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2019人教A版数学选修2-2学案:2.1.1合情推理

1、21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理 2.了解合情推理在数学发现中的作用1归纳推理和类比推理归纳推理 类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比 )特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳

2、、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理过程 从 具 体 问题 出 发 观 察 、分 析 、比 较 、联 想 归 纳 、类 比 提 出 猜 想1.归纳推理的特点(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象,归纳出一般性的结论,该结论超越了前提所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的,结论是否正确,需要经过逻辑证明和实践检验.因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.(3)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么得到的一般性结论也就越可靠. 2.类比推理的

3、特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,即以原有认识作基础,类比出新的结果.(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.(3)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.判断正误(正确的打“” ,错误的打“” )(1)归纳推理是由一般到一般的推理过程.( )(2)归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确.( )(3)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )答案:(1) (2) (3)某学生通过计算发现:2 111

4、 2 能被 12 整除,3 2122 2 能被 22 整除,43173 2 能被 32 整除.由此猜想当 nN *时, (n1) n1 能被 n2 整除.该学生的推理是( )A.类比推理 B.归纳推理C.演绎推理 D.上述都不正确解析:选 B.该学生的推理是从个别到一般的推理,所以是归纳推理.下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为( )A.三角形 B.梯形C.平行四边形 D.矩形答案:C各项都为正数的数列a n中,a 11,a 23,a 36,a 410,猜想数列a n的通项公式为 .答案:a nn(n 1)2探究点 1 数与式的推理学生用书 P45(1)给出下面的等式:192

5、11,1293111,123941 111,1 2349511 111,12 34596111 111,猜想 123 45697 等于( )A.1 111 110 B.1 111 111C.1 111 112 D.1 111 113(2)观察下列式子:1 1,12 131 ,12 13 17321 2,12 13 115则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为 .【解析】 (1)由几组数据观察可知,等号左边变化的依次为 1 和 2,12 和 3,123和 4,1 234 和 5,12 345 和 6,等号右边依次为 2 个 1, 3 个 1,4 个 1,5 个 1,6 个 1,因此猜测当

6、等号左边为 123 456 和 7 时,对应等号右边为 7 个 1.(2)观察式子可得规律:不等号的左侧是 1 ,共(2 n1 1)项的和;不等号的右侧是12 13 12n 1 1(nN *).n 12故猜想此类不等式的一般形式为 1 (nN *).12 13 12n 1 1n 12【答案】 (1)B(2)1 (nN *)12 13 12n 1 1n 12由已知数、式进行归纳推理的步骤(1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论. 已知:f(x )

7、,设 f1(x )f(x) ,f n(x )f n1 (f n1 (x) )x1 x(n1 ,且 n N*) ,则 f3(x) ,猜想 fn(x) (nN *).解析:因为 f(x ) ,x1 x所以 f1(x) .x1 x又因为 fn(x) fn1 (f n1 ( x) ) ,所以 f2(x) f1(f 1(x) ) ,x1 x1 x1 x x1 2xf3(x)f 2(f 2(x) ) ,x1 2x1 2 x1 2x x1 4xf4(x)f 3(f 3(x) ) ,x1 4x1 4 x1 4x x1 8xf5(x)f 4(f 4(x) ) ,x1 8x1 8 x1 8x x1 16x所以根据

8、前几项可以猜想 fn( x) .x1 2n 1x答案: x1 4x x1 2n 1x探究点 2 几何图形中的归纳推理学生用书 P45(1)用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示:按照上面的规律,第 n(nN *)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n2 B.8n2C.6n2 D.8n2(2)如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n1 ,nN *)个点,每个图形总的点数记为 an,则 a6 ,a n (n1 ,nN *).【解析】 (1)观察易知第 1 个“金鱼”图需要火柴棒 8 根,而第 2 个“金鱼”图比第 1 个“金鱼”图多的部分需要火柴棒 6 根,第 3 个

9、“金鱼”图比第 2 个“金鱼”图多的部分需要火柴棒 6 根,由此可猜测第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第(n1)个“金鱼”图需要火柴棒的根数多 6,即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以 8 为首项,6 为公差的等差数列a n,易求得通项公式为 an6n 2(nN *).(2)依据图形特点,可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点,因此a636315.由 n2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an3n3(n1,nN *).【答案】 (1)C (2)15 3n3归纳推理在图形中的应用策略1.把 1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角

