1、211 曲线与方程212 求曲线的方程1了解曲线与方程的概念 2理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义 3掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y )0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求曲线的方程的步骤判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)x2y 21( x0)表示的曲
2、线是单位圆 ( )(2)若点 M(x，y)的坐标是方程 f(x，y )0 的解，则点 M 在曲线 f(x，y)0 上( )(3)方程 yx 与方程 y 表示同一曲线( )x2x答案：(1) (2) (3) 方程 xy10(0x 1)表示的曲线是( )A直线 B射线C线段 D平面区域答案：C已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A( ，0) ，B( ，0) ，顶点 C 的轨迹是( )3 3A一条直线 B一条直线去掉一点C一个点 D两个点答案：B已知两定点 A(2，0)，B(1，0) ，如果动点 P 满足| PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A B4C8 D 9答案：B
3、已知方程 x2y 25 表示的曲线经过点 A( ，m)，则 m 的值为_2答案： 3探究点 1 曲线与方程的概念(1)已知 02，点 P(cos ，sin )在曲线( x2) 2y 23 上，则 的值为( )A B3 53C 或 D 或3 53 3 6(2)“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y )0 的解”是“曲线 C 的方程是 f(x，y)0”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【解析】 (1)将点 P 的坐标代入曲线( x2) 2y 23 中，得(cos 2) 2sin 2 3，解得 cos 又 0 2，所以 或 故选 C12 3 53(2)“曲
4、线 C 的方程是 f(x，y )0”包括“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”和“以方程 f(x，y )0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 ”两个方面，所以“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y )0 的解”是“曲线 C 的方程是 f(x，y )0”的必要不充分条件，故选 C【答案】 (1)C (2)C判定曲线和方程对应关系的两个关注点(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多 ”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“ 解不比点多” ，称为完备性注意 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程 1已知直
5、线 l：x y30 及曲线 C：(x3) 2( y2) 22，则点M(4，1)( )A在直线 l 上，但不在曲线 C 上B在直线 l 上，也在曲线 C 上C不在直线 l 上，但在曲线 C 上D不在直线 l 上，也不在曲线 C 上解析：选 B将点 M 的坐标分别代入直线 l 的方程和曲线 C 的方程，都成立，所以选B2已知坐标满足方程 F(x，y)0 的点都在曲线 C 上，下列命题正确的是 ( )A曲线 C 上的点的坐标都满足方程 F(x，y)0B不在曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 F(x，y)0C坐标不满足方程 F(x，y )0 的点都不在曲线 C 上D曲线 C 是坐标满足方程 F(x，y
6、)0 的点的轨迹解析：选 B因为选项 B 与已知条件互为逆否命题，由原命题与它的逆否命题同真假可知 B 正确故选 B探究点 2 由方程判断曲线(1)如图所示，方程 y 表示的曲线是( )|x|x2(2)方程(xy1) 0 表示的曲线是什么？x 1【解】 (1)选 B因为 y 所以函数值恒为正，且在(，0) 上单调|x|x2 1x，x0， 1x，x0)，只能取第一象限的图象1x探究点 3 求曲线的方程设圆 C：(x1) 2y 21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程【解】 法一：(直接法)设 OQ 为过 O 点的一条弦，P( x，y )为其中点，则 CPOQ因为 OC 的中点为
7、M ，(12，0)连接 MP，故|MP| |OC| ，得方程 y 2 ，由圆的范围知 0x112 12 (x 12)214法二：(定义法)因为OPC90，所以动点 P 在以点 M 为圆心，OC 为直径的圆上(12，0)由圆的方程得 y 2 (0x1)(x 12)2 14法三：(代入法)设所作弦 OQ 的中点 P(x，y)，Q (x1，y 1)，则 x x12，y y12) x1 2x，y1 2y.)又因为点 Q(x1， y1)在圆 C 上，所以(x 11) 2y 1，21所以(2x 1) 2(2y )21，即 y 2 (0x1)(x 12)2 14法四：(参数法)设动弦 OQ 的方程为 ykx
