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2019年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2019 年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若集合 Ax| 1x2,Bx|2x0,则集合 AB(  )A x| 1x0 Bx|1x2 C x|2x2 D x|2x12 (5 分)已知复数 z1+ i(i 是虚数单位) ,则 (   )A2+2i B22i C2i D2i3 (5 分)已知命题 p:x R,cos x1,则(  )Ap: xR,cosx1 Bp:xR,cosx1Cp:xR ,cosx1 Dp:xR,cos x14 (5 分)如图的程序

2、框图,如果输入三个实数 a,b,c 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的(  )Acx Bxc Ccb Dbc5 (5 分)双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为(  )A B C D6 (5 分)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(  )第 2 页(共 22 页)A5 B6 C7 D87 (5 分)设 x,y 满足 ,则 zx +y(  )A有最小值 ,最大值B有最小值 ,无最大值C有最小值 ,无最大值D既无最小值,也无最大值8 (5 分)公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a5 是 a3 与

3、 a8 的等比中项,S520,则 S10(  )A45 B55 C65 D909 (5 分) 史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事 “田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马 ”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为(  )A B C D10 (5 分)设定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)x 38(x0) ,则 x|f(x2)0(  )A2,0)2,+) B (22 ,+ )C0,2)4,+) D0,2 4,+)第 3 页(共 22 页)11 (5

4、 分)已知三棱锥 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且长度相等若点P,A ,B,C 都在半径为 1 的球面上,则球心到平面 ABC 的距离为(  )A B C D12 (5 分)函数 f(x )x 2+3xa,g(x)2 xx 2,若 fg(x) 0 对 x0,1恒成立,则实数 a 的范围是(  )A (,2 B (,e C (,ln2 D0 , )二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13 (5 分)已知向量 (1,2) , (2,m ) , (1,2) ,若( ) ,则 m     14 (5 分)将函数 f(x )sinx cosx

5、 的图象向左平移 个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是     15 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆 x2+y26x 70 相切,则 p 的值为      16 (5 分)已知数列a n和b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且an0,4S na n2+2an3, (n N*)b n ,若对任意的 nN*,kT n恒成立,则 k 的最小值为     三、解答题:第 1721 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C

6、 的对边分别是 a,b,c,且a4,b2 ,B2A()求 sinA 的值;()求 c 的值18 (12 分)如图,在正三棱柱 A1B1C1ABC 中,ABAA 1,E,F 分别是 AC,A 1B1 的中点()证明:EF平面 BCC1B1;()若 AB2,求点 A 到平面 BEF 的距离第 4 页(共 22 页)19 (12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:万元)对年销售量 y(单位:吨)和年利润 z(单位:万元)的影响对近六年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i1, 2,3,4,5,6)的数据作了初步统计,得到如下数据:年份 2013 2014 201

7、5 2016 2017 2018年宣传费 x(万元) 38 48 58 68 78 88年销售量 y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5经电脑模拟,发现年宣传费 x(万元)与年销售量 y(吨)之间近似满足关系式yax b(a,b0) 对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:75.3 24.6 18.3 101.4(1)根据所给数据,求 y 关于 x 的回归方程;(2)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z y x 若想在 2019 年达到年利润最大,请预测 2019 年的宣传费用是多少万元?附:对于一组数据(u l,v 1) , (u 2,v 2)

8、, (u n,v n) ,其回归直线 v u+a 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ,20 (12 分)椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,过 C 的长轴,短轴端点的一条直线方程是 x+ y20()求椭圆 C 的方程;()过点 P(0,2)作直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若点 B 关于 y 轴的对称点为B,证明直线 AB过定点第 5 页(共 22 页)21 (12 分)已知函数 f(x )xlnx+ax 2()若 yf( x)的图象在点 x1 处的切线与直线 x+y0 平行,求 a 的值;()若 a0,讨论 f(x )的零点个数选考题:共 10 分,请考生在 22、23 两题中任

9、选一题作答,如果多做,则按所做的第题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为2acos (a 0) ()求圆 C 的直角坐标方程;()若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,点 P( ,0) ,且| PA|+|PB| ,求 a 的值23已知函数 f(x )|x +3| x1|()求函数 f(x )的值域;()若对xR,f(x )| xa|恒成立,求 a 的取值范围第 6 页(共 22 页)2019 年新疆乌鲁木齐市高

