1、12 充分条件与必要条件121 充分条件与必要条件122 充要条件1理解充分条件、必要条件与充要条件的意义 2结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明1充分条件与必要条件命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题推出关系 pq p q/ 条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的 “有之必成立，无之未必不成立” (2)若 p
2、q，则 q 是 p 的必要条件所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可有之未必成立，无之必不成立2充要条件如果既有 pq，又有 qp，则可以记作 pq，这时称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件p 与 q 互为充要条件时，也称“p 等价于 q”“q 当且仅当 p”等 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)“x0”是“(2x1)x 0” 的充分不必要条件( )(2)q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件( )(3)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题 ( )(4)q 不是 p 的必要条件时， “p q”成立( )/ 答案：(1) (2
3、) (3) (4)“x0”是“x 0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：A已知向量 a(x1，2)， b(2，1)，则 ab 的充要条件是 ( )Ax Bx112Cx 5 D x0答案：D“log3Mlog 3N”是“MN”成立的_条件答案：充分不必要探究点 1 充分、必要、充要条件的判断下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x1 或 x2，q：x 1 ；x 1(2)p：m0，q ：x 2x m 0 有实根；(3) p：在ABC 中，A60，q：sin A ；32(4)p：四边形的对
4、角线相等，q：四边形是平行四边形【解】 (1)因为 x1 或 x2x1 ，x 1 x1 或 x2，所以 p 是x 1 x 1q 的充要条件(2)因为 m0方程 x2x m0 的判别式 14m0，即方程有实根，方程x2xm0 有实根，即 1 4m0 m0，所以 p 是 q 的充分不必要条件/ (3)因为在ABC 中，A60 sin A (A120 时，sin A )，在ABC 中，sin / 32 32A A60，32所以 p 是 q 的必要不充分条件(4)因为所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若 pq，q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；/
5、 若 p q，qp，则 p 是 q 的必要不充分条件；/ 若 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件；若 p q，q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件/ / (2)集合法对于集合 Ax| x 满足条件 p，Bx|x 满足条件 q，具体情况如下：若 AB，则 p 是 q 的充分条件；若 AB，则 p 是 q 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件 (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进
6、行判断指出下列各题中，p 是 q 的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)(1)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除；(2)p：x 2x20，q：|x2|1；(3)p：ABC 有三个内角相等，q：ABC 是正三角形；(4)p：|a b|ab，q：ab 0解：(1)因为 pq，q p，/ 所以 p 是 q 的充分不必要条件(2)|x2|1 1x211x 3；x 2x20x2 或 x1由于(1 ，3)(，2) (1，)，所以“x 2x20”是“|x2|1”的必要不充分条件(3)因为 pq，q p，即 pq，所以 p 是 q 的充要条件(4)因为
