1、14 生活中的优化问题举例1.了解导数在解决实际问题中的作用 2.会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题探究点 1 面积、容积最大问题某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米) ，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方643米建造费用为 3 千元，半球体部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为y 千元(1)将 y 表示成 r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定 r 和 l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用【解】 (1)因为容器的体积为 立方米，所以 r
2、2l ，解得 l r，643 4r33 643 643r2 43所以圆柱的侧面积为 2rl2r ，两端两个半球的表面积之和为(643r2 43r) 1283r 8r234r2，所以 y 34r 24 8r 2.(1283r 8r23 ) 128r又 l r0r0得 20得 20，当 0，y x 281(9x)(9x)，令 y0，解得 x9 或 x 9(舍去)，当 x(0，9) 时，y0，当 x(9，) 时，y0，所以当 x4 时， y 取得极小值，也是最小值所以这两个数为 4 和 4.3甲、乙两地相距 400 km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 km/h，已知该汽车每小时的运
3、输成本 P(元) 关于速度 v(km/h)的函数关系式为P v4 v315v.119 200 1160(1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v(km/h)的函数关系式；(2)为使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？并求出最低运输成本解：(1)汽车从甲地到乙地需用 h，故全程运输成本为 Q 6 400v 400Pv v348 5v22000(00.所以当汽车的速度为 80 km/h 时，全程运输成本最低，最低运输成本为 元2 0003知识结构 深化拓展利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式yf(x) (2)求函数 f(x)的导数 f(x)，并解方程 f
4、(x)0，即求函数可能的极值点(3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值(4)根据实际问题的意义给出答案.A 基础达标1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度( 单位：)为 f(x) x3 x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )13A8 B. 203C1 D8解析：选 C.原油温度的瞬时变化率为 f(x)x 22x(x1) 21(0x5) ，所以当x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 P 元，销售
5、量为 Q 件，且销量 Q 与零售价 P 有如下关系：Q8 300170PP 2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)( )A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：选 D.毛利润为(P20)Q，即 f(P)( P20)(8 300170P P 2)，f(P)3P 2300P11 7003(P130)(P30)令 f(P) 0，得 P30 或 P130( 舍去)又 P20， ) ，故 f(P)maxf(P) 极大值 ，故当 P30 时，毛利润最大，所以 f(P)maxf(30)23 000( 元) 3某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场，一边可以利用原有
6、的墙壁 (墙壁足够长) ，其他三边需要砌新的墙壁，若使所用的材料最省，则堆料场的长和宽应分别为( )A32 m，16 m B30 m，15 mC64 m，8 m D36 m，18 m解析：选 A.要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短设堆料场宽为 x m，则长为 m，因此新墙总长 L(x)2x (x0)，则 L(x)2 .令 L(x)0，解得512x 512x 512x2x16(x 16 舍去)故当 x16 时，L( x)取得最小值，此时长为 32(m)512164某出版社出版一读物，一页上所印文字占去 150 cm2，上、下要留 1.5 cm 空白，左、右要留 1 cm 空白，出版商为节约
7、纸张，应选用的尺寸为( )A左右长 12 cm，上下长 18 cmB左右长 12 cm，上下长 19 cmC左右长 11 cm，上下长 18 cmD左右长 13 cm，上下长 17 cm解析：选 A.设所印文字区域的左右长为 x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长150x为(x2)cm，上下长为 cm，所以纸张的面积 S( x2) 3x 156.(150x 3) (150x 3) 300x所以 S3 ，令 S0，300x2解得 x10.当 x10 时，S 单调递增；当 00)，240v(160 16 400v3)y240 ，( 160v2 26 400v)令 y0，得 v80，当 v80
8、 时，y0；当 00)由 L(x) x2 0，得 x25.令 L(x)0，275 275 x 225 250x得 025，得 L(x)在区间(0，25) 上单调递增，在区间(25，) 上单调递减，所以当 x25 时，总利润最高答案：259某商店经销一种奥运纪念品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a(a 为常数，4 a5) 元的税收，设每件产品的日售价为 x(35x41)元，根据市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数) 成反比已知每件产品的日售价为 40 元时，日销售量为 10 件(1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式；
9、(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值解：(1)设日销售量为 ，当日售价为 40 元，日销量为 10 件时， 10，所以kex ke40k10e 40，故日销售量为 件10e40ex则日利润 L(x) (35x41)10e40（x 30 a）ex(2)由(1)可得 L(x) ，因为 4a5，所以 35a3136.10e40（31 a x）ex令 L(x)0，得 xa31，故 L(x)在35，a31 上为增函数，在a31，41上为减函数所以当 xa31 时，L(x)取得最大值，最大值为 10e9a .10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相
10、距 m 米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩在桥面距离计算中都x视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解：(1)设需要新建 n 个桥墩，则( n1)xm ，即 n 1，所以 yf (x)256n( n1)(2 )x256 (2 )x mmx x (mx 1) mx x 256mx2m 256(00，f(x)在区间(64 ，640上为增函数所以
11、f(x)在 x64 处取得极小值，也是最小值，此时 n 1 19.mx 64064故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小B 能力提升11若球的半径为 R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( )A2 R2 B R2C4R 2 D. R212解析： 选 A.设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，则x ，R2 h24所以 S 侧 2xh2h R2 h242 ，R2h2 h44令 tR 2h2 ，则 t2R 2hh 3，令 t0，得 h R(舍负 )或 h0(舍去) ，当h44 200，当 R0，s 为增函数，故当 x 时，s 取得极小值，也是13 13最小值，此时 s 的最小值为 .3233答案
12、：323313某学校拟建一座长 60 米，宽 30 米的长方形体育馆按照建筑要求，每隔 x 米需打建一个桩位，每个桩位需花费 4.5 万元(桩位视为一点且打在长方形的边上且四个顶点各有一个桩位)，桩位之间的 x 米墙面需花(2 )x 万元，在不计地板和天花板的情况下，3x当 x 为何值时，所需总费用最少？解：由题意可知，需打 2( 1)2( 1) (00. 所以当 x3 时，t 取极小值为 t 923 .3392而在(0，30) 内极值点唯一，所以 tmin .所以当 x3 时，y min180 3601 170(万92 92元)，即每隔 3 米打建一个桩位时，所需总费用最小为 1 170 万
13、元14(选做题) 如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为 O，半径为 100 m，其与城站路一边所在直线 l 相切于点 M，MO 的延长线交圆 O于点 N， A 为上半圆弧上一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林局计划在ABM 内进行绿化，设ABM 的面积为 S(单位：m 2)(1)以AON (rad)为自变量，将 S 表示成 的函数；(2)求使绿化面积最大时点 A 的位置及最大绿化面积解：(1)由题意知，BM100sin ，AB100100cos ，故 S5 000sin (1cos )(00；3 12当 时， 1cos ，S 0.3 12故当 时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为 3 750 ，此时 AB150.3 3即当点 A 距路边的距离为 150 m 时，绿化面积最大，最大面积为 3 750 m2.3