1、21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理 2.了解合情推理在数学发现中的作用1归纳推理和类比推理归纳推理 类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比 )特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳
2、、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程 从 具 体 问题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想1.归纳推理的特点（1）归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.（2）由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验.因此，归纳推理不能作为数学证明的工具.（3）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠. 2.类比推理的
3、特点（1）类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果.（2）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.（3）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.判断正误（正确的打“” ，错误的打“” ）（1）归纳推理是由一般到一般的推理过程.（ ）（2）归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确.（ ）（3）类比推理得到的结论可以作为定理应用.（ ）答案：（1） （2） （3）某学生通过计算发现：2 111
4、 2 能被 12 整除，3 2122 2 能被 22 整除，43173 2 能被 32 整除.由此猜想当 nN *时， （n1） n1 能被 n2 整除.该学生的推理是（ ）A.类比推理 B.归纳推理C.演绎推理 D.上述都不正确解析：选 B.该学生的推理是从个别到一般的推理，所以是归纳推理.下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为（ ）A.三角形 B.梯形C.平行四边形 D.矩形答案：C各项都为正数的数列a n中，a 11，a 23，a 36，a 410，猜想数列a n的通项公式为 .答案：a nn（n 1）2探究点 1 数与式的推理学生用书 P45（1）给出下面的等式：192
5、11，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111，猜想 123 45697 等于（ ）A.1 111 110 B.1 111 111C.1 111 112 D.1 111 113（2）观察下列式子：1 1，12 131 ，12 13 17321 2，12 13 115则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为 .【解析】 （1）由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为 1 和 2，12 和 3，123和 4，1 234 和 5，12 345 和 6，等号右边依次为 2 个 1， 3 个 1，4 个 1，5 个 1，6 个 1，因此猜测当
6、等号左边为 123 456 和 7 时，对应等号右边为 7 个 1.（2）观察式子可得规律：不等号的左侧是 1 ，共（2 n1 1）项的和；不等号的右侧是12 13 12n 1 1（nN *）.n 12故猜想此类不等式的一般形式为 1 （nN *）.12 13 12n 1 1n 12【答案】 （1）B（2）1 （nN *）12 13 12n 1 1n 12由已知数、式进行归纳推理的步骤（1）要注意所给几个等式（或不等式）中项数和次数等方面的变化规律.（2）要注意所给几个等式（或不等式）中结构形式的特征.（3）提炼出等式（或不等式）的综合特点.（4）运用归纳推理得出一般结论. 已知：f（x ）
7、，设 f1（x ）f（x） ，f n（x ）f n1 （f n1 （x） ）x1 x（n1 ，且 n N*） ，则 f3（x） ，猜想 fn（x） （nN *）.解析：因为 f（x ） ，x1 x所以 f1（x） .x1 x又因为 fn（x） fn1 （f n1 （ x） ） ，所以 f2（x） f1（f 1（x） ） ，x1 x1 x1 x x1 2xf3（x）f 2（f 2（x） ） ，x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4（x）f 3（f 3（x） ） ，x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5（x）f 4（f 4（x） ） ，x1 8x1 8 x1 8x x1 16x所以根据