10、考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1 (5 分)若集合 Ax| 1x2,Bx|2x0,则集合 AB(  )A x| 1x0 Bx|1x2 C x|2x2 D x|2x1【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解:Ax| 1x2,Bx|2x0,ABx|1 x2x| 2x0x|1x0故选:A【点评】本题考查交集及其运算,是基础的概念题2 (5 分)已知复数 z1+ i(i 是虚数单位) ,则 (   )A2+2i B22i C2i D2i【分析】把 z1+ i 代入 ,再由复数

11、代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:z1+ i, 故选:B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题3 (5 分)已知命题 p:x R,cos x1,则(  )Ap: xR,cosx1 Bp:xR,cosx1Cp:xR ,cosx1 Dp:xR,cos x1【分析】本题中所给的命题是一个全称命题,故其否定是一个特称命题,将量词改为存在量词,否定结论即可【解答】解:命题 p:x R,cos x1,是一个全称命题p: xR,cosx 1,故选:D【点评】本题考查了“含有量词的命题的否定” ,属于基础题解决的关键是看准量词的形式,根据公式合理更改,同时注意符号的书写第 7

12、页(共 22 页)4 (5 分)如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的(  )Acx Bxc Ccb Dbc【分析】根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用,由于该题的目的是选择最大数,因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小,故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小,而且条件成立时,保存最大值的变量 XC【解答】解:由流程图可知:第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小,故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小,条件成立时,保存最大值的变量 XC故选:A

13、【点评】本题主要考察了程序框图和算法,是一种常见的题型,属于基础题5 (5 分)双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为(  )A B C D【分析】根据题意,由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程,由点到直线的距离公式计算可得答案【解答】解:根据题意,双曲线的方程为 1,其焦点坐标为(3,0) ,其渐近线方程为 y x,即 xy0,第 8 页(共 22 页)则其焦点到渐近线的距离 d ;故选:D【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标6 (5 分)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(  )A5 B6 C7 D8【分析】根据三视图

14、得到几何体的直观图,利用直观图即可求出对应的体积【解答】解:由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为 1 的正方体,正方体的边长为 2,三棱锥的三个侧棱长为 1,则该几何体的体积 V2221117,故选:C【点评】本题主要考查三视图的应用,利用三视图还原成直观图是解决本题的关键7 (5 分)设 x,y 满足 ,则 zx +y(  )第 9 页(共 22 页)A有最小值 ,最大值B有最小值 ,无最大值C有最小值 ,无最大值D既无最小值,也无最大值【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数zx+y 的最小值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:

15、(阴影部分) 由 zx +y 得 yx +z,平移直线 yx+z,由图象可知当直线 yx +z 经过点 C 时,直线 yx+z 的截距最小,此时 z 最小由 ,解得 C( , ) ,代入目标函数 zx+y 得 z 即目标函数 zx+y 的最小值为 无最大故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法第 10 页(共 22 页)8 (5 分)公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a5 是 a3 与 a8 的等比中项,S520,则 S10(  )A45 B55 C65 D90【分析】利用等差数列与等比数列

16、的通项公式与求和公式即可得出【解答】解:设等差数列a n的公差为 d0,a 5 是 a3 与 a8 的等比中项,S 520, (a 1+2d) (a 1+7d) ,5a 1+ d20,联立解得:a 12,d1则 S10102+ 165故选:C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9 (5 分) 史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事 “田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马 ”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为(  )A

17、 B C D【分析】根据题意,设齐王的上,中,下三个等次的马分别为 a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别为记为 A,B,C ,用列举法列举齐王与田忌赛马的情况,进而可得田忌胜出的情况数目,进而由等可能事件的概率计算可得答案【解答】解:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为 a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别为记为 A,B,C ,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb ,Cc,根据题设其中 Ab,Ac,Bc 是胜局共三种可能,则田忌获胜的概率为 ,故选:A【点评】本题考查等可能事件的概率,涉及用列举法列举基本事件,注意按一

18、定的顺序,做到不重不漏第 11 页(共 22 页)10 (5 分)设定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)x 38(x0) ,则 x|f(x2)0(  )A2,0)2,+) B (22 ,+ )C0,2)4,+) D0,2 4,+)【分析】根据条件可得出 f( 0)f (2)f(2)0,并得出 f(x)在(0,+) ,(,0)上都是增函数,从而可讨论 x 与 2 的关系:x2 时,显然满足 f(x2)0;x2 时,可得出 f(x2)f(2) ,从而得出 x4;x2 时,可得出 f(x2)f(2) ,从而得出 0x 2,最后即可得出不等式 f( x2)0 的解集【解答】解:f(

