1、22 椭圆221 椭圆及其标准方程1了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程 2掌握椭圆的定义与标准方程3通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于常数 (大于| F1F2|)的点的轨迹(2)焦点：两个定点 F1，F 2(3)焦距：两焦点间的距离| F1F2|(4)几何表示：| MF1|MF 2| 2a(常数)且 2a|F 1F2|(1)在椭圆的定义中，注意到两定点的距离之和为定值，且“常数”大于两定点之间的距离(2)椭圆的定义的双向运用：一方面，符合定义条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上
2、所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数) 2椭圆的标准方程焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上标准方程 1(a b0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c，0) (0，c )a，b，c 的关系 a2b 2c 2标准方程的代数特征：方程右边为 1，左边是关于 与 的平方和，并且分母为不相等xa yb的正值判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆( )(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关( )(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2b 2c 2( )答案：(
3、1) (2) (3) 设 P 是椭圆 1 上的点，若 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，则|PF 1| PF2|等于( )x225 y216A4 B5C8 D 10答案：D已知两焦点坐标分别为(2， 0)和(2，0) ，且经过点(5 ，0)的椭圆的标准方程为( )A 1 B 1x216 y225 x225 y216C 1 D 1x225 y221 x29 y225答案：C椭圆 1 的焦点坐标是_x225 y2169答案：(0，12)已知方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为_x23 k y22 k答案： ( 12，2)探究点 1 求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程
4、(1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0，2) 和(1，0) ；(2)两个焦点的坐标分别是(0， 2)，(0，2) ，并且椭圆经过点 ；( 32，52)(3)经过点 P(2 ，1)，Q( ，2)3 3【解】 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2又椭圆经过点(0，2)和(1 ，0) ，所以4a2 0b2 1，0a2 1b2 1，)所以 a2 4，b2 1.)所以所求的椭圆的标准方程为 x 21y24(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1(a b0)y2a2 x2b2由椭圆的定义知：2a 2 ，( 32)2 (52 2)2 (
5、 32)2 (52 2)2 10即 a 又 c2，所以 b2a 2c 2610所以所求的椭圆的标准方程为 1y210 x26(3)设椭圆的方程为 mx2ny 21( m0，n0 ，且 mn)，因为点 P(2 ，1)，Q ( ， 2)在椭圆上，3 3所以代入椭圆的方程得 12m n 1，3m 4n 1，)所以m 115，n 15. )所以椭圆的标准方程为 1x215 y25求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程 (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量” 当所求椭圆的焦点位置不能确定
6、时，应按焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上进行分类讨论，但要注意 ab0 这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny 21(m0，n0 且 mn) 的形式有两个优点： 列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5) ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26；(2)过点(3，2)且与椭圆 1 有相同的焦点x29 y24解：(1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 1(ab0) 因为 2a26 ，2c10，所以y2a2 x2b2a13，c5所以
7、b2a 2c 2144所以所求椭圆的标准方程为 1y2169 x2144(2)已知椭圆 1 中 a3，b2，且焦点在 x 轴上，x29 y24所以 c2945设所求椭圆方程为 1(0)x2 5 y2则 19 5 4解得 10 或 2(舍) ，故所求椭圆的标准方程为 1x215 y210探究点 2 椭圆定义的应用已知 P 为椭圆 1 上一点，F 1，F 2 是椭圆的焦点， F 1PF260 ，求x212 y23F1PF2 的面积【解】 在PF 1F2中，|F1F2|2 |PF1|2 |PF2|22|PF 1|PF2|cos 60，即 36|PF 1|2| PF2|2|PF 1|PF2|由椭圆的定