8、前几项可以猜想 fn（ x） .x1 2n 1x答案： x1 4x x1 2n 1x探究点 2 几何图形中的归纳推理学生用书 P45（1）用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n（nN *）个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A.6n2 B.8n2C.6n2 D.8n2（2）如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1 ，nN *）个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6 ，a n （n1 ，nN *）.【解析】 （1）观察易知第 1 个“金鱼”图需要火柴棒 8 根，而第 2 个“金鱼”图比第 1 个“金鱼”图多的部分需要火柴棒 6 根，第 3 个
9、“金鱼”图比第 2 个“金鱼”图多的部分需要火柴棒 6 根，由此可猜测第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第（n1）个“金鱼”图需要火柴棒的根数多 6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以 8 为首项，6 为公差的等差数列a n，易求得通项公式为 an6n 2（nN *）.（2）依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点，因此a636315.由 n2，3，4，5，6 的图形特点归纳得 an3n3（n1，nN *）.【答案】 （1）C （2）15 3n3归纳推理在图形中的应用策略1.把 1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角
10、形（如图所示）.则第七个三角形数是（ ）A.27 B.28C.29 D.30解析：选 B.把 1，3，6，10， 15，21，依次记为 a1，a 2，则可以得到a2a 12，a 3a 23，a 4a 34，a 5a 45，a 6a 56，所以 a7a 67，即a7a 6728.2.图（1）是棱长为 1 的小正方体，图（2） （3）是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第 1 层、第 2 层、第 3 层将第 n 层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题：（1）按照要求填表：n 1 2 3 4 Sn 1 3 6 （2）S 10 ；（3）S n （nN *） .解析：
11、第 1 层：1 个；第 2 层：3 个，即（12）个；第 3 层：6 个，即（123）个；第 4 层：10 个，即（1234）个；，由此猜想，第 n 层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上 n，所以Sn123n （nN *） ，S 1055.n（n 1）2答案：（1）10 （2）55 （3）n（n 1）2探究点 3 类比推理及其应用学生用书 P46（1）若 Sn是等差数列a n的前 n 项和，则有 S2n 1（2n1）a n，类似地，若 Tn是等比数列 bn的前 n 项积，则有 T2n1 .（2）如图，在 RtABC 中，C90.设 a，b，c 分别表示 3 条边的长度，由勾股定理，得
12、 c2a 2b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【解】 （1）T 2n1 b 1b2b3b2n1 b .故填 b .2n 1n 2n 1n（2）如题图，在 RtABC 中， C90 .设 a，b，c 分别表示 3 条边的长度，由勾股定理，得 c2a 2b 2.类似地，如图所示，在四面体 PDEF 中，PDFPDE EDF90 .设 S1，S 2，S 3 和 S 分别表示PDF，PDE， EDF 和 PEF 的面积，相应于直角三角形的两条直角边 a，b 和 1 条斜边 c，图中的四面体有 3 个“直角面”S 1，S 2，S 3 和 1 个“斜面”S.于是，类比勾
13、股定理的结构，我们猜想 S2S S S .21 2 23若本例（2）中“由勾股定理，得 c2a 2b 2”换成“cos 2Acos 2B1” ，则在空间中，给出四面体性质的猜想.解：如图，在 RtABC 中，cos 2Acos 2B 1.(bc)2(ac)2a2 b2c2于是把结论类比到四面体 PABC中，我们猜想，四面体 PABC中，若三个侧面PAB，PB C，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为 ，则cos2cos 2cos 21.类比推理的一般步骤1.下面使用类比推理正确的是（ ）A.“若 a3b3，则 ab”类推出“若 a0b0，则 a b”B.“若（ab）c acbc”类推出“
14、（ab）cacbc”C.“若（ab）c acbc”类推出“ （c0） ”a bc ac bcD.“（ab） na nbn”类推出“ （ab） na nb n”解析：选 C.A 错，因为类比的结论 a 可以不等于 b；B 错，类比的结论不满足分配律；C 正确； D 错，乘法类比成加法是不成立的.2.已知ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 SABC 表示ABC 的面积，则 SABC r（abc ）.类比这一结论有：若三棱锥 ABCD 的内切球半径为 R，则三棱12锥的体积 VABCD .解析：内切圆半径 r 内切球半径 R， 类 比 三角形的周长：abc 三棱锥各面的面积和：
