1、2019 年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 Ax| 1x2，Bx|2x0，则集合 AB（ ）A x| 1x0 Bx|1x2 C x|2x0 D x|2x22 （5 分）已知复数 z1+ i（i 是虚数单位） ，则 （ ）A2+2i B22i C2i D2i3 （5 分）已知命题 p：x R，cos x1，则（ ）Ap： xR，cosx1 Bp：xR，cosx1Cp：xR ，cosx1 Dp：xR，cos x14 （5 分）如图的程序
2、框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）Acx Bxc Ccb Dbc5 （5 分）双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C D6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）第 2 页（共 23 页）A5 B6 C7 D87 （5 分）设 x，y 满足 ，则 zx +y（ ）A有最小值 ，最大值B有最小值 ，无最大值C有最小值 ，无最大值D既无最小值，也无最大值8 （5 分）公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a5 是 a3 与
3、 a8 的等比中项，S520，则 S10（ ）A45 B55 C65 D909 （5 分） 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C D10 （5 分）设定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）x 38（x0） ，则 x|f（x2）0（ ）A2，0）2，+） B （22 ，+ ）C0，2）4，+） D0，2 4，+）11 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PA
4、，PB，PC 两两垂直，且长度相等若点第 3 页（共 23 页）P，A，B，C 都在半径为 1 的球面上，则球心到平面 ABC 的距离为（ ）A B C D12 （5 分）函数 f（x ）x 2+3xa，g（x）2 xx 2，若 fg（x） 0 对 x0，1恒成立，则实数 a 的范围是（ ）A （，2 B （，e C （，ln2 D0 ， ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，m ） ， （1，2） ，若（ ） ，则 m 14 （5 分）将函数 f（x ）sin cos 的图象向右平移
5、 个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是 15 （5 分）已知抛物线 yax 2 的准线与圆 x2+y26y70 相切，则 a 的值为 16 （5 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和，若 Sn（1） nan ，则 S1+S2+S11 三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a4，b2 ，B2A（）求 sinA 的值；（）求 c 的值18 （12 分）某调查机构对某校学
6、生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩” ，现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，统计情况如表：同意 不同意 合计男生 a 5女生 40 d合计 100（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；第 4 页（共 23 页）（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X的分布列及数学期望附：P（k
7、 2k 0） 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519 （12 分）如图，在正三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAA 1，E，F 分别是 AC，A 1B1 的中点（）证明：EF平面 BCC1B1；（）点 M 在 CC1 上，若 A1EBM，求二面角 BFM E 的余弦值20 （12 分）椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 C 的长轴，短轴端点的一条直线方程是 x+ y20（）求椭圆 C 的方程；（）过点 P（0，2）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若点 B 关于 y 轴的对称点为B，证明直线
8、AB过定点21 （12 分）已知函数 f（x ）xln（x+1）ax 2（a1） （）若曲线 yf（x）在点 xe1 处的切线与直线 x ey0 平行，求 a 的值；（）是否存在 a 使得 f（x ）仅有一个极值点？若存在求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为第 5 页（共 23 页）2a
9、cos（a 0） （）求圆 C 的直角坐标方程；（）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，点 P（ ，0） ，且| PA|+|PB| ，求 a 的值23已知函数 f（x ）|x +3| x1|（）求函数 f（x ）的值域；（）若对xR，f（x ）| xa|恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 Ax| 1x2，Bx|2x0，则集合 AB（ ）A x| 1x0 Bx|1x2 C x|
10、2x0 D x|2x2【分析】进行并集的运算即可【解答】解：Ax| 1x2，Bx|2x0；ABx| 2x 2故选：D【点评】考查描述法的定义，以及并集的运算2 （5 分）已知复数 z1+ i（i 是虚数单位） ，则 （ ）A2+2i B22i C2i D2i【分析】把 z1+ i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z1+ i， 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3 （5 分）已知命题 p：x R，cos x1，则（ ）Ap： xR，cosx1 Bp：xR，cosx1Cp：xR ，cosx1 Dp：xR，cos x1【分
11、析】本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可【解答】解：命题 p：x R，cos x1，是一个全称命题p： xR，cosx 1，故选：D【点评】本题考查了“含有量词的命题的否定” ，属于基础题解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写第 7 页（共 23 页）4 （5 分）如图的程序框图，如果输入三个实数 a，b，c 要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）Acx Bxc Ccb Dbc【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最
