1、12 导数的计算12.1 几个常用函数的导数12.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1.能根据定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y x 2，y ，y 的导数1x x2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数1几个常用函数的导数函数 导数f(x)c(c 为常数) f(x)0f(x)x f(x)1f(x)x 2 f( x)2xf(x)1xf(x )1x2f(x) x f(x )12x2.基本初等函数的导数公式函数 导数f(x)c(c 为常数) f(x)0f(x)x (Q *) f(x)x 1f(x)sin x f(x) cos _xf(x)cos x f(x)sin_x
2、f(x)a x f(x)a xln_af(x)e x f(x ) exf(x)log ax f(x ) 1xln af(x)ln x f(x ) 1x(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数(2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用 yx 的导数公式解决(3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化(4)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数(5)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒数 判断正误(正确的打“”
3、，错误的打 “”)(1) cos .( )(sin3) 3(2)因为(ln x) ，所以 ln x( )1x (1x)(3)若 f(x)sin x ，则 f(x)cos x( )答案：(1) (2) (3)已知 f(x) ，则 f(4)( )xA B.14 14C2 D2解析：选 B.因为 f(x) ，所以 f(4) .12x 124 14曲线 ysin x 在 x0 处的切线的倾斜角是( )A. B.2 3C. D.6 4解析：选 D.由题知，y cos x，所以 y|x0 cos 01.设此切线的倾斜角为 ，则 tan 1，因为 0，)，所以 .4已知 f(x)2 x，则 f _(1ln
4、2)解析：因为 f(x)2 x，所以 f(x)2 xln 2，所以 f f(log 2e)2 log2eln 2eln 2.(1ln 2)答案：eln 2探究点 1 运用导数公式求导数求下列函数的导数(1)y2 018；(2) y ；13x2(3)y3 x；(4)y log3x.【解】 (1)因为 y2 018，所以 y(2 018)0.(2)因为 y x ，13x2 23所以 y x 1 x x .23 23 23 53 (3)因为 y3 x，所以 y3 xln 3.(4)因为 ylog 3x，所以 y .1xln 3用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解(2
5、)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如 y 可以写成 yx 4 ，y 可以写成 yx 等，这样就可以直接1x4 5x3 35 使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误 1.已知函数 f(x) ，若 f(a)12，则实数 a 的值为x3， x0)，所以 f(x) ，1x所以 f(x0) ，1x0所以 x01.答案：14已知点 P(e，a)在曲线 f(x)ln x 上，直线 l 是以点 P 为切点的切线，求过点 P 且与直线 l 垂直的直线的方程(e 是自数对数的底数)解：因为 f(x) ，1x所以直线 l 的斜率
6、klf(e) .1e所以所求直线的斜率为e.因为点 P(e，a)在曲线 f(x)ln x 上，所以 aln e 1.故所求直线的方程为 y1e(xe)，即 exye 210.知识结构 深化拓展连续的奇函数、偶函数、周期函数的导函数性质如图是奇函数的图象，图是偶函数的图象，图是周期函数的图象观察图中各曲线的切线，可知(1)图中曲线在点 A，B 处的切线斜率相等，即 f(a)f(a) (2)图中曲线在点 A，B 处的切线斜率互为相反数，即 g(a)g(a)(3)图中曲线在不同周期上的同一位置 A，B，C 处的切线斜率相等，即 (aT ) (a) (aT )因此，我们可以得到如下结论：(1)奇函数的
7、导数是偶函数例如，ysin x 是奇函数，ycos x 是偶函数(2)偶函数的导数是奇函数例如，yx 2 是偶函数，y 2 x 是奇函数(3)周期函数的导数还是周期函数例如，ysin x 的最小正周期是 2，ycos x 的最小正周期也是 2.A 基础达标1给出下列结论：(sin x)cos x；若 f(x) ，则 f(3) ；1x2 227(e x)e x；(log 4x) .1xln 4其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 D.因为(sin x)cos x，所以正确；f (x) Error!(x 2 )2x 3 ，则(1x2)f(3) ，所以正确；因为(e x)e
8、 x，所以正确；因为(log 4x) ，所以正确227 1xln 42若幂函数 f(x)mx 的图象经过点 A ，则它在点 A 处的切线方程是( )(14，12)A2xy0 B2xy0C4x 4y10 D4x 4y10解析：选 C.因为函数 f(x)mx 为幂函数，所以 m1.又幂函数 f(x)x 的图象经过点A ，所以 ，所以 f(x)x ，f (x) ，f 1，所以 f(x)的图象在点 A 处的切线方(14，12) 12 12 12x (14)程为 y x ，即 4x4y10.12 143过曲线 ycos x 上一点 P 且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线方程为 ( )(3，12)A2x
9、 y 0323 32B. x2y 10333C2x y 0323 32D. x 2y 10333解析：选 A.因为 ycos x，所以 ysin x，曲线在点 P 处的切线斜率是(3，12)y|x sin ，所以过点 P 且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线的斜率为 ，所以33 32 23所求的直线方程为 y ，即 2x y 0.12 23(x 3) 3 23 324设曲线 yx n1 (nN *)在点(1，1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则x1x2xn 的值为( )A. B.1n 1n 1C. D1nn 1解析：选 B.由题意得 xn ，nn 1则 x1x2xn ，故选 B.