15、类 比 SABCS ACDS BCDS ABD，三角形面积公式系数 三棱锥体积公式系数 .12 类 比13所以类比得三棱锥体积VABCD R（S ABCS ACDS BCDS ABD）.13答案： R（S ABC S ACD S BCD S ABD ）131.观察数列 1，5，14，30，x，则 x 的值为（ ）A.22 B.33C.44 D.55解析：选 D.观察归纳得出，从第 2 项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即 ana n1 n 2，所以 x305 255.2.将奇数 1，3，5，7，9，11，进行如下分组：1， 3，5，7，9，11 ，试观察每组内各数之和，则第
16、n 组内各数的和等于（ ）A.n2 B.n3C.n4 D.n（n1）解析：选 B.每组内各数的和分别为 1，2 3，3 3，显然 B 正确.3.命题“在平行四边形 ABCD 中， ”，据此，运用类比推理在平行六面体AC AB AD ABCDABCD中可得出结论 .解析：根据类比推理的原则，平行四边形类比为平行六面体，对角线 类比为体对角AC 线 ， 可类比成 ，故结论为 .AC AB AD AB AD AA AC AB AD AA 答案： AC AB AD AA 4.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构，知第 n 个图有 个原子，有
17、个化学键.解析：第 1，2，3 个图形中，原子的个数依次为 6，64，642，所以第 n 个图形有 64（n1）4n2 个原子.第 1，2，3 个图形中，化学键的个数依次为6，65，652，所以第 n 个图形中化学键的个数为 65（n1）5n1.答案：4n2 5n1知识结构 深化拓展A 基础达标1.给出下列三个类比结论：类比 axay axy ，则有 axaya xy ；类比 loga（xy）log axlog ay，则有 sin（ ）sin sin ；类比（ab）ca（bc） ，则有（xy）zx （yz ）.其中结论正确的个数是（ ）A.0 B.1C.2 D.3解析：选 C.根据指数的运算法
18、则知 axaya xy ，故正确；根据三角函数的运算法则知：sin （ ）sin sin ， 不正确；根据乘法结合律知：（ xy）zx（yz ） ，正确.2.观察：（x 2）2x ， （x 4）4x 3， （cos x）sin x，由归纳推理可得：若定义域在R 上的函数 f（x ）满足 f（ x）f（x ） ，记 g（x）为 f（ x）的导函数，则 g（x）等于（ ）A.f（x） B.f （x）C.g（x） D.g（x）解析：选 D.通过观察可归纳推理出一般结论：若 f（x）为偶函数，则导函数 g（x）为奇函数.故选 D.3.已知数列：1，aa 2，a 2a 3a 4，a 3a 4a 5a 6
19、，则该数列的第 k（kN *）项为（ ）A.aka k1 a 2kB.ak1 a k a 2k1C.ak1 a k a 2kD.ak1 aka 2k2解析：选 D.由已知数列的前 4 项归纳可得，该数列的第 k 项是从以 1 为首项，a 为公比的等比数列的第 k 项 ak1 开始的连续 k 项的和，故该数列的第 k 项为ak1 a k a2k2 .4.观察下列各式：11 2，2343 2，345675 2，456789107 2，可以得出的一般结论是（ ）A.n（n1）（n2） （3n2）n 2B.n（n1）（n2） （3n2）（2n1） 2C.n（n1）（n2） （3n1）n 2D.n（n1
20、）（n2） （3n1）（2n1） 2解析：选 B.可以发现：第一个式子的第一个数是 1，第二个式子的第一个数是2，故第 n 个式子的第一个数是 n；第一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加，故第 n 个式子中有 2n1 个数相加；第一个式子的结果是 1 的平方，第二个式子的结果是 3 的平方，故第 n 个式子应该是 2n1 的平方，故可以得到 n（n1）（n2）（3n2）（2n1） 2.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图，
21、当表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如 6 613 用算筹表示就是 ，则8 335 用算筹可表示为（ ）A. B.C. D.解析：选 B.由题意，知 8 335 用算筹可表示为 .6.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是 .解析：平面图形与立体图形的类比：周长表面积，正方形正方体，面积体积，矩形长方体，圆球.答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体
22、和球中，球的体积最大7.根据图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有 个点.解析：观察图形的变化规律可得：图（2）从中心点向两边各增加 1 个点，图（3）从中心点向三边各增加 2 个点，图（4）从中心点向四边各增加 3 个点，如此，第 n 个图从中心点向 n 边各增加（n1）个点，易得答案：1n（n 1）n 2n1.答案：n 2n18.将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第 n（n3，nN *）行从左向右的第 3 个数为 .解析：前（n1）行共有正整数 12（n1） （个） ，因此第 n 行第 3n2 n2个数是全体正整数中第 个，即为 .(n2
