 60 i，所以 z1z 2 i i1，则12 32 12 32 12 32|z1z 2|1.3.已知复数 z1（a 22）3ai，z 2a（a 22）i ，若 z1z 2 是纯虚数，那么实数 a的值为 .解析：由 z1z 2a 22a（a 23a2）i 是纯虚数，得 a2.a2 2 a 0，a2 3a 2 0)答案：24.已知复数 z12i，z 2 12i.（1）求 z1z 2；（2）在复平面内作出复数 z1z 2 所对应的向量.解：（1）由复数减法的运算法则得 z1z 2（2i）（12i ）1i.（2）在复平面内
10、作复数 z1z 2 所对应的向量，如图中 .OZ 知识结构 深化拓展在复平面内，z 1，z 2 对应的点为 A，B，z 1z 2对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB 为平行四边形；若|z 1z 2|z 1z 2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z 1| z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z 1| z2|且|z 1z 2|z 1z 2|，则四边形OACB 为正方形；若|z 1| z2|z 1z 2|，则OAB 是正三角形.A 基础达标1.已知复数 z12i，z 2 i，i 是虚数单位，则复数 z12z 2（ ）A.12i B.12iC.12i D.23i解析：选 D.因为
11、z12i，z 2i，所以 z12z 22i 2i23i.2.设 a，bR，z 12bi，z 2ai，当 z1z 20 时，复数 abi 为（ ）A.1i B.2iC.3 D.2i解析：选 D.由 2 a 0，b 1 0，)得 a 2，b 1，)所以 abi2i.3.在平行四边形 ABCD 中，若 A，C 对应的复数分别为1i 和43i ，则该平行四边形的对角线 AC 的长度为（ ）A. B.55C.2 D.105解析：选 B.依题意， 对应的复数为（43i）（1i）34i，因此 ACAC 的长度即为| 34i| 5.4.复数 z1a4i，z 23 bi，若它们的和 z1z 2 为实数，差 z1
12、z 2 为纯虚数，则a，b 的值为（ ）A.a3，b4 B.a3，b4C.a3，b4 D.a3，b4解析：选 A.因为 z1z 2（a3）（4b）i 为实数，所以 4b0，b4.因为 z1z 2（a4i）（ 3bi ）（a3）（4 b）i 为纯虚数，所以 a3且 b4.故 a3，b4.5.设 f（z）|z|，z 134i， z22i ，则 f（z 1z 2）（ ）A. B.510 5C. D.52 2解析：选 D.因为 z1z 255i，所以 f（z 1z 2） f（55i）|5 5i| 5 .26.已知复数 z 满足 z（12i ）5i ，则 z .解析：z（5i）（12i）43i.答案：4
13、3i7.已知复数 z12ai，z 2a i （aR ） ，且复数 z1z 2 在复平面内对应的点位于第二象限，则 a 的取值范围是 .解析：因为复数 z1z 22aiai （2a）（a1 ）i 在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得 a2.2 a 0，a 1 0，)答案：（2，）8.已知|z|4，且 z2i 是实数，则复数 z .解析：因为 z2i 是实数，可设 za2i （aR ） ，由| z|4 得 a2416，所以 a212，所以 a2 ，3所以 z2 2i.3答案：2 2i39.设 mR，复数 z1 （ m15）i，z 22m（m3）i，若 z1z 2 是虚数，m2 mm 2求 m
14、 的取值范围.解：因为 z1 （m 15）i ，m2 mm 2z22m（m3）i，所以 z1z 2 （m15）m （m 3）i(m2 mm 2 2) （m 22m15）i.m2 m 4m 2因为 z1z 2 是虚数，所以 m22m150 且 m2，所以 m5 且 m3 且 m2，所以 m 的取值范围是（，3）（3，2）（2，5）（5，）.10.已知 z1（3xy ）（y 4x）i，z 2（4y2x ）（5x3y ）i （x，y R） ，设zz 1z 213 2i，求 z1，z 2.解：zz 1z 2（3xy）（y 4x）i（4y2x ）（5x3y）i（3x y）（4y 2x ）（y4x）（5x
15、 3y）i（5x3y）（x 4y）i.又因为 z132i，且 x，yR，所以 解得5x 3y 13，x 4y 2，) x 2，y 1，)所以 z1（321）（142）i59i ，z24（1）225 23（1）i87i.B 能力提升11.若复数 z 满足条件| z（22i ）|1，则复平面内 z 对应的点的轨迹是（ ）A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析：选 A.设 zx yi（x ， yR） ，则| z（22i）| xyi 22i| | （x 2）（y2）i|1，所以（x 2） 2（y 2） 21.所以复平面内 z 对应的点的轨迹是圆.12.在复平面内，ABC 的三个顶点所对应的复数分别
16、为 z1，z 2，z 3，复数 z 满足|zz 1| zz 2| zz 3|，则 z 对应的点是ABC 的（ ）A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析：选 A.设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应，由ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1， z2，z 3 及| zz 1|z z2|zz 3|，可知点 Z 到ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义，可知点 Z 为ABC 的外心.故选 A.13.已知在复平面内的正方形 ABCD 有三个顶点对应的复数分别是12i，2i，12i，则第四个顶点对应的复数是 .解析：设复平面内正方形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 对应的复数分别为12
17、i，2i，12i，则 （1，2） ， （2，1） ， （1，2） ，设OA OB OC （a，b）.OD 因为 （3， 1） ， （1， 3） ，且 1（3）AB OB OA BC OC OB （1）（3）0，所以 ，AB BC 所以 ，即向量 与 对应的复数相等，AB DC AB DC 所以3i1a（2 b）i ，所以 解得 所以 （2，1）. 2 b 1， 1 a 3，) a 2，b 1.) OD 故第四个顶点对应的复数是 2i.答案：2i14.（选做题）已知 z022i ，| zz 0| .2（1）求复数 z 在复平面内对应的点的轨迹；（2）求当 z 为何值时，| z|有最小值，并求出| z|的最小值.解：（1）设 zxy i（x，yR ） ，由|zz 0| ，2即|x y i（2 2i）| |（x 2）（y2）i| ，2解得（x2） 2（y 2） 22，所以复数 z 对应的点的轨迹是以 Z0（2，2）为圆心，半径为 的圆.2（2）当 z 对应的 Z 点在 OZ0 的连线上时，| z|有最大值或最小值.因为|OZ 0|2 ，半径 r ，2 2所以当 z1i 时，| z|min .2