1、15.3 定积分的概念1.了解定积分的概念，会用定义求定积分 2.理解定积分的几何意义 3.掌握定积分的基本性质1定积分的概念如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax 00 时，f(|x|)f (x)，故 f(|x|)dx2 f(|x|)dx2 f(x)dx16.6 66060利用定积分的性质求定积分的方法(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的运算性质进行计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算(3)如果函数具有奇偶性，应借助图象的对称关系及定积分的几何意义求值 1.若 f(x)dx2， f(x)dx3，则
2、 2f(x)dx 的值为( )1 1212 1A5 B10C7 D8解析：选 B. 2f(x)dx2 f(x)dx2 12 12 2(23) 10.1 1f（x）dx21f（x）dx2已知 xdx 2，则 |x|dx _202 2解析：法一： |x|dx |x|dx |x|dx (x)d x xdx xdx xdx224.2 20 2200 2200 220法二：因为 y|x| 在2，2上为偶函数，所以函数图象关于 y 轴对称，所以 |x|dx2 xdx22 4.2 220答案：41. 1dx 的值为( )10A0 B1 C2 D. 12解析：选 B.由定积分的几何意义知， 1dx 的值等于由
3、 x0，x1，y0，y1 围成10的正方形的面积 S，S111，故选 B.2.图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A. 2xdx10B. (2x1)dx10C. (2x1)dx10D. (12 x)dx10解析：选 B.根据定积分的性质，得阴影部分的面积为 2xdx 1dx (2x1)d x.1010103若 f(x)dx1， g(x)dx 3，则 2f(x)g(x)dx_bababa解析： 2f(x)g(x )dx2 f(x)dx g(x)dxbababa21(3)1.答案：14. (2 )dx_10 1 x2解析：原式 2dx dx，10101 x2因为 2dx2， dx ，10101
4、x2 4所以 (2 )dx 2.10 1 x2 4答案： 24知识结构 深化拓展利用定积分的几何意义求定积分的两个关注点由直线 xa，x b(ab)，x 轴及一条曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为 S，则有：(1)在区间a，b 上，若 f(x)0，则 S f(x)dx.如ba图(1)所示，即 f(x)dxS.ba(2)在区间a，b 上，若 f(x)0，则 S f(x)dx，ba如图(2)所示，即 f(x)dxS.baA 基础达标1下列各式中不正确的是( )A. f(x)dx f(t)dtababB. f(x)dx f(x)dxababC. f(x)dx f(x)dx f(x)dxcac
5、babD. f(x)dx f(x)dx f(x)dxcabcba解析：选 C.根据定积分的性质 (3)，可知 C 不正确2设 f(x)在a，b上连续，且 t 与 x 无关，则( )A. xf(x)dxx f(x)dxbabaB. tf(x)dxt f(x)dxbabaC. tf(x)dx f(t)dxbabaD. xf(t)dtx f(t)dxbaba解析：选 B.A 中，x 是一个变量，xf(x)是被积函数，不能直接把 x 提到积分符号的外边，所以 A 错误；B 中，t 是一个与积分变量 x 无关的数，可以应用定积分的性质(1)将 t提到积分符号的外边；C 显然错误，改变了被积函数； D 同
6、时犯了 A，C 中的错误，所以D 错误3下列各阴影部分的面积 S 不可以用 S f(x)g( x)dx 表示的是( )ba解析：选 D.定积分 S f(x)g(x)dx(ab) 的几何意义是求由曲线 f(x)，g(x) ，直线baxa，xb 所围成的图形的面积，且函数 f(x)的图象要在函数 g(x)的图象上方对照各选项，可知 D 选项中函数 f(x)的图象不全在函数 g(x)的图象上方故选 D.4曲线 yx 2 与直线 yx 所围成的图形的面积 S( )A. (xx 2)dx B. (x2x )dx1010C. (y2y)d y D. (y )dy1010 y解析：选 A.画出曲线 yx 2