7、 ab0 时，| ab|ab，所以“|a b|a b” “ab0” ，即 p q/ / 而当 ab0 时，有|ab|ab，即 qp所以 p 是 q 的必要不充分条件探究点 2 充分条件、必要条件、充要条件的应用已知 p：2x10，q：1m x1m( m0) ，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围【解】 p：2x10，q：1m x1m( m0) 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 q 是 p 的充分不必要条件，即x|1 mx1m x|2x10 ，故有 或 ，1 m 21 m 10 ) 1 m 21 m 10)解得 m3又 m0，所以实数 m 的取值范围为m|0m 31变
8、条件 若本例中“p 是 q 的必要不充分条件”改为“ p 是 q 的充分不必要条件” ，其他条件不变，求实数 m 的取值范围解：p：2x10，q：1m x1m( m0) 因为 p 是 q 的充分不必要条件，设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B，所以 AB所以 或1 m 21 m 10 ) 1 m 2，1 m 10.)解不等式组得 m9 或 m9，所以 m9，即实数 m 的取值范围是 m92变问法 本例中 p、q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由解：因为 p：2x10，q：1m x1m( m0) 若 p 是 q 的充要条件，则
9、 ，m 不存在 2 1 m10 1 m)故不存在实数 m，使得 p 是 q 的充要条件由条件关系求参数的取值(范围) 的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式( 组)求解 1已知 p：4xa4，q：(x2)(x3)0，若 q 是 p 的充分条件，则 a 的取值范围为_解析：化简 p：a4xa4，q：2x3，由于 q 是 p 的充分条件，故有 解得：1a6a 4 2，a 4 3，)答案：1，62若 p：x 2x60 是 q：ax 10 的必要不充分条件，则实数 a 的值为_解析：p：x 2x 60，即 x2 或 x3q：ax10，当 a0 时
10、，方程无解；当 a0 时，x 1a由题意知 p q，q p，故 a0 舍去；当 a0 时，应有 2 或 3，解得/ 1a 1aa 或 a 12 13综上可知，a 或 a 12 13答案： 或12 13探究点 3 充要条件的证明求证：一元二次方程 ax2bxc 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0，所以方程一定有两不等实根设两根为 x1，x 2，则 x1x2 0，所以正确；中，当 mn 时，mn 不一定成立，所以不正确；中，当 ab 时，a 3b 3 一定成立，但 a3b 3 也一定能推出 ab，即“a 3b 3”是“ab”的充要条件，所以不正确；中，当 ab 时，有 AB，所以“ab”是“
11、AB”的充分条件，所以不正确答案：9下列各题中，p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条件？(1)p：c0，q：抛物线 yax 2bx c(a0) 过原点；(2)p：x1 且 y1，q：x y2 且 xy1；(3)p：0x3，q：|x 1|2解：(1)c0抛物线 yax 2bxc (a0)过原点；抛物线 yax 2bxc(a0) 过原点c0故 p 是 q 的充要条件，q 是 p 的充要条件(2)x1 且 y1xy 2 且 xy1；而 xy2 且 xy1 x1 且 y1故 p 是 q 的充/ 分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件(3)0x3|x 1| 2，|x1| 2 1x 3 0x
12、3故 p 是 q 的充分不必要条件，/ q 是 p 的必要不充分条件10已知 p：x 22x 3b 恒成立的实数 b 的取值范围解：由于 p：x 22x 30) 依题意，得x|10)，所以 解得 a2，1 a 1，1 a 3，2a4， )则使 ab 恒成立的实数 b 的取值范围是 b2，即( ，2 B 能力提升11(2018成都高二检测)下面四个条件中，使 ab 成立的充分不必要条件是( )Aab1 Bab1Ca 2b 2 D a3b 3解析：选 A由 ab1b ，从而 ab1 ab；反之，如 a4，b35，则435 43 51，故 ab ab1，故 A 正确/ / 12设 p： x1；q：(
13、 xa)(xa1)0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a12的取值范围是_解析：因为 q：axa1，p 是 q 的充分不必要条件，所以 或 解得 0a a 12，a 1 1) a 12，a 1 1，) 12答案： 0，1213求关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负的实数根的关于 a 的充要条件解：当 a0 时，x 符合题意12当 a0 时，令 f(x)ax 22x1，由于 f(0)10，当 a0 时， 0，若 4 4a0，1a则 a1，即 0a1 时，f(x)有两个负实数根当 a0 时，因为 f(0)1，44a0 恒成立，所以方程恒有负实数根综上所述，a1 为所求14(选做
