1、13 导数在研究函数中的应用13.1 函数的单调性与导数1.理解导数与函数的单调性的关系 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法3能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数 yf (x)f(x)的正负 f(x)的单调性f(x)0 单调递增f(x)0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增(2)如果 f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小f(x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )(2)若函数 f(x)在某区间内单调递增，则一定有 f(x)0.( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上
2、的导数的绝对值越大( )答案：(1) (2) (3) 若在区间(a，b)内，f( x)0，且 f(a)0，则在(a，b) 内有( )Af(x)0 Bf( x)0，所以 f(x)在 R 上为增函数32答案：(，)探究点 1 导数与函数图象的关系(1)已知 f(x)是函数 y f(x)的导函数，若 yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的图象可能是( )(2)函数 yf(x)在定义域 内可导，其图象如图所示，记 yf(x) 的导函数为( 32， 3)yf (x)，则不等式 f(x)0，即函数 f(x)在( ，0)上为增函数；当 02 时，f( x)0，即函数 f(x)在(2 ，)上为增函数
3、观察选项易知 D 正确(2)函数 yf(x)在区间 和区间(2 ，3)上单调递减，所以在区间 和区间( 13，1) ( 13，1)(2，3)上，yf(x )0 的解集解：根据题目中的图象，函数 yf (x)在区间( ， )和区间(1 ，2)上为增函数，32 13所以在区间 和区间(1 ，2)上，yf (x)0，( 32， 13)所以 f(x)0 的解集为 (1，2)( 32， 13)2若本例(2)中的条件不变，试求不等式 xf(x)0 的解集解：由本例(2)及互动探究 1 以及已知条件可知，当 x 时，函数为减函数，( 13，0)则 f(x)0.综上可知：xf(x )0 的解集为 (1，2)(
4、 13，0)研究函数图象与导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致注意 利用导函数单调性可以判断原函数图象的凹凸性：若 f(x)0 且单调递增，则原函数 f(x)的图象上升且下凸；若 f(x)0 且单调递减，则原函数 f(x)的图象上升且上凸；当f(x)0(即全部在 x 轴上方 )，故排除 A，C. 从原函数图象上可以看出，在区间 (0，x 1)上原函数是增函数，f
5、(x)0；在区间(x 1，x 2)上原函数是减函数，f (x)0，故排除 B.2已知函数 yf( x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yf (x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选 B.法一：由函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象自左到右先增后减，可知函数yf (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小法二：由于 f(x)0 恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知：f(x)单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足由于当 x0 时，f(x)0 且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸；当x0 且越来越大，则函数值增加得越来越快，图象呈现下凸，可以判断 B
6、 正确探究点 2 利用导数求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)x 33x1；(2)f(x)x (b0)bx【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R，f (x)3x 23，令 f(x)0，则 3x230.即 3(x 1)(x1)0，解得 x1 或 x0，则 (x )(x )0，1x2 b b所以 x 或 x0，函数在解集所表示定义域内为增函数(4)解不等式 f(x)0，即 2 0，解得 x ；3x2 1x 33令 f(x)0，若 a 0所以 f(x)在(0，)上单调递增(7 分)分 类 讨 论 是 本 题 难 点，则由 f(x)0 得 x ，且当 x 时，f( x)0；若 a0
7、1a (0，1a)当 x 时，f( x)0 时，f( x)的单调递增区间为 .(12 分)(0，1a)(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准(2)此题对含参数的函数的单调性进行了讨论另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握1下列函数中，在(0， )内为增函数的是( )Aysin x Byxe xCy x3x Dy ln xx解析：选 B.B 中，y (xe x) exxe xe x(x1)0 在(0，)上恒成立，所以 yxe x在(0，)上为
8、增函数对于 A、C、D 都存在 x0，使 y0，可得 x ；由 f(x)1x 1e0，所以 f(x)在2，5上的单调递增区间为(1，2) 和(4，5答案：(1，2)和(4 ，54已知函数 f(x) x3ax 2 bx，且 f(1)4，13f(1)0.(1)求 a 和 b；(2)试确定函数 f(x)的单调区间解：(1)因为 f(x) x3ax 2bx，13所以 f(x)x 22axb，由 得f（ 1） 4，f（1） 0， ) 1 2a b 4，1 2a b 0. )解得 a1，b3.(2)由(1)得 f(x) x3x 23x.13f(x)x 22x3(x1)( x3) 由 f(x)0 得 x1
9、或 x0(f(x)0，即 x2 时，f (x)单调递增，故选D.2函数 f(x)x 3ax 2bx c，其中 a，b，c 为实数，当 a23b0，所以 f(x)在(0， )上是增函数因为 2.70)令2x 2x2 5x 2xf(x)0 时，f(x)0 得 x ，2af(x)0，2af(x)0 得 0 时，f(x) 在(，0)， 上是增函数，在 上是减函数；(2a， ) (0，2a)a0)，1x 1 ln xex令 f(x)0，可得 x1.当 00，f (x)在(0，1) 上单调递增；1x 1 ln xex当 x1 时，f( x) 0，若 f(1)0，则关于 x 的不等式 xf(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(x)为偶函数，所以 f(1) f(1)0，且 f(x)在(，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以 xf(x)0，则当 x 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增( 1k， )若 k0，函数 f(x)单调递增；( ， 1k)当 x 时，f(x)0，则当且仅当 1，即 01 时，f(x)0 得 x0， x2 x 10，)解得 01 时，F( x)1 时，f(x )x1.