19、x )是 R 上的奇函数,且 x0 时,f (x)x 38;f(0)f(2)f(2)0,且 f(x)在(0,+) , (,0)上都单调递增;x2 时,满足 f(x 2)0;x2 时,由 f(x 2)0 得,f(x2)f (2) ;x22;x4;x2 时,由 f(x 2)0 得,f(x2)f (2) ;x22;x0;0x2;综上得,f(x 2)0 的解集为0 ,24,+ ) 故选:D【点评】考查奇函数的定义,奇函数在对称区间上的单调性相同,以及增函数的定义,清楚 yx 3 的单调性11 (5 分)已知三棱锥 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且长度相等若点P,A ,B,C 都在半径为 1

20、 的球面上,则球心到平面 ABC 的距离为(  )A B C D【分析】先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将所求距离转化为正方体中,中心到截面的距离问题,利用等体积法可实现此计算【解答】解:三棱锥 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且长度相等,第 12 页(共 22 页)此三棱锥的外接球即以 PA,PB,PC 为三边的正方体的外接球 O,球 O 的半径为 1,正方体的边长为 ,即 PAPBPC ,球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离,设 P 到截面 ABC 的距离为 h,则正三棱锥 PABC 的体积 V SABC

21、h SPABPC ,ABC 为边长为 的正三角形,S ABC ,h ,球心(即正方体中心)O 到截面 ABC 的距离为 故选:C【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化,棱柱的几何特征,球的几何特征,点到面的距离问题的解决技巧,有一定难度,属中档题12 (5 分)函数 f(x )x 2+3xa,g(x)2 xx 2,若 fg(x) 0 对 x0,1恒成立,则实数 a 的范围是(  )A (,2 B (,e C (,ln2 D0 , )【分析】利用导数可得 g(x)在 x0,1 上的取值范围为 1,g(x 0),其中 g(x 0)2,令 tg(x )换元,把 f

22、g(x)0 对 x0,1恒成立转化为t 2+3ta0 对t1,g(x 0)恒成立,分离参数 a 后利用函数单调性求出函数t 2+3t 的最小值得答案【解答】解:g(x)2 xx 2,g(x)2 xln22x,g(0)ln20,g( 1)2ln 220,g(x)在(0,1)上有零点,又g(x) ln 222x2 0 在0 ,1上成立,g(x)在(0,1)上有唯一零点,设为 x0,则当 x(0,x 0)时,g(x)0,当 x(x 0,1)时,g(x)0,g(x)在 x0,1上有最大值 g(x 0)2,又 g(0)g(1)1,第 13 页(共 22 页)g(x)1 , g(x 0),令 tg(x)1

23、,g(x 0),要使 fg(x)0 对 x0,1恒成立,则f(t)0 对 t1,g(x 0)恒成立,即t 2+3ta0 对 t1,g(x 0) 恒成立,分离 a,得 at 2+3t,函数t 2+3t 的对称轴为 t ,又 g(x 0)2,(t 2+3t) min2,则 a2则实数 a 的范围是(,2故选:A【点评】本题考查函数恒成立问题,训练了利用导数研究函数的单调性,考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题,属中档题二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13 (5 分)已知向量 (1,2) , (2,m ) , (1,2) ,若( ) ,则 m 4 【分析】由已知求得 的坐标,再由向

24、量共线的坐标运算列式求解 m 值【解答】解: (1,2) , (2,m ) , ,又 (1,2) ,且( ) ,12+(m 2)0,即 m4故答案为:4【点评】本题考查向量的坐标加法运算,考查向量故选的坐标表示,是基础题14 (5 分)将函数 f(x )sinx cosx 的图象向左平移 个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是 +2k, +2k,kZ   【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式,再利用函数 yAsin(x+)的图象变换规律求得平移后得到的图象对应函数的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论第 14 页(共 22 页)【解答】解:将函数 f(x )sinx

25、 cosx2sin (x )的图象向左平移 个单位后,得到的图象对应函数的解析式为 y2sin x,它的单调递增区间是 +2k, +2k,kZ,故答案为: +2k, +2k,kZ【点评】本题主要考查两角和差的三角公式,函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题15 (5 分)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆 x2+y26x 70 相切,则 p 的值为 14 【分析】先表示出准线方程,然后根据抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2+y216 相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到 p 的值【解答】解:抛物线 y22px(p0)的准线方程为 x ,