14、题) 已知命题 p：A y|yx 2 x1，x ，q：Bx| xm|1，32 12，2并且命题 p 是命题 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围解：先化简集合 A，由 yx 2 x1，配方，得 y 32 (x 34)2716因为 x ，所以 y 12，2 716，2所以 A 由|xm |1，y|716 y 2)解得 xm1 或 xm1所以 B x|xm1 或 xm1 因为命题 p 是命题 q 的充分条件，所以 AB所以 m1 或 m12，716解得 m 或 m3916故实数 m 的取值范围是 3 ，)( ， 916命题与充要条件 (强化练)学生用书 P91(单独成册)一、选择题1下列命题是假
15、命题的是( )A若 ab0(a0，b0) ，则 abB若|a| b|，则 abC若 ac2bc 2，则 abD若 60 ，则 cos 12解析：选 B因为| a|b| 只能说明 a 与 b 的模相等，所以 ab 不一定成立，故选 B2(2018江西临川一中高二( 下)期末考试)命题“若 x，y 都是奇数，则 xy 也是奇数”的逆否命题是( )A若 xy 是奇数，则 x，y 不都是奇数B若 xy 是奇数，则 x，y 都不是奇数C若 xy 不是奇数，则 x，y 不都是奇数D若 xy 不是奇数，则 x，y 都不是奇数解析：选 C由于“x ，y 都是奇数”的否定表达是“x，y 不都是奇数” ， “xy
16、 是奇数”的否定表达是“x y 不是奇数 ”，故原命题的逆否命题为“若 xy 不是奇数，则 x，y 不都是奇数” ，故选 C3设向量 a(2，x1)，b (x1，4)，则“x3”是“ ab”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A当 ab 时，有 24( x1)(x1)0，解得 x3因为集合 3是集合 3，3的真子集，故“x3”是“ab”的充分不必要条件故选 A4命题“对于正数 a，若 a1，则 lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为( )A1 B2C3 D 4解析：选 D原命题“对于正数 a，若 a1，则 lg
17、a0”是真命题；逆命题“对于正数 a，若 lg a0，则 a1” 是真命题；否命题“对于正数 a，若 a1，则 lg a0”是真命题；逆否命题“对于正数 a，若 lg a0，则 a1”是真命题故选 D5 “a3”是“函数 f(x)ax2 在区间1，2 上存在零点”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A当 a3 时，f( 1)f(2)(a2)(2a2) 0，即函数 f(x)ax2 在区间1，2上存在零点；但当函数 f(x)ax2 在区间1， 2上存在零点时，不一定是a3，如当 a3 时，函数 f(x)ax23x2 在区间 1，2上存在零点所以“a
18、3”是“函数 f(x)ax2 在区间1，2 上存在零点”的充分不必要条件，故选 A6给出下列三个命题：(1)“若 b3，则 b29”的逆命题；(2)“若 c1，则 x22x c 0 有实根”的逆命题；(3)“若 AB A，则 AB”的逆否命题其中真命题的个数是( )A1 B2C3 D 0解析：选 A(1) 逆命题是“若 b29，则 b3” ，是假命题；(2)逆命题是“若x22xc0 有实根，则 c1” ，因为方程 x22xc 0 有实根，所以 44c0，所以 c1，所以 (2)是真命题；(3)若 ABA，则 BA，所以“若 ABA，则 AB”是假命题，所以其逆否命题也是假命题故选 A7下面的命
19、题中是真命题的是( )Aysin 2x 的最小正周期为 2B若方程 ax2bxc0(a 0)的两根同号，则 0caC如果 AB，那么 AB AD在ABC 中，若 0，则 B 为锐角AB BC 解析：选 By sin 2x ，T ，故 A 为假命题；若 AB，则 ABB，1 cos 2x2 22故 C 为假命题；当 0 时，向量 与 的夹角为锐角，B 为钝角，故 D 为假命题故选 BAB BC AB BC 8(2018四川成都七中段考) 若命题“若 xm1 或 xm1，则 x22x30”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数 m 的取值范围是( )A(1，2) B(0，2C1，1) D 0，2解析：
