1、13.2 函数的极值与导数1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1极小值点与极小值(1)特征：函数 yf(x )在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值都小，f(a)0.(2)符号：在点 xa 附近的左侧 f(x)0.(3)结论：点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x )的极小值2极大值点与极大值(1)特征：函数 yf(x )在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大，f(b)0.(2)符号：在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x
2、)0，函数是增函数，当 x1 时，y0 时， 0 时，函数 f(x)在 x 处取得极大值 ，在 x 处取得极小值 0；a3 a327 a2当 a0)知，ax x ax(1)当 a0 时，f (x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；(2)当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa，又当 x(0 ，a)时，f(x )0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值探究点 3 已知函数的极值求参数已知函数 f(x) (k
3、R )2x2 kx kex(1)k 为何值时，函数 f(x)无极值；(2)试确定 k 的值，使 f(x)的极小值为 0.【解】 (1)因为 f(x) ，2x2 kx kex所以 f(x) . 2x2 （k 4）x 2kex要使 f(x)无极值，只需让 f(x)0 或 f(x)0 恒成立即可因为 ex0，所以 f(x)与 g(x) 2x2( k4) x2k 同号因为 g(x)的二次项系数为2 ，所以只能满足 g(x)0 恒成立，令 (k4) 216k( k4) 20，解得 k4，所以当 k4 时，f( x)无极值(2)由(1)知 k4 ，令 f(x)0，得 x12，x 2 .k2当 2，即 k4
4、 时，当 x 变化时，f (x)，f(x) 的变化情况如下表：k2x (，2) 2 (2， )k2 k2 ( ，)k2f(x) 0 0 f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减令 f(2)0，可得 2222k k 0，解得 k8，满足 k4.综上，当 k0 或 k8 时，f(x) 有极小值 0.已知函数的极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为 0，极值点两侧的导数值异号(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：求函数的导数 f(x)；由极值点的导数值为 0，列出方程(组) ，求解参数注意 求出参数后，一定要验证是否满足题目的
5、条件(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 f(x)0 或 f(x)0 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立 已知函数 f(x) x34xm 在区间(，) 上有极大值 .13 283(1)求实数 m 的值；(2)求函数 f(x)在区间 (，)上的极小值解：(1)f(x)x 24，令 f(x)0，解得 x12，x 22.当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表所示：x (，2) 2 (2，2) 2 (2，)f(x) 0 0 f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当 x2 时，f( x)取得极大
6、值 f(2) 8m ，解得 m4.故实数83 283m 的值为 4.(2)由 m4 可得 f(x) x34x 4，结合上表，可得 f(x)在 x2 处取得极小值 f(2)13 84 .83 43故函数 f(x)在区间(，) 上的极小值为 .431函数 f(x) x2ln x 的极值点为( )32A0，1，1 B.33C D. ，33 33 33解析：选 B.由已知，得 f(x)的定义域为(0，)，f( x)3x ，令 f(x)0，1x 3x2 1x得 x (x 舍去)当 x 时，f (x)0；当 00，所以 f(x)在(3，1) 上为减函数，在( 1，2) 上为增函数，x 1 是 f(x)的极
7、小值点；当 x(2，4) 时，f(x)0 的情形令 x1，x 2 为 f(x)的极值点，用 表示 f(x)3ax 22bx c 对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：(1)yf(x) 有一个零点 0 或 f(x1)f(x2)0.(2)yf(x) 有两个零点 . 0f（x1）f（x2） 0)(3)yf(x) 有三个零点 .0f（x1）f（x2）0，当 x (1，e)时，f(x)0 得 x3.故 f(x)的递增区间为(，2)和(3，)4已知函数 f(x)x 3ax 2 (a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是( )A16 Da2解析：选 C.由题意知 f(x)3x
8、 22ax(a6) 0 有两个不相等的根，所以 0，解得a6 或 a0，f(x )在 R 上单调递增，所以 f(x)无极值当 k0 时，由 f(x)0，得 xln k；令 f(x)0，得 xln k；令 f(x)1 时，f(x)0；当10 时，令 f(x)0，解得 x 或 x0，x 取足够小的负数时，有 f(x)0，即 a0 ，527所以 a1，527所以当 a (1，) 时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点( ， 527)14(选做题) 已知函数 f(x)(x 2axa)e x(a2，x R )(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使 f(x)的极大值为
9、3？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由解：(1)f(x) (x 2x1)e x，f(x)(2x1)e x(x 2x1)e x(x 23x2)e x，当 f(x)0 时，解得 x1，当 f(x)0 时，解得 2x 1，所以函数的单调增区间为( ，2) ，(1，) ；单调减区间为(2，1)(2)令 f(x)(2 xa)e x(x 2axa)e xx 2(2 a)x2ae x( xa)(x2)e x0，得 xa 或 x2，因为 a2，所以a2.列表如下：x(， 2)2(2， a)a(a， )f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表可知，f(x) 极大值 f(2)(4 2aa)e 2 3，解得 a43e 22，所以存在实数 a2，使 f(x)的极大值为 3，此时 a43e 2.