8、 ，代入圆的方程得(x1) 2k 2x21，即(1k 2)x22 x0，所以 x ，y kx ，x1 x22 11 k2 k1 k2消去 k 即可得(2x1) 2(2 y)21，即 y 2 (0x1)(x 12)2 14求曲线的方程的常用方法(1)直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程(2)相关点法(代入法 )有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐
9、标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法(3)定义法若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量(4)参数法在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程 1到坐标原点的距离是到 x 轴距离 2 倍的点的轨迹方程是( )Ay x By x333Cx 2 3y21 D x23y 20解析：选 D设点的坐标为(x，y )，则 2|y|，整理得 x23y 20x2 y22已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动，线段 AB
10、 的中点为M，则 M 点的轨迹方程为_解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM| |AB|3所以 M 的轨迹为以12原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆，故 M 点的轨迹方程为 x2y 29答案：x 2y 293已知点 P 是直线 x2y 30 上的一个动点，定点 M(1，2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM | MQ|，则点 Q 的轨迹方程是_ 解析：设 P(x0，y 0)，则 x02y 030(*)又设 Q(x，y) ，由|PM| |MQ|，知点 M 是线段 PQ 的中点，则 ， 1 x0 x22 y0 y2 )即 (* *)x0 2 xy0 4 y)将(* *)
11、代入(*)，得(2x) 2(4y)30，即 x2y70答案：x2y701下列各组方程表示相同曲线的是( )Ayx 与 y x2By x2 与 y|x |C(x1) 2( y2) 20 与(x1)(y2)0Dy 与 y|x |x2解析：选 DA 中 yx 表示直线，y |x| 表示两条射线；B 中 yx 2表示抛物线，x2y| x|表示两条射线；C 中前者表示一个点，后者表示两条直线 x1 和 y2，故选 D2到两坐标轴距离之和等于 1 的点的轨迹方程是( )Axy1 Bxy1C|x| |y| 1 D |xy|1解析：选 C动点 P(x，y )到 x 轴和 y 轴的距离分别为|y| 和 |x|，
12、故有| x|y|13方程 y 表示的曲线是 ( )3 x2A一个圆 B一条射线C半个圆 D一条直线解析：选 C由 y 可知 y0，方程可化为 x2 y23(y0)，故表示的曲线3 x2是半圆4已知 A(3 ，0) ，B(3，0)，动点 M 满足 1，求点 M 的轨迹方程MA MB 解：设 M(x，y )为所求轨迹上任一点， ( 3x，y)， (3 x，y)MA MB 因为 1，MA MB 所以(3x，y)(3x ， y)1，所以(9x 2)y 21，所以 x2y 28所以点 M 的轨迹方程为 x2y 28知识结构 深化拓展1定义中两个条件的理解(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ，阐明
13、曲线上没有坐标不满足方程的点(纯粹性)(2)“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，阐明符合条件的所有的点都在曲线上，毫无遗漏(完备性) 定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为给定方程的曲线的准则，缺一不可因此，在证明 f(x， y)0 为曲线 C 的方程时，必须证明两个条件同时成立2求动点的轨迹方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：文字语言中的几何条件 数学符号语言中的等式 数 解 析 化 坐 标 化 学符号语言中含动点坐标(x，y)的代数方程 f(x，y)0 简 等 价 变 形 化了的含 x，y 的代数方程 f(x，y)0学生用书 P10
14、3(单独成册)A 基础达标1若方程 x2y 2k 0 与 2xyk0 所表示的两条直线的交点在方程 x2y 29 表示的曲线上，则 k 等于( )A3 B0C2 D一切实数解析：选 A由 得 ，代入 x2y 29 得 k3x 2y 2k 02x y k 0) x 0y k)2方程 x22y 22x 2y 0 表示的曲线是( )32A一个点 B一条直线C一个圆 D两条线段解析：选 A方程可化为(x 1)22(y )20，12所以 即 ，x 1 0y 12 0，) x 1y 12)它表示点(1， )故选 A123设 A 为圆( x1) 2y 21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA| 1，则点
