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2019人教A版数学选修2-2学案:1.5.3定积分的概念

1、15.3 定积分的概念1.了解定积分的概念,会用定义求定积分 2.理解定积分的几何意义 3.掌握定积分的基本性质1定积分的概念如果函数 f(x)在区间a,b上连续,用分点 ax 00 时,f(|x|)f (x),故 f(|x|)dx2 f(|x|)dx2 f(x)dx16.6 66060利用定积分的性质求定积分的方法(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式,利用定积分的运算性质进行计算,可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数,一般利用积分区间的连续可加性计算(3)如果函数具有奇偶性,应借助图象的对称关系及定积分的几何意义求值 1.若 f(x)dx2, f(x)dx3,则

2、 2f(x)dx 的值为( )1 1212 1A5 B10C7 D8解析:选 B. 2f(x)dx2 f(x)dx2 12 12 2(23) 10.1 1f(x)dx21f(x)dx2已知 xdx 2,则 |x|dx _202 2解析:法一: |x|dx |x|dx |x|dx (x)d x xdx xdx xdx224.2 20 2200 2200 220法二:因为 y|x| 在2,2上为偶函数,所以函数图象关于 y 轴对称,所以 |x|dx2 xdx22 4.2 220答案:41. 1dx 的值为( )10A0 B1 C2 D. 12解析:选 B.由定积分的几何意义知, 1dx 的值等于由

3、 x0,x1,y0,y1 围成10的正方形的面积 S,S111,故选 B.2.图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A. 2xdx10B. (2x1)dx10C. (2x1)dx10D. (12 x)dx10解析:选 B.根据定积分的性质,得阴影部分的面积为 2xdx 1dx (2x1)d x.1010103若 f(x)dx1, g(x)dx 3,则 2f(x)g(x)dx_bababa解析: 2f(x)g(x )dx2 f(x)dx g(x)dxbababa21(3)1.答案:14. (2 )dx_10 1 x2解析:原式 2dx dx,10101 x2因为 2dx2, dx ,10101

4、x2 4所以 (2 )dx 2.10 1 x2 4答案: 24知识结构 深化拓展利用定积分的几何意义求定积分的两个关注点由直线 xa,x b(ab),x 轴及一条曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为 S,则有:(1)在区间a,b 上,若 f(x)0,则 S f(x)dx.如ba图(1)所示,即 f(x)dxS.ba(2)在区间a,b 上,若 f(x)0,则 S f(x)dx,ba如图(2)所示,即 f(x)dxS.baA 基础达标1下列各式中不正确的是( )A. f(x)dx f(t)dtababB. f(x)dx f(x)dxababC. f(x)dx f(x)dx f(x)dxcac

5、babD. f(x)dx f(x)dx f(x)dxcabcba解析:选 C.根据定积分的性质 (3),可知 C 不正确2设 f(x)在a,b上连续,且 t 与 x 无关,则( )A. xf(x)dxx f(x)dxbabaB. tf(x)dxt f(x)dxbabaC. tf(x)dx f(t)dxbabaD. xf(t)dtx f(t)dxbaba解析:选 B.A 中,x 是一个变量,xf(x)是被积函数,不能直接把 x 提到积分符号的外边,所以 A 错误;B 中,t 是一个与积分变量 x 无关的数,可以应用定积分的性质(1)将 t提到积分符号的外边;C 显然错误,改变了被积函数; D 同

6、时犯了 A,C 中的错误,所以D 错误3下列各阴影部分的面积 S 不可以用 S f(x)g( x)dx 表示的是( )ba解析:选 D.定积分 S f(x)g(x)dx(ab) 的几何意义是求由曲线 f(x),g(x) ,直线baxa,xb 所围成的图形的面积,且函数 f(x)的图象要在函数 g(x)的图象上方对照各选项,可知 D 选项中函数 f(x)的图象不全在函数 g(x)的图象上方故选 D.4曲线 yx 2 与直线 yx 所围成的图形的面积 S( )A. (xx 2)dx B. (x2x )dx1010C. (y2y)d y D. (y )dy1010 y解析:选 A.画出曲线 yx 2