12、大数，因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量 XC【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小，条件成立时，保存最大值的变量 XC故选：A【点评】本题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于基础题5 （5 分）双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C D【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为
13、1，其焦点坐标为（3，0） ，其渐近线方程为 y x，即 xy0，第 8 页（共 23 页）则其焦点到渐近线的距离 d ；故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为 1 的正方体，正方体的边长为 2，三棱锥的三个侧棱长为 1，则该几何体的体积 V2221117，故选：C【点评】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键
14、7 （5 分）设 x，y 满足 ，则 zx +y（ ）第 9 页（共 23 页）A有最小值 ，最大值B有最小值 ，无最大值C有最小值 ，无最大值D既无最小值，也无最大值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数zx+y 的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 zx +y 得 yx +z，平移直线 yx+z，由图象可知当直线 yx +z 经过点 C 时，直线 yx+z 的截距最小，此时 z 最小由 ，解得 C（ ， ） ，代入目标函数 zx+y 得 z 即目标函数 zx+y 的最小值为 无最大故选：B【点评】本题主要考查线性规
15、划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法第 10 页（共 23 页）8 （5 分）公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a5 是 a3 与 a8 的等比中项，S520，则 S10（ ）A45 B55 C65 D90【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d0，a 5 是 a3 与 a8 的等比中项，S 520， （a 1+2d） （a 1+7d） ，5a 1+ d20，联立解得：a 12，d1则 S10102+ 165故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式
16、与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分） 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A B C D【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案【解答】解：直角三角形的斜边长为 ，设内切圆的半径为 r，则 5r+12r13，解得 r2内切圆的面积为 r24 ，豆子落在内切圆外部的概率 P1 1 ，故选：C【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题第 11 页（
17、共 23 页）10 （5 分）设定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）x 38（x0） ，则 x|f（x2）0（ ）A2，0）2，+） B （22 ，+ ）C0，2）4，+） D0，2 4，+）【分析】根据条件可得出 f（ 0）f （2）f（2）0，并得出 f（x）在（0，+） ，（，0）上都是增函数，从而可讨论 x 与 2 的关系：x2 时，显然满足 f（x2）0；x2 时，可得出 f（x2）f（2） ，从而得出 x4；x2 时，可得出 f（x2）f（2） ，从而得出 0x 2，最后即可得出不等式 f（ x2）0 的解集【解答】解：f（x ）是 R 上的奇函数，且 x0
18、时，f （x）x 38；f（0）f（2）f（2）0，且 f（x）在（0，+） ， （，0）上都单调递增；x2 时，满足 f（x 2）0；x2 时，由 f（x 2）0 得，f（x2）f （2） ；x22；x4；x2 时，由 f（x 2）0 得，f（x2）f （2） ；x22；x0；0x2；综上得，f（x 2）0 的解集为0 ，24，+ ） 故选：D【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性相同，以及增函数的定义，清楚 yx 3 的单调性11 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等若点P，A ，B，C 都在半径为 1 的球面上，则球心到平面 ABC 的
19、距离为（ ）A B C D【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且长度相等，第 12 页（共 23 页）此三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O，球 O 的半径为 1，正方体的边长为 ，即 PAPBPC ，球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离，设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 PABC 的体积 V SABC h SPABPC ，ABC 为边长为
20、 的正三角形，S ABC ，h ，球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为 故选：C【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题12 （5 分）函数 f（x ）x 2+3xa，g（x）2 xx 2，若 fg（x） 0 对 x0，1恒成立，则实数 a 的范围是（ ）A （，2 B （，e C （，ln2 D0 ， ）【分析】利用导数可得 g（x）在 x0，1 上的取值范围为 1，g（x 0），其中 g（x 0）2，令 tg（x ）换元，把 fg（x）0 对 x0，1恒成立转化为
21、t 2+3ta0 对t1，g（x 0）恒成立，分离参数 a 后利用函数单调性求出函数t 2+3t 的最小值得答案【解答】解：g（x）2 xx 2，g（x）2 xln22x，g（0）ln20，g（ 1）2ln 220，g（x）在（0，1）上有零点，又g（x） ln 222x2 0 在0 ，1上成立，g（x）在（0，1）上有唯一零点，设为 x0，则当 x（0，x 0）时，g（x）0，当 x（x 0，1）时，g（x）0，g（x）在 x0，1上有最大值 g（x 0）2，又 g（0）g（1）1，第 13 页（共 23 页）g（x）1 ， g（x 0），令 tg（x）1，g（x 0），要使 fg（x）0