7、 与直线 yx(如图所示)，由图象，得曲线 yx 2 与直线yx 所围成的图形的面积 S (xx 2)dx.105设函数 f(x) ，则 f(x)dx( )3x2 1， 0 x 13x， 1 x0 ) 1 1A. (3x21)d x1 1B. 3xdx1 1C. (3x21)dx 3xdx0 110D. 3xdx (3x21)dx0 110解析：选 D.因为 f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与相应的解析式一致由定积分的性质，知选 D.6计算 (3x2)dx_32解析：由定积分的几何意义，知所求积分值为直线 x2，x3，y0，y3x 2 围成的直角梯形的面积，即 (811) 1
8、 .12 192答案：1927定积分 |x|dx_2 1解析：如图， |x|dx 2 .2 1 12 52答案：528. dx 的值为_0 416 x2解析：由于 dx 表示曲线 y (4x0)与 x 轴、y 轴所围成的图形0 416 x2 16 x2的面积，即以原点为圆心，以 4 为半径的圆的面积的 ，所以 dx 424.14 0 416 x2 14答案：49已知 x3dx ， x3dx ， x2dx ， x2dx ，利用定积分的性质求：10 1421 15421 7342 563(1) 3x3dx；20(2) 6x2dx；41(3) (3x22x 3)dx.21解：(1) 3x3dx3 x
9、3dx3( x3dx x3dx)3( )12.20201021 14 154(2) 6x2dx6( x2dx x2dx)6( )126.412142 73 563(3) (3x22x 3)dx3 x2dx2 x3dx3 2 .212121 73 154 1210已知函数 f(x) ，求函数 f(x)在区间 0，5上的定积分x， x 0， 2）4 x， x 2， 3）52 x2， x 3， 5)解：作出函数 f(x)的图象，如图所示，由定积分的几何意义，知 xdx 222， (4x)d x (12)1 ，20 1232 12 32( )dx 211，5352 x2 12所以函数 f(x)在区间0
10、，5上的定积分 f(x)dx xdx (4x)dx ( )5020325352 x2dx2 1 .32 92B 能力提升11若定积分 dx ，则 m 等于( )m 2 x2 2x 4A1 B0C1 D2解析：选 A.根据定积分的几何意义知，定积分 dx 的值就是函数 ym 2 x2 2x的图象与 x 轴及直线 x2，xm 所围成的图形的面积y 是一个 x2 2x x2 2x半径为 1 的半圆，其面积等于 ，而 dx ，2 m 2 x2 2x 4所以 m1.12 (1sin x)d x_解析：函数 y1sin x 的图象如图所示由正弦型函数图象的对称性可知， (1sin x)dxS 矩形 ABC
11、D2 .答案：213利用定积分的几何意义求下列定积分：(1) (2x 4)dx； (2) dx.603 216 6x x2解：(1)所求定积分是由 y2x4，x0，x 6，y0 所围成的图形面积如图阴影部分，A(0，4) ， B(6，8)，M (2，0) ，C (6，0) ，所以 SAOM 244，S MBC 4816，12 12所以 (2x4)dx12.60(2)设 y ，即( x3) 2y 225(y0)如图所示，因为 dx16 6x x23 216 6x x2表示以 5 为半径的圆的四分之一面积，所以 dx .3 216 6x x2 25414(选做题) 如图所示，抛物线 y x2 将圆面 x2y 28 分成两部分，现在向圆面上均12匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为 ，试求 ( x2)dx 的值14 16 20 8 x2 12解：解方程组 ，得 x2.x2 y2 8y 12x2 )所以阴影部分的面积为 ( x2)dx.2 2 8 x2 12因为圆的面积为 8，所以由几何概型的概率公式，可得阴影部分的面积是8( )2 ，即 ( x2)dx2 .14 16 43 2 2 8 x2 12 43由定积分的几何意义，得 ( x2)dx ( x2)dx .20 8 x2 12 122 2 8 x2 12 23