10、形(如图所示).则第七个三角形数是( )A.27 B.28C.29 D.30解析:选 B.把 1,3,6,10, 15,21,依次记为 a1,a 2,则可以得到a2a 12,a 3a 23,a 4a 34,a 5a 45,a 6a 56,所以 a7a 67,即a7a 6728.2.图(1)是棱长为 1 的小正方体,图(2) (3)是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第 1 层、第 2 层、第 3 层将第 n 层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题:(1)按照要求填表:n 1 2 3 4 Sn 1 3 6 (2)S 10 ;(3)S n (nN *) .解析:

11、第 1 层:1 个;第 2 层:3 个,即(12)个;第 3 层:6 个,即(123)个;第 4 层:10 个,即(1234)个;,由此猜想,第 n 层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上 n,所以Sn123n (nN *) ,S 1055.n(n 1)2答案:(1)10 (2)55 (3)n(n 1)2探究点 3 类比推理及其应用学生用书 P46(1)若 Sn是等差数列a n的前 n 项和,则有 S2n 1(2n1)a n,类似地,若 Tn是等比数列 bn的前 n 项积,则有 T2n1 .(2)如图,在 RtABC 中,C90.设 a,b,c 分别表示 3 条边的长度,由勾股定理,得

12、 c2a 2b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.【解】 (1)T 2n1 b 1b2b3b2n1 b .故填 b .2n 1n 2n 1n(2)如题图,在 RtABC 中, C90 .设 a,b,c 分别表示 3 条边的长度,由勾股定理,得 c2a 2b 2.类似地,如图所示,在四面体 PDEF 中,PDFPDE EDF90 .设 S1,S 2,S 3 和 S 分别表示PDF,PDE, EDF 和 PEF 的面积,相应于直角三角形的两条直角边 a,b 和 1 条斜边 c,图中的四面体有 3 个“直角面”S 1,S 2,S 3 和 1 个“斜面”S.于是,类比勾

13、股定理的结构,我们猜想 S2S S S .21 2 23若本例(2)中“由勾股定理,得 c2a 2b 2”换成“cos 2Acos 2B1” ,则在空间中,给出四面体性质的猜想.解:如图,在 RtABC 中,cos 2Acos 2B 1.(bc)2(ac)2a2 b2c2于是把结论类比到四面体 PABC中,我们猜想,四面体 PABC中,若三个侧面PAB,PB C,PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为 ,则cos2cos 2cos 21.类比推理的一般步骤1.下面使用类比推理正确的是( )A.“若 a3b3,则 ab”类推出“若 a0b0,则 a b”B.“若(ab)c acbc”类推出“

14、(ab)cacbc”C.“若(ab)c acbc”类推出“ (c0) ”a bc ac bcD.“(ab) na nbn”类推出“ (ab) na nb n”解析:选 C.A 错,因为类比的结论 a 可以不等于 b;B 错,类比的结论不满足分配律;C 正确; D 错,乘法类比成加法是不成立的.2.已知ABC 的边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,用 SABC 表示ABC 的面积,则 SABC r(abc ).类比这一结论有:若三棱锥 ABCD 的内切球半径为 R,则三棱12锥的体积 VABCD .解析:内切圆半径 r 内切球半径 R, 类 比 三角形的周长:abc 三棱锥各面的面积和:

15、类 比 SABCS ACDS BCDS ABD,三角形面积公式系数 三棱锥体积公式系数 .12 类 比13所以类比得三棱锥体积VABCD R(S ABCS ACDS BCDS ABD).13答案: R(S ABC S ACD S BCD S ABD )131.观察数列 1,5,14,30,x,则 x 的值为( )A.22 B.33C.44 D.55解析:选 D.观察归纳得出,从第 2 项起,每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和,即 ana n1 n 2,所以 x305 255.2.将奇数 1,3,5,7,9,11,进行如下分组:1, 3,5,7,9,11 ,试观察每组内各数之和,则第