8、义得|PF 1| PF2|4 ，3即 48|PF 1|2| PF2|22|PF 1|PF2|由得|PF 1|PF2|4所以 SF1PF2 |PF1|PF2|sin 60 12 31变条件 若将本例中“F 1PF260”变为“F 1PF290” ，求F 1PF2 的面积解：由椭圆 1 知|PF 1|PF 2|4 ，| F1F2|6，因为 F 1PF290，x212 y23 3所以|PF 1|2| PF2|2|F 1F2|2 36，所以|PF 1|PF2|6，所以 SF1PF2 |PF1|PF2|3122变条件 若将本例中“F 1PF260”变为“PF 1F290” ，求F 1PF2 的面积解：由
9、已知得 a2 ，b ，3 3所以 c 3从而|F 1F2|2c6a2 b2 12 3在PF 1F2中，由勾股定理可得|PF2|2 |PF1|2 |F1F2|2，即|PF 2|2| PF1|236，又由椭圆定义知|PF 1| PF2|22 4 ，3 3所以|PF 2|4 | PF1|3从而有(4 |PF 1|)2|PF 1|2 36，3解得|PF 1| 32所以PF 1F2的面积 S |PF1|F1F2| 6 ，即PF 1F2的面积是 12 12 32 332 332椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|MF 2|2a(2 a |F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反
10、之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a(2)椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F 2构成的PF 1F2称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解 已知 F1，F 2 为椭圆 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于x225 y29A，B 两点若 |F2A|F 2B|12，则|AB| _解析：由直线 AB 过椭圆的一个焦点 F1，知| AB|F 1A|F 1B|，所以在F 2AB 中，|F2A| F2B|AB |4a20，又 |F2A| F2B|12，所以| AB|8答案：8探究点 3 求与椭圆有关的轨迹方程如图所示，
11、已知动圆 P 过定点 A(3，0) ，并且在定圆 B：(x3) 2y 264 的内部与其内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程【解】 设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M，动圆圆心 P 到两定点 A(3，0)和 B(3，0) 的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA| |PB| |PM|PB|BM|8| AB|，所以动圆圆心 P 的轨迹是以 A，B 为左，右焦点的椭圆，其中c3，a4，b 2a 2c 24 23 27，其轨迹方程为 1x216 y27利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤已知 B，C 是两个定点， |BC|8，且ABC 的周长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程解：以过 B，C
12、两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC | 8，可知点 B(4，0) ，C (4，0)由|AB| |AC|BC| 18，|BC|8，得|AB| |AC|10因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，c4，但点 A 不在 x 轴上由 a5，c4，得 b2a 2c 225169所以点 A 的轨迹方程为 1(y0)x225 y291已知椭圆 1(ab0)的右焦点为 F(3，0)，点(0，3)在椭圆上，则椭圆的方x2a2 y2b2程为( )A 1 x245 y236B 1x236 y227C 1
13、x227 y218D 1x218 y29解析：选 D由题意可得 解得 故椭圆的方程为 1a2 b2 9，0 9b2 1，) a2 18，b2 9，) x218 y292已知椭圆 1(m0) 的左焦点为 F1(4，0)，则 m_x225 y2m2解析：由 4 (m0)，解得 m325 m2答案：33若方程 1 表示椭圆，则 m 满足的条件是_x2m y22m 1解析：由方程 1 表示椭圆，x2m y22m 1知 m0，2m 10，m 2m 1，)解得 m 且 m112答案： m|m12且 m 1)4已知椭圆 1(ab0)的焦点分别是 F1(0，1)，F 2(0，1)，且 3a24b 2y2a2
14、x2b2(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 P 在这个椭圆上，且|PF 1|PF 2|1，求F 1PF2 的余弦值解：(1)依题意，知 c1，又 c2a 2b 2，且 3a24b 2，所以 a2 a21，34即 a2114所以 a24，b 23，故椭圆的标准方程为 1y24 x23(2)由于点 P 在椭圆上，所以|PF 1| PF2|2a224又|PF 1| |PF2| 1，所以|PF 1| ，| PF2| 52 32又|F 1F2|2c2，所以由余弦定理得cosF 1PF2 （52）2 （32）2 2225232 35故F 1PF2的余弦值等于 35知识结构 深化拓展1椭圆的定义条件 结论2