22、对 x0，1恒成立，则f（t）0 对 t1，g（x 0）恒成立，即t 2+3ta0 对 t1，g（x 0） 恒成立，分离 a，得 at 2+3t，函数t 2+3t 的对称轴为 t ，又 g（x 0）2，（t 2+3t） min2，则 a2则实数 a 的范围是（，2故选：A【点评】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知向量 （1，2） ， （2，m ） ， （1，2） ，若（ ） ，则 m 4 【分析】由已知求得 的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解 m 值【解
23、答】解： （1，2） ， （2，m ） ， ，又 （1，2） ，且（ ） ，12+（m 2）0，即 m4故答案为：4【点评】本题考查向量的坐标加法运算，考查向量故选的坐标表示，是基础题14 （5 分）将函数 f（x ）sin cos 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是 4k ，2 +4k（k Z） 【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性得出结论【解答】解：将函数 f（x ）sin cos 2sin（ ）的图象向右平移 个第 14 页（共 23 页）单位后，得到的图象对应函数的解析式为 y2sin （ ）2cos ，令 2k 2 k+，求得
24、 4kx2 +4k，可得所得函数的单调递增区间为4k，2+4k ，kZ，故答案为：4k，2 +4k，k Z【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于基础题15 （5 分）已知抛物线 yax 2 的准线与圆 x2+y26y70 相切，则 a 的值为 或 【分析】先表示出准线方程，然后抛物线 yax 2 的准线与圆 x2+y26y 70 相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到 p 的值【解答】解：抛物线 yax 2，即 x2 y，准线方程为 y ，因为抛物线 x2 y 的准线与圆 x2+（y3） 216 相切，当 a0 时，3+ 4，解得 a ，
25、当 a0 时， 34，解得 a ，故答案为： 或 【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径16 （5 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和，若 Sn（1） nan ，则 S1+S2+S11 【分析】运用数列的递推式，讨论 n 为奇数或偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和【解答】解：S n（1） nan ，当 n1 时，a 1S 1a 1+ ，解得 a1 ，n2 时，a nS nS n1 ，可得 Sn（1） n（S nS n1 ） ，第 15 页（共 23 页）当 n 为偶数时，S nS nS n1 ，即有 Sn1 ；当 n
26、 为奇数（n3）时，S n（S nS n1 ） ，可得 Sn1 2S n 2 0，即有 S1+S2+S11 +0+ +0+ +0+ 故答案为： 【点评】本题考查数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题三、解答题：第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a4，b2 ，B2A（）求 sinA 的值；（）求 c 的值【分析】 （）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求 cosA 的值，根据同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值（）由
27、已知利用余弦定理可得 c26c+80，即可解得 c 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（）a4，b2 ，B2AsinBsin2A2sinAcosA，cosA ，sinA 6 分（）由余弦定理 a2b 2+c22bccosA，可得：1624+c 22 ，可得：c26c+80，解得：c2 或 c4（舍去）12 分第 16 页（共 23 页）【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题18 （12 分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生，
28、调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩” ，现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，统计情况如表：同意 不同意 合计男生 a 5女生 40 d合计 100（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X的分布列及数学期望附：P（k 2k 0） 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.0
29、24 6.635【分析】 （1）根据题意求出 a、d 的值，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量 X 服从二项分布，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：（1）因为 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，所以 a604020，d40535；由列联表可得 K2 5.024；而 P（K 25.024）2.5%，所以有 97.5%的把握认为是否同意父母生 “二孩”与“性别”有关；（2）由题意知持“同意”态度的学生的频率为 ，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为 ，由于总体容量很大，第 17 页（共 23 页）故 X 服从二项分布，即 XB（4，
30、） ，P （Xk ） ，k 0，1，2，3，4；从而 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4PX 的数学期望为 E（X ）4 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了列联表与独立性检验的应用问题，是中档题19 （12 分）如图，在正三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAA 1，E，F 分别是 AC，A 1B1 的中点（）证明：EF平面 BCC1B1；（）点 M 在 CC1 上，若 A1EBM，求二面角 BFM E 的余弦值【分析】 （）连结 EN，FN，则 NEBC，FN B 1B，从而平面 EFN平面 B1BCC1，由此能证明 EF平面 BCC1B1（）以 E