26、因为抛物线 y22px (p0)的准线与圆(x 3) 2+y216 相切,所以 34,解得 p14故答案为:14【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系,理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径16 (5 分)已知数列a n和b n的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且an0,4S na n2+2an3, (n N*)b n ,若对任意的 nN*,kT n恒成立,则 k 的最小值为    【分析】根据递推公式求出a n的通项公式,利用裂项法求 Tn,从而得出 k 的最小值【解答】解:a n0,4S na n2+2an3,可得 4a14S 1a 12+2a

27、13,解得 a13,当 n2 时,4a n4S n4S n1 a n2+2an3a n1 22a n1 +3,化为 2(a n+an1 )(a n+an1 ) (a na n1 ) ,由 an0,可得 ana n1 2,第 15 页(共 22 页)即有 an3+2(n1)2n+1,bn ( ) ,即有 Tn (1 + + ) (1 ) ,对任意的 nN*,kT n 恒成立,可得 k ,即 k 的最小值为 故答案为: 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式,考查数列的裂项相消求和,以及不等式恒成立问题解法,属于中档题三、解答题:第 1721 题每题 12 分,解答应在答卷的相

28、应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且a4,b2 ,B2A()求 sinA 的值;()求 c 的值【分析】 ()由已知利用二倍角公式,正弦定理可求 cosA 的值,根据同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值()由已知利用余弦定理可得 c26c+80,即可解得 c 的值【解答】 (本题满分为 12 分)解:()a4,b2 ,B2AsinBsin2A2sinAcosA,cosA ,sinA 6 分()由余弦定理 a2b 2+c22bccosA,可得:1624+c 22 ,可得:c26c+80,解得:c2 或 c4(舍

29、去)12 分【点评】本题主要考查了二倍角公式,正弦定理,同角三角函数基本关系式,余弦定理第 16 页(共 22 页)在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题18 (12 分)如图,在正三棱柱 A1B1C1ABC 中,ABAA 1,E,F 分别是 AC,A 1B1 的中点()证明:EF平面 BCC1B1;()若 AB2,求点 A 到平面 BEF 的距离【分析】 ()取 AB 中点 M,连结 EM,FM,则 MEBC,FMBB 1,从而平面EFM 平面 BCC1B1,由此能证明 EF平面 BCC1B1;()连结 AF,设点 A 到平面 BEF 的距离为 h,由 VEABF F ABEF

30、,能求出点 A 到平面 BEF 的距离【解答】证明:()取 AB 中点 M,连结 EM,FM,则 MEBC,FMBB 1,MEFMM,BCBB 1B,平面 EFM 平面 BCC1B1,EF 平面 EFM,EF 平面 BCC1B1;解:()连结 AF,设点 A 到平面 BEF 的距离为 h,V EABF F ABEF , ,解得 h ,点 A 到平面 BEF 的距离为 【点评】本题考查线面平面的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线第 17 页(共 22 页)面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题19 (12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品

31、的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:万元)对年销售量 y(单位:吨)和年利润 z(单位:万元)的影响对近六年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i1, 2,3,4,5,6)的数据作了初步统计,得到如下数据:年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018年宣传费 x(万元) 38 48 58 68 78 88年销售量 y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5经电脑模拟,发现年宣传费 x(万元)与年销售量 y(吨)之间近似满足关系式yax b(a,b0) 对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:75.3 24.6 18.3 101.4(1)根据所给数

32、据,求 y 关于 x 的回归方程;(2)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z y x 若想在 2019 年达到年利润最大,请预测 2019 年的宣传费用是多少万元?附:对于一组数据(u l,v 1) , (u 2,v 2) , (u n,v n) ,其回归直线 v u+a 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ,【分析】 (1)对 yax b 两边取对数得 lnylna+blnx,令 uilnx i,v ilny i,得vlna+bu,求出 u 关于 v 的线性回归方程,得出 y 关于 x 的回归方程;(2)写出年利润 z 的预测值函数 ,利用函数的性质求出 x 为何值时 取得最大

33、值即可【解答】解:(1)对 yax b, (a0,b0) ,两边取对数得 lnylna+blnx,令 uilnx i,v ilny i,得 vlna+bu,第 18 页(共 22 页)由题目中的数据,计算 4.1, 3.05,且 (u ivi) (lnx ilnyi)75.3, 101.4;则 ,lna ln 3.05 4.11,得出 e,所以 y 关于 x 的回归方程是 e ;(2)由题意知这种产品的年利润 z 的预测值为 y xe x (x14 ) +7e,所以当 7 ,即 x98 时, 取得最大值,即当 2019 年的年宣传费用是 98 万元时,年利润有最大值【点评】本题考查了函数模型的