15、P 的轨迹方程是( )A(x 1)2y 22 B(x1) 2y 24Cy 2 2x D y22x解析：选 A设圆(x 1) 2y 21 的圆心为 C，半径为 r，依题意得| PC|2r 2| PA|2，即|PC |2 2，因此点 P 的轨迹方程是(x1) 2y 224方程 x|y1| 0 表示的曲线是( )解析：选 B方程 x|y1| 0 可化为|y1|x 0，则 x0，因此选 B5已知点 A，B 的坐标分别是(1，0) ，(1，0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线AM 与 BM 的斜率之差是 2，则点 M 的轨迹方程是( )Ax 2(y1) Bx 2(y1)( x1)Cxy x21
16、D xyx 21(x1)解析：选 B设 M(x，y)，由题意得 2(x1)，整理得 x21y(x1)，yx 1 yx 1即 x2( y1)( x1) 6在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满足 3，则点OP OA P 的轨迹方程为_解析：由题意 (x ，y )， (1，2) ，则 x2y由 3，得OP OA OP OA OP OA x2y3，即 x2y30答案：x2y307若曲线 y2xy2x k 0 过点( a，a)(aR) ，则 k 的取值范围为_解析：因为曲线 y2xy2x k0 过点( a，a)，所以 a2a 22ak0所以 k2a 22a2 (a 1
17、2)2 12所以 k ，12所以 k 的取值范围是 ( ，12答案： ( ，128若等腰三角形底边的两个顶点是 B(2，1) ，C (0，3)，则另一顶点 A 的轨迹方程是_解析：由题意，知另一顶点 A 在边 BC 的垂直平分线上又 BC 的中点为(1，1)，边 BC 所在直线的斜率 kBC 2，所以边 BC 的垂1 （ 3）2 0直平分线的斜率为 ，垂直平分线的方程为 y1 (x1)，即 x2y1012 12又顶点 A 不在边 BC 上，所以 x1故另一顶点 A 的轨迹方程是 x2y 10( x1)答案：x2y10(x 1)9已知 RtABC 中，C 为直角，且 A(1，0)，B(1 ，0)
18、，求满足条件的 C 的轨迹方程解：因为在 RtABC 中，C 为直角，设线段 AB 的中点为 O，所以点 C 到 AB 的中点的距离为|AB|的一半，即|OC| 1所以点 C 的轨迹是以 O(0，0)为圆心，r1 为半径的圆，故圆的方程为 x2y 21又 A，B，C 三点所连线段构成三角形，可知 x1，所以点 C 的轨迹方程为 x2y 21( x1)10已知两点 M(2，0) 、N(2，0) ，点 P 为坐标平面内的动点，满足 | | | MN MP MN 0，求动点 P(x，y )的轨迹方程NP 解：由题意得 (4，0)， (x2，y )， ( x2，y)MN MP NP 所以| |4， |
19、 | ， 4(x2) MN MP （x 2）2 y2 MN NP 代入| | | 0，MN MP MN NP 得 4 4(x2) 0，（x 2）2 y2即 2x ，（x 2）2 y2化简整理，得 y28x ，故动点 P(x，y)的轨迹方程为 y28xB 能力提升11a、b 为任意实数，若点(a，b) 在曲线 f(x，y) 0 上，则点( b，a)也在曲线 f(x，y)0 上，那么曲线 f(x，y )0 的几何特征是( )A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D关于直线 yx 对称解析：选 D由于点(a，b)和( b，a)关于直线 yx 对称，所以 f(x，y) 0 表示的曲线关
20、于直线 yx 对称，故选 D12在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A(1，0)，B(2， 2)若点 C 满足 t (OC OA )，其中 tR，则点 C 的轨迹方程为_OB OA 解析：设点 C(x，y )，则 (x，y)， t ( )(1t，2t )，所以 消OC OA OB OA x t 1，y 2t. )去参数 t，得点 C 的轨迹方程为 y2x2答案：y2x213已知三角形 ABC 中，AB2，AC BC2(1)求点 C 的轨迹方程；(2)求三角形 ABC 的面积的最大值解：(1)以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(1，0)，B(1， 0)，设
21、C(x，y)，由 AC BC，2得(x3) 2y 2 8，即为点 C 的轨迹方程，所以点 C 的轨迹是以(3，0)为圆心，半径为 2 的圆2(2)由于 AB2，所以 SABC 2|y|y|，12因为(x 3)2y 28，所以|y| 2 ，所以 SABC 2 ，2 2即三角形 ABC 的面积的最大值为 2 214(选做题)如图所示，圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，|O 1O2|4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM，PN (M，N 为切点 )，使得|PM | |PN|试建立平面直角坐标系，并求动点 P2的轨迹方程解：以 O1O2的中点 O 为原点，O 1O2所在直线为 x 轴，O 1O2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，则 O1(2，0) ，O 2(2，0) 由已知|PM| |PN|，2所以|PM| 22|PN |2又因为两圆的半径均为 1，所以|PO 1|21 2(|PO2|21)设 P(x，y)，则(x 2) 2y 21 2(x2) 2y 21，即(x6) 2y 2 33所以所求动点 P 的轨迹方程为(x6) 2y 233