23、 n2 3) n2 n 62答案：n2 n 629.如图所示为 m 行 m1 列的士兵方阵（mN *，m 2） .（1）写出一个数列，用它表示当 m 分别是 2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数；（2）若把（1）中的数列记为a n，归纳该数列的通项公式；（3）求 a10，并说明 a10 表示的实际意义；（4）已知 an9 900，问：a n是数列的第几项？解：（1）当 m2 时，表示一个 2 行 3 列的士兵方阵，共有 6 人，依次可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为 12，20，30，故所求数列为 6，12，20，30，.（2）因为 a123，a 234，a 345，所以猜想 an（n
24、1） （n2） ，nN *.（3）a 101112132，a 10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132.（4）令（n1） （n2）9 900，解得 n98，即 an是数列的第 98 项，此时方阵为99 行 100 列.10.观察下列两个等式：sin 210cos 240sin 10 cos 40 ；34sin 26cos 236sin 6 cos 36 .34由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想.解：由知若两角差为 30，则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .34猜想：sin 2cos 2（ 30 ） sin cos（30） .34下面进行证明：左边
25、sin cos（30）1 cos 22 1 cos（2 60）2 1 cos 22 1 cos 2cos 60 sin 2sin 602sin （cos cos 30sin sin 30） cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 右边.12 12 12 14 34 34 1 cos 24 34故 sin2cos 2（30）sin cos（30） .34B 能力提升11.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当 时，椭圆的离心率为FB AB ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为5 12（ ）A. B.5 12 5 12C. 1 D. 15 5解
26、析：选 A.设双曲线方程为 1（a0 ，b0）.F（c，0） ，B（0，b） ，x2a2 y2b2A（a， 0） ，则 （c ，b） ， （a，b）.因为 ，所以 acb 20.又FB AB FB AB FB AB b2c 2a 2，所以 c2ac a 20，即 e2e10，解得 e .又 e1，所以 e .1 52 1 52故选 A.12.如图，直角坐标系中每个单元格的边长为 1，由下往上的 6 个点 1，2，3，4，5，6的横纵坐标 xi， yi（i1，2，3，4，5，6）分别对应数列 an（nN *）的前 12 项，如下表所示：a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
27、 a11 a12x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6按如此规律下去，则 a2 017a 2 018a 2 019 的值为 .解析：由题图，知 a1x 11，a 3x 21，a 5x 32， a7x 42，则a1a 3a 5a 7a 2 017a 2 0190.又 a2y 11，a 4y 22，a 6y 33，则 a2 018y 1 0091 009 ，所以 a2 017a 2 018a 2 0191 009.答案：1 00913.观察下面两式：（1）tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；（2）tan 5tan 10tan
28、10tan 75tan 75tan 51.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论.解：猜想：如果 ， ， ， 都不为 ，2 2则 tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为 ，所以 ，2 2所以 tan（）tan ，(2 ) 1tan 所以 tan tan tan tan tan tan tan tan （ tan tan ） tan tan tan tan（ ） （1 tan tan ）tan tan tan （ 1tan tan ） tan 1tan tan tan 1 tan tan 1.14.（选做题）已知 f（x ） ，分别求 f（0）f（1） ，f （1）f（2） ，13x 3f（2）f（3） ，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论 .解：f（x） ，13x 3所以 f（0）f（1） ，130 3 131 3 33f（1）f（2） ，13 1 3 132 3 33f（2）f（3） .13 2 3 133 3 33归纳猜想一般性结论：f（ x）f（x1） .33证明如下：f（x ）f（x 1） 13 x 3 13x 1 3 3x1 33x 13x 1 3 .33x3 3x 1 13x 1 3 33x 13 3x 1 33x 13（1 33x） 33