16、n 组内各数的和等于( )A.n2 B.n3C.n4 D.n(n1)解析:选 B.每组内各数的和分别为 1,2 3,3 3,显然 B 正确.3.命题“在平行四边形 ABCD 中, ”,据此,运用类比推理在平行六面体AC AB AD ABCDABCD中可得出结论 .解析:根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线 类比为体对角AC 线 , 可类比成 ,故结论为 .AC AB AD AB AD AA AC AB AD AA 答案: AC AB AD AA 4.下面是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“连线”表示化学键,按图中结构,知第 n 个图有 个原子,有

17、个化学键.解析:第 1,2,3 个图形中,原子的个数依次为 6,64,642,所以第 n 个图形有 64(n1)4n2 个原子.第 1,2,3 个图形中,化学键的个数依次为6,65,652,所以第 n 个图形中化学键的个数为 65(n1)5n1.答案:4n2 5n1知识结构 深化拓展A 基础达标1.给出下列三个类比结论:类比 axay axy ,则有 axaya xy ;类比 loga(xy)log axlog ay,则有 sin( )sin sin ;类比(ab)ca(bc) ,则有(xy)zx (yz ).其中结论正确的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析:选 C.根据指数的运算法

18、则知 axaya xy ,故正确;根据三角函数的运算法则知:sin ( )sin sin , 不正确;根据乘法结合律知:( xy)zx(yz ) ,正确.2.观察:(x 2)2x , (x 4)4x 3, (cos x)sin x,由归纳推理可得:若定义域在R 上的函数 f(x )满足 f( x)f(x ) ,记 g(x)为 f( x)的导函数,则 g(x)等于( )A.f(x) B.f (x)C.g(x) D.g(x)解析:选 D.通过观察可归纳推理出一般结论:若 f(x)为偶函数,则导函数 g(x)为奇函数.故选 D.3.已知数列:1,aa 2,a 2a 3a 4,a 3a 4a 5a 6

19、,则该数列的第 k(kN *)项为( )A.aka k1 a 2kB.ak1 a k a 2k1C.ak1 a k a 2kD.ak1 aka 2k2解析:选 D.由已知数列的前 4 项归纳可得,该数列的第 k 项是从以 1 为首项,a 为公比的等比数列的第 k 项 ak1 开始的连续 k 项的和,故该数列的第 k 项为ak1 a k a2k2 .4.观察下列各式:11 2,2343 2,345675 2,456789107 2,可以得出的一般结论是( )A.n(n1)(n2) (3n2)n 2B.n(n1)(n2) (3n2)(2n1) 2C.n(n1)(n2) (3n1)n 2D.n(n1

20、)(n2) (3n1)(2n1) 2解析:选 B.可以发现:第一个式子的第一个数是 1,第二个式子的第一个数是2,故第 n 个式子的第一个数是 n;第一个式子中有 1 个数相加,第二个式子中有 3 个数相加,故第 n 个式子中有 2n1 个数相加;第一个式子的结果是 1 的平方,第二个式子的结果是 3 的平方,故第 n 个式子应该是 2n1 的平方,故可以得到 n(n1)(n2)(3n2)(2n1) 2.5.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外” ,其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种,如图,

21、当表示一个多位数时,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,遇零则置空.例如 6 613 用算筹表示就是 ,则8 335 用算筹可表示为( )A. B.C. D.解析:选 B.由题意,知 8 335 用算筹可表示为 .6.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是 .解析:平面图形与立体图形的类比:周长表面积,正方形正方体,面积体积,矩形长方体,圆球.答案:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体

22、和球中,球的体积最大7.根据图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有 个点.解析:观察图形的变化规律可得:图(2)从中心点向两边各增加 1 个点,图(3)从中心点向三边各增加 2 个点,图(4)从中心点向四边各增加 3 个点,如此,第 n 个图从中心点向 n 边各增加(n1)个点,易得答案:1n(n 1)n 2n1.答案:n 2n18.将全体正整数排成一个三角形数阵(如图):按照以上排列的规律,第 n(n3,nN *)行从左向右的第 3 个数为 .解析:前(n1)行共有正整数 12(n1) (个) ,因此第 n 行第 3n2 n2个数是全体正整数中第 个,即为 .(n2