7、 与直线 yx(如图所示),由图象,得曲线 yx 2 与直线yx 所围成的图形的面积 S (xx 2)dx.105设函数 f(x) ,则 f(x)dx( )3x2 1, 0 x 13x, 1 x0 ) 1 1A. (3x21)d x1 1B. 3xdx1 1C. (3x21)dx 3xdx0 110D. 3xdx (3x21)dx0 110解析:选 D.因为 f(x)在不同区间上的解析式不同,所以积分区间应该与相应的解析式一致由定积分的性质,知选 D.6计算 (3x2)dx_32解析:由定积分的几何意义,知所求积分值为直线 x2,x3,y0,y3x 2 围成的直角梯形的面积,即 (811) 1

8、 .12 192答案:1927定积分 |x|dx_2 1解析:如图, |x|dx 2 .2 1 12 52答案:528. dx 的值为_0 416 x2解析:由于 dx 表示曲线 y (4x0)与 x 轴、y 轴所围成的图形0 416 x2 16 x2的面积,即以原点为圆心,以 4 为半径的圆的面积的 ,所以 dx 424.14 0 416 x2 14答案:49已知 x3dx , x3dx , x2dx , x2dx ,利用定积分的性质求:10 1421 15421 7342 563(1) 3x3dx;20(2) 6x2dx;41(3) (3x22x 3)dx.21解:(1) 3x3dx3 x

9、3dx3( x3dx x3dx)3( )12.20201021 14 154(2) 6x2dx6( x2dx x2dx)6( )126.412142 73 563(3) (3x22x 3)dx3 x2dx2 x3dx3 2 .212121 73 154 1210已知函数 f(x) ,求函数 f(x)在区间 0,5上的定积分x, x 0, 2)4 x, x 2, 3)52 x2, x 3, 5)解:作出函数 f(x)的图象,如图所示,由定积分的几何意义,知 xdx 222, (4x)d x (12)1 ,20 1232 12 32( )dx 211,5352 x2 12所以函数 f(x)在区间0

10、,5上的定积分 f(x)dx xdx (4x)dx ( )5020325352 x2dx2 1 .32 92B 能力提升11若定积分 dx ,则 m 等于( )m 2 x2 2x 4A1 B0C1 D2解析:选 A.根据定积分的几何意义知,定积分 dx 的值就是函数 ym 2 x2 2x的图象与 x 轴及直线 x2,xm 所围成的图形的面积y 是一个 x2 2x x2 2x半径为 1 的半圆,其面积等于 ,而 dx ,2 m 2 x2 2x 4所以 m1.12 (1sin x)d x_解析:函数 y1sin x 的图象如图所示由正弦型函数图象的对称性可知, (1sin x)dxS 矩形 ABC

11、D2 .答案:213利用定积分的几何意义求下列定积分:(1) (2x 4)dx; (2) dx.603 216 6x x2解:(1)所求定积分是由 y2x4,x0,x 6,y0 所围成的图形面积如图阴影部分,A(0,4) , B(6,8),M (2,0) ,C (6,0) ,所以 SAOM 244,S MBC 4816,12 12所以 (2x4)dx12.60(2)设 y ,即( x3) 2y 225(y0)如图所示,因为 dx16 6x x23 216 6x x2表示以 5 为半径的圆的四分之一面积,所以 dx .3 216 6x x2 25414(选做题) 如图所示,抛物线 y x2 将圆面 x2y 28 分成两部分,现在向圆面上均12匀投点,这些点落在圆中阴影部分的概率为 ,试求 ( x2)dx 的值14 16 20 8 x2 12解:解方程组 ,得 x2.x2 y2 8y 12x2 )所以阴影部分的面积为 ( x2)dx.2 2 8 x2 12因为圆的面积为 8,所以由几何概型的概率公式,可得阴影部分的面积是8( )2 ,即 ( x2)dx2 .14 16 43 2 2 8 x2 12 43由定积分的几何意义,得 ( x2)dx ( x2)dx .20 8 x2 12 122 2 8 x2 12 23