20、选 D由已知，易得x| x22x30 x|xm1 或 xm1 又x|x22 x30x|x 1 或 x3 ，所以 或 ，所以 1 m 1m 1 3 ) 1 m 1m 1 3)0m29(2016高考天津卷)设a n是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“对任意的正整数 n，a 2n1 a 2n0”的( )A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C由题意得，a n a1qn1 (a10)，a2n1 a 2na 1q2n2 a 1q2n1 a 1q2n2 (1q) 若 q0，因为 1q 的符号不确定，所以无法判断 a2n1 a 2n的符号；反之，若a
21、2n1 a 2n0，即 a1q2n2 (1 q)0，可得 q10故 “q0”是“对任意的正整数n，a 2n1 a 2n0”的必要而不充分条件10设条件 p：|x 2|3，条件 q：0xa，其中 a 为正常数，若 p 是 q 的必要不充分条件，则 a 的取值范围是( )A(0，5 B(0，5)C5，) D (5，)解析：选 A由|x2|3，得 3x 23，即1x5，即 p：1x 5，因为 q：0x a，a 为正常数，所以要使 p 是 q 的必要不充分条件，则 0a5，故选 A二、填空题11命题“若 x24，则2x2”的逆否命题为_，是_( 填“真”或“假”) 命题解析：命题“若 x24，则2x2
22、”的逆否命题为“若 x2 或 x2，则 x24” ，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题答案：若 x2 或 x2，则 x24 真12给出下列三个命题：当 m0 时，函数 f(x)mx 22x 是奇函数；若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列；已知 x，y 是实数，若 xy2，则 x1 或 y1其中为真命题的是_( 填序号) 解析：中，当 m0 时，f(x) mx 22x2x 是奇函数，故 是真命题；中，取ab0，c1 ，满足 b2ac，但 a，b，c 不成等比数列，故 是假命题；的逆否命题为“已知 x，y 是实数，若 x1 且 y1，则 xy2”是真命题，所以原命题也是真命题，即是真
23、命题答案：13若“x 21”是“x a”的必要不充分条件，则实数 a 的最大值为_解析：由 x21，得 x1 或 x1又“x 21”是“xa”的必要不充分条件，则由“xa”可以推出 “x21” ，但由“x 21”推不出“x a”，所以 a1，所以实数 a 的最大值为1答案：114设 ， 为平面，m， n，l 为直线，则对于下列条件：， l，ml； m， ， ； ， ，m；n，n， m其中为 m 的充分条件的是_( 将正确的序号都填上 )解析：， l，m l m ；/ m， ， m； ， 与 可能相交也可能平行，故 ， ，m m；/ 由 n，n 得 ，又 m，所以 m答案：三、解答题15写出“若
24、 x2，则 x25x 60”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若 x25x 60，则 x2，是假命题；否命题：若 x2，则 x25x 60，是假命题；逆否命题：若 x25x 60，则 x2，是真命题16指出下列各题中，p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件，并说明理由(1)p：|x |y|，q：xy；(2)在ABC 中， p：sin A ，q：A 12 6解：(1)因为|x| |y|xy 或 xy，但 xy|x| y|，所以 p 是 q 的必要不充分条件，q 是 p 的充分不必要条件(2)因为 A(0，) 时，sin A(0，1 ，且 A 时，y sin A 单调
25、递增，A 时，(0，2 2，)ysin A 单调递减，所以 sin A A ，但 A sin A 所以 p 是 q 的充分不必要条12 6 6/ 12件，q 是 p 的必要不充分条件17已知 p，q 为实数，若方程 x22pxq0 没有实数根，则 pq 14(1)判断上述命题的真假，并说明理由；(2)试写出上述命题的逆命题，判断其真假，并说明理由解：(1)原命题是真命题由题意得，方程的判别式 4p 24q0，即 qp 2所以 pqpp 2 ，(p 12)2 14 14所以 pq 14(2)逆命题为“已知 p，q 是实数，若 pq ，则方程 x22px q0 没有实数根” 14逆命题是假命题，如
26、当 p1，q1 时，pq ，但原方程有实数根 x11418设函数 ylg( x 24x3) 的定义域为 A，函数 y ，x(0，m )的值域为 B2x 1(1)当 m2 时，求 AB；(2)若“xA”是“x B”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解：(1)由题意得x 24x30，解得 1x3，所以 A(1 ，3)，又函数 y 在区间(0，m) 上单调递减，2x 1所以 y ，即 B ，(2m 1，2) ( 2m 1，2)当 m2 时，B ，(23，2)所以 AB (1，2)(2)首先要求 m0，因为“xA”是 “xB”的必要不充分条件，所以 BA，即 (1，3)，(2m 1，2)从而 1，解得 0m12m 1