23、 n2 3) n2 n 62答案:n2 n 629.如图所示为 m 行 m1 列的士兵方阵(mN *,m 2) .(1)写出一个数列,用它表示当 m 分别是 2,3,4,5,时,方阵中士兵的人数;(2)若把(1)中的数列记为a n,归纳该数列的通项公式;(3)求 a10,并说明 a10 表示的实际意义;(4)已知 an9 900,问:a n是数列的第几项?解:(1)当 m2 时,表示一个 2 行 3 列的士兵方阵,共有 6 人,依次可以得到当m3,4,5,时的士兵人数分别为 12,20,30,故所求数列为 6,12,20,30,.(2)因为 a123,a 234,a 345,所以猜想 an(n

24、1) (n2) ,nN *.(3)a 101112132,a 10 表示 11 行 12 列的士兵方阵的人数为 132.(4)令(n1) (n2)9 900,解得 n98,即 an是数列的第 98 项,此时方阵为99 行 100 列.10.观察下列两个等式:sin 210cos 240sin 10 cos 40 ;34sin 26cos 236sin 6 cos 36 .34由上面两个等式的结构特征,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.解:由知若两角差为 30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为 .34猜想:sin 2cos 2( 30 ) sin cos(30) .34下面进行证明:左边

25、sin cos(30)1 cos 22 1 cos(2 60)2 1 cos 22 1 cos 2cos 60 sin 2sin 602sin (cos cos 30sin sin 30) cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 右边.12 12 12 14 34 34 1 cos 24 34故 sin2cos 2(30)sin cos(30) .34B 能力提升11.如图,椭圆的中心在坐标原点,F 为其左焦点,当 时,椭圆的离心率为FB AB ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为5 12( )A. B.5 12 5 12C. 1 D. 15 5解

26、析:选 A.设双曲线方程为 1(a0 ,b0).F(c,0) ,B(0,b) ,x2a2 y2b2A(a, 0) ,则 (c ,b) , (a,b).因为 ,所以 acb 20.又FB AB FB AB FB AB b2c 2a 2,所以 c2ac a 20,即 e2e10,解得 e .又 e1,所以 e .1 52 1 52故选 A.12.如图,直角坐标系中每个单元格的边长为 1,由下往上的 6 个点 1,2,3,4,5,6的横纵坐标 xi, yi(i1,2,3,4,5,6)分别对应数列 an(nN *)的前 12 项,如下表所示:a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

27、 a11 a12x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6按如此规律下去,则 a2 017a 2 018a 2 019 的值为 .解析:由题图,知 a1x 11,a 3x 21,a 5x 32, a7x 42,则a1a 3a 5a 7a 2 017a 2 0190.又 a2y 11,a 4y 22,a 6y 33,则 a2 018y 1 0091 009 ,所以 a2 017a 2 018a 2 0191 009.答案:1 00913.观察下面两式:(1)tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101;(2)tan 5tan 10tan

28、10tan 75tan 75tan 51.分析上面两式的共同特点,写出反映一般规律的等式,并证明你的结论.解:猜想:如果 , , , 都不为 ,2 2则 tan tan tan tan tan tan 1.证明如下:因为 ,所以 ,2 2所以 tan()tan ,(2 ) 1tan 所以 tan tan tan tan tan tan tan tan ( tan tan ) tan tan tan tan( ) (1 tan tan )tan tan tan ( 1tan tan ) tan 1tan tan tan 1 tan tan 1.14.(选做题)已知 f(x ) ,分别求 f(0)f(1) ,f (1)f(2) ,13x 3f(2)f(3) ,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论 .解:f(x) ,13x 3所以 f(0)f(1) ,130 3 131 3 33f(1)f(2) ,13 1 3 132 3 33f(2)f(3) .13 2 3 133 3 33归纳猜想一般性结论:f( x)f(x1) .33证明如下:f(x )f(x 1) 13 x 3 13x 1 3 3x1 33x 13x 1 3 .33x3 3x 1 13x 1 3 33x 13 3x 1 33x 13(1 33x) 33