10、12 23 34 n 1n nn 1 1n 15已知点 P 在曲线 y2sin cos 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取x2 x2值范围是( )A. B.34，) 4，34C. D. 4，34 0，4 34，)解析：选 D.因为 y2sin cos sin x，所以 ycos x，设 P(x0，y 0)由题意，知切线x2 x2的斜率存在，则曲线在点 P 处的切线的斜率 ktan cos x0，所以1tan 1.因为0 ，所以 ，故选 D.0，4 34，)6已知函数 f(x) ，且 f(a)f(a) 2，则 a_1x解析：f(x) ，所以 f(x) ，1x 1x2f(a)f(a)
11、 2.1a2 1a即 2a2a10，解得 a1 或 a .12答案：1 或127曲线 yx 3 在点(1，1)处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积为_解析：因为 y3x 2.所以切线的斜率为 y|x1 31 23，所以切线方程为y13( x1) ，与 x 轴的交点为 ，与直线 x2 的交点为(2，4) 所以(23，0)S 4 .12 |2 23| 83答案：838设曲线 ye x 在点(0，1) 处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的1x坐标为_解析：设 f(x)e x，则 f(x)e x，所以 f(0)1.设 g(x) (x0)，1x则 g(x) .
12、由题意可得 g(xP)1，1x2解得 xP1.所以 P(1，1) 答案：(1，1)9求与曲线 yf( x) 在点 P(8，4)处的切线垂直，且过点(4 ，8)的直线方程3x2解：因为 y ，所以 y( ) x .所以 f(8) 8 ，即曲线在点3x2 3x2 (x23 )23 13 23 13 13P(8， 4)处的切线的斜率为 .所以适合条件的直线的斜率为3.从而适合条件的直线方程为13y83( x4)，即 3xy200.10点 P 是曲线 ye x 上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离解：根据题意设平行于直线 yx 的直线与曲线 ye x 相切于点 P(x0，y 0)，该切点即为
13、与 yx 距离最近的点，如图则在点 P(x0，y 0)处的切线斜率为 1，即 y|xx 01.因为 y(e x)e x，所以 ex01，得 x00，代入 ye x，得 y01，即 P(0，1)利用点到直线的距离公式得距离为 .22B 能力提升11若函数 yf( x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf( x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是( )Aysin x Byln xCy ex Dy x3解析：选 A.设函数 yf (x)的图象上两点 P(x1，y 1)，Q(x 2， y2)，则由导数的几何意义可知，点 P，Q 处切线的斜率分别为 k1f(x 1
14、)，k 2f (x2)，若函数具有 T 性质，则k1k2f(x 1)f(x2)1.对于 A 选项，f (x)cos x，显然 k1k2cos x 1cos x21 有无数组解，所以该函数具有 T 性质；对于 B 选项，f (x) (x0) ，显然 k1k2 1 无解，故该1x 1x11x2函数不具有 T 性质；对于 C 选项，f (x)e x0，显然 k1k2e x1ex21 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项， f(x)3x 20，显然 k1k3x 3x 1 无解，故该函数不具有21 2T 性质故选 A.12设 f0(x)sin x，f 1(x) f0(x)，f 2(x)f 1(
15、x)，f n1 (x)f n(x)，nN ，则 f2 018(x)_解析：由已知 f1(x)cos x， f2(x)sin x，f 3(x)cos x，f 4(x)sin x，f 5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为 3，则 f2 018(x)f 2(x)sin x.答案：sin x13若曲线 f(x)x 2 在点( a，a 2 )(a0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求 log a 的值32解：由题意，得 f(x)2x 3，所以曲线 f(x)在点(a，a 2 )处的切线方程为 ya 2 2a 3 (xa)，令 x0，得 y3a 2 ，令 y 0，得 x .3
16、a2所以 3a2 a3，12 32解得 a .34所以 log a2.3214(选做题) 已知两条曲线 y1sin x，y 2cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解：不存在理由如下：由于 y1sin x，y 2cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y 0)，所以两条曲线在 P(x0，y 0)处切线的斜率分别为 k1y 1|xx 0cos x0，k 2y 2|xx 0sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使 cos x0(sin x0)1，即 sin x0cos x01，也就是 sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直