15、a|F1F2| 动点的轨迹是椭圆2a|F 1F2|动点的轨迹是线段 F1F22a0，m 30，5 m m 3，)3b0)，根据ABF 2的x2a2 y2b2周长为 16 得 4a16，则 a4，因为 a c，所以 c2 ，则 b2a 2c 216882 2故椭圆的标准方程为 1x216 y28答案： 1x216 y289求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为 F1(4，0)，F 2(4，0) ，并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 10；(2)焦点分别为(0，2)，(0， 2)，经过点(4，3 )2解：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，且 c4，2a10，所以 a5，
16、b a2 c23，所以椭圆的标准方程为 125 16x225 y29(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2法一：由椭圆的定义知 2a 12，解得（4 0）2 （32 2）2 （4 0）2 （32 2）2a6又 c2 ，所以 b 4 a2 c2 2所以椭圆的标准方程为 1y236 x232法二：因为所求椭圆过点(4， 3 )，所以 1218a2 16b2又 c2a 2b 24，可解得 a236，b 232所以椭圆的标准方程为 1y236 x23210设 F1、F 2 分别是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，当 a2b 时，点 P 在椭圆x2a2
17、y2b2上，且 PF1PF 2，| PF1|PF2|2，求椭圆方程解析：因为 a2b，b 2c 2a 2，所以 c23b 2又 PF1PF 2，所以| PF1|2|PF 2|2(2c) 212b 2，由椭圆定义可知|PF1| PF2|2 a4b，(|PF1|PF 2|)2| PF1|2| PF2|22|PF 1|PF2|12b 2416 b2，所以 b21，a 24所以椭圆方程为 y 21x24B 能力提升11已知 P 为椭圆 1 上的一点，M，N 分别为圆(x3) 2y 21 和圆(x3)x225 y2162y 24 上的点，则|PM| |PN| 的最小值为( )A5 B7C13 D 15解
18、析：选 B由题意知椭圆的两个焦点 F1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF1| PF2|10 ，从而|PM | |PN|的最小值为|PF 1|PF 2|12712已知 F1、F 2 是椭圆 1 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且AF 1F245，x29 y27则AF 1F2 的面积为 _解析：如图由 1，x29 y27知 a29，b 27，c 22所以 a3，b ，c 所以|F 1F2|2 7 2 2设|AF 1| x，则|AF 2|6x因为AF 1F2 45，所以(6x) 2x 284 x 222所以 x 所以 SAF 1F2 2 72 12 2 72 22 72答案：7213如图所示，已知椭圆
19、的两焦点为 F1(1，0) ，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且2|F1F2| |PF1| |PF2|(1)求椭圆的标准方程；(2)若点 P 在第二象限，F 2F1P120，求PF 1F2 的面积解：(1)设椭圆的标准方程为 1( ab0)，焦距为 2c，则由已知得x2a2 y2b2c1，| F1F2|2，所以 4|PF 1| PF2|2a，所以 a2，所以 b2a 2c 2413，所以椭圆的标准方程为 1x24 y23(2)在PF 1F2中，|PF 2|2a|PF 1|4|PF 1|由余弦定理，得|PF 2|2| PF1|2|F 1F2|22|PF 1|F1F2|cos 120，即(4|
20、 PF1|)2|PF 1|242| PF1|，所以|PF 1| ，65所以 SPF1F2 |F1F2|PF1|sin 120 2 12 12 65 32 33514(选做题) 设 F1，F 2 分别是椭圆 y 21 的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为x24(0，1)(1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|PF2|的最大值；(2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点，且 1 1，求 的值；BF CF (3)设 P 是该椭圆上的一个动点，求PBF 1 的周长的最大值解：(1)因为椭圆的方程为 y 21，所以 a2，b1，c ，x24 3即|F 1F2|2 ，3又因为|PF 1|PF 2|2a4，所以|PF 1|PF2| 4，(|PF1| |PF2|2 )2(42)2当且仅当|PF 1| PF2|2 时取“” ，所以|PF 1|PF2|的最大值为 4(2)设 C(x0，y 0)，B(0，1)，F 1( ，0)，3由 1 1，BF CF 得 x0 ，y 0 3（1 ） 1又 y 1，所以有 2 670，20解得 7 或 1，C 异于 B 点，故 1 舍去所以 7(3)因为|PF 1|PB|4|PF 2| PB|4|BF 2|，所以PBF 1的周长4| BF2|BF 1|8，所以当 P 点位于直线 BF2与椭圆的交点处时，PBF 1的周长最大，最大值为 8