34、应用问题,也考查了线性回归方程的计算问题,是难题20 (12 分)椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,过 C 的长轴,短轴端点的一条直线方程是 x+ y20()求椭圆 C 的方程;()过点 P(0,2)作直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若点 B 关于 y 轴的对称点为B,证明直线 AB过定点【分析】 ()对于 x+ y20,当 x0 时,y ,即 b ,当 y0,x2,即 a2,再写出椭圆的方程;()设直线 AB:y kx+2 , (k0) ,设 A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1) , (x 2,y 2) ,则 B(x 2, y2) ,代入椭圆方程,即根据韦达定理,直线方程,

35、求出直线 AB过定点 Q(0,1) ,第 19 页(共 22 页)【解答】解:()对于 x+ y20,当 x0 时,y ,即 b ,当y0,x2,即 a2,椭圆的方程为 + 1,()证明:设直线 AB:y kx+2, (k0) ,设 A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1) , (x 2,y 2) ,则 B (x 2,y 2) ,联立直线 AB 与椭圆得 ,得(1+2k 2)x 2+8kx+40,64k 28(1+2k 2)0,解得 k2x 1+x2 ,x 1x2 ,k AB ,直线 AB:y y 1 (xx 1) ,令 x0,得 y +22k+21+2 1,直线 AB过定点 Q(0,1 )

36、 ,【点评】本题考查椭圆的定义,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题21 (12 分)已知函数 f(x )xlnx+ax 2()若 yf( x)的图象在点 x1 处的切线与直线 x+y0 平行,求 a 的值;()若 a0,讨论 f(x )的零点个数【分析】 ()求得 f(x )的导数,可得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,可得 a 的值;()讨论 a0,由 f(x )0,可得 x1;a0 时,由 f(x)0,可得第 20 页(共 22 页)a ,x0,设 g(x ) ,求得导数和单调性、极值和最值,画出图象,即可得到所求零点个数【解答】解:()函

37、数 f( x)xlnx+ax 2,导数为 f(x) 1+lnx+2ax,x0,图象在点 x1 处的切线斜率为 1+2a,由切线与直线 x+y0 平行,可得 1+2a1,解得 a1;()若 a0,可得 f(x )xlnx,由 f(x)0,可得 x1(0 舍去) ,即 f(x )的零点个数为 1;若 a0,由 f(x )0,即为 lnx+ax0,可得a ,x0,设 g(x) ,g(x ) ,当 xe 时,g(x )0,g (x)递减;当 0xe 时, g(x)0,g(x)递增,可得 xe 处 g(x )取得极大值,且为最大值 ,g(x)的图象如右图:由 a0,即a0,可得 ya 和 yg(x )的

38、图象只有一个交点,即 a0 时,f(x )的零点个数为 1,综上可得 f(x)在 a0 的零点个数为 1【点评】本题考查函数的导数的运用:求切线方程和单调性、极值和最值,考查函数的零点个数问题,注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想,考查运算能力,属于中档题选考题:共 10 分,请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑第 21 页(共 22 页)22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为2aco

39、s (a 0) ()求圆 C 的直角坐标方程;()若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,点 P( ,0) ,且| PA|+|PB| ,求 a 的值【分析】 ()直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换()首先把直线的参数式转换为标准式,进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系,进一步求出 a 的值【解答】解:()圆 C 的极坐标方程为 2acos(a 0) 转换为直角坐标方程为:x 2+y22ax 0()把直线 l 的参数方程 (t 为参数) ,转换为标准形式为: (t 为参数) ,代入 x2+y22ax0,得到: ,所以: (t 1 和 t2 为 A、B 对应的

40、参数) ,由于 a0,所以:|PA|+|PB|t 1+t2| ,即: ,解得:a1【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,二元二次方程组的解法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型23已知函数 f(x )|x +3| x1|()求函数 f(x )的值域;第 22 页(共 22 页)()若对xR,f(x )| xa|恒成立,求 a 的取值范围【分析】 ()分 3 段去绝对值,分段求值域再相并;()利用 yf(x)的图象恒在 y| a|的下方可得 a 【解答】解:()f(x )f(x)的值域是 4,4()如图所示 a 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题