31、为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，EF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 BFME 的余弦值【解答】证明：（）如图，连结 EN，FN ，则 NEBC，FNB 1B，NEFNN，BCB 1BB，平面 EFN平面 B1BCC1，EF 平面 EFN，EF平面 BCC1B1解：（）以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，EF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，第 18 页（共 23 页）不妨设 AB2，则 B（ ，0，0） ，F（ ） ，A 1（0，1，2） ，E（0，0，0） ，设 M（0，1，a） ，则 （ 0，1，2） ， （ ，1，a） ，（ ， ，2
32、） ，A 1EBM， 12a0，解得 a ，M （0，1， ） ，设平面 BFM 的法向量为 （x ，y，z） ，则 ，取 z4，得 （3 ，7，4） ，同理可得平面 MEF 的法向量为 （3 ，1，2） ，cos 二面角 BFM E 的余弦值为 【点评】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20 （12 分）椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 C 的长轴，短轴端点的一条直线方程是 x+ y20（）求椭圆 C 的方程；（）过点 P（0，2）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若点 B 关
33、于 y 轴的对称点为B，证明直线 AB过定点第 19 页（共 23 页）【分析】 （）对于 x+ y20，当 x0 时，y ，即 b ，当 y0，x2，即 a2，再写出椭圆的方程；（）设直线 AB：y kx+2 ， （k0） ，设 A，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 B（x 2， y2） ，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线 AB过定点 Q（0，1） ，【解答】解：（）对于 x+ y20，当 x0 时，y ，即 b ，当y0，x2，即 a2，椭圆的方程为 + 1，（）证明：设直线 AB：y kx+2， （k0） ，设 A，B 两点的坐标分别为
34、（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 B （x 2，y 2） ，联立直线 AB 与椭圆得 ，得（1+2k 2）x 2+8kx+40，64k 28（1+2k 2）0，解得 k2x 1+x2 ，x 1x2 ，k AB ，直线 AB：y y 1 （xx 1） ，令 x0，得 y +22k+21+2 1，直线 AB过定点 Q（0，1 ） ，【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题第 20 页（共 23 页）21 （12 分）已知函数 f（x ）xln（x+1）ax 2（a1） （）若曲线 yf（x）在点 xe1 处的切线与直线
35、 x ey0 平行，求 a 的值；（）是否存在 a 使得 f（x ）仅有一个极值点？若存在求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由【分析】 （）先求导，根据导数的几何意义即可求出 a 的值，（）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出【解答】解：（）f（x ）ln （x+1）+ 2ax，f（e1） 2 2a（e1） ，曲线 yf（x）在点 xe 1 处的切线与直线 xey0 平行，2 2a（e1） ，解得 a （）f（x ）ln（x +1） + 2ax，x 1，f（0）0，且 f（x） + 2a，当 a0 时，f（x ）0，f（x）单调递增，又 f（0 ）0，当1x0，f（0）
36、0，函数 f（x）单调递减，当 x0，f（ 0）0，函数 f（x）单调递增，故函数 f（x）仅有一个极小值点 x0，当 a0，设 t，则 + t 2+t， （t 0）当1x0 时，t1，此时 t2+t2，当 x0 时，0t1，此时 t2+t2，当 a1 时，f（x ）0，此时 t1，x0，当1x0，f（x）0，函数 f（x ）单调递减，当 x0，f （x）0，函数 f（x ）单调递减，f（x）f（0）0，f（x）在（ 1，+）单调递减，f（x）无极值，当 0a1 时，f（x ）0 存在唯一的实数根 x0，且 x00，当1xx 0，f（x）0，函数 f（x）单调递减，第 21 页（共 23 页）
37、当 xx 0，f（x）0，函数 f（x）单调递减，f（0）0，0 为 f（x）一个极值点，f（ 1）2lna+1a 22a（ ）2lna+1a 2 +2alnaln（a） 2a+ +2 +22a（22a ） （ +1）0，ln（a）单调递增，f（ 1）ln（a）ln10，f（x）存在零点 x1，且 x1 为 f（x）的极值点，当 0a1 时，f（x ）有两个极值点综上所述 a0【点评】本题考查了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，函数与方程的思想，属于难题选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分作答时用
38、 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为2acos （a 0） （）求圆 C 的直角坐标方程；（）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，点 P（ ，0） ，且| PA|+|PB| ，求 a 的值【分析】 （）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（）首先把直线的参数式转换为标准式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出 a 的值【解答】解：（）圆 C 的极坐标方程为 2acos（a 0
39、） 转换为直角坐标方程为：x 2+y22ax 0第 22 页（共 23 页）（）把直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，转换为标准形式为： （t 为参数） ，代入 x2+y22ax0，得到： ，所以： （t 1 和 t2 为 A、B 对应的参数） ，由于 a0，所以：|PA|+|PB|t 1+t2| ，即： ，解得：a1【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23已知函数 f（x ）|x +3| x1|（）求函数 f（x ）的值域；（）若对xR，f（x ）| xa|恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （）分 3 段去绝对值，分段求值域再相并；（）利用 yf（x）的图象恒在 y| a|的下方可得 a 【解答】解：（）f（x ）f（x）的值域是 4，4（）如图所示 a 第 23 页（共 23 页）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题