1、习题课 函数性质的综合应用学习目标 1.进一步理解函数单调性、奇偶性的定义及应用(重、难点)；2.能够综合利用函数的单调性、奇偶性解决相关问题(重、难点)1设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x 2x，则 f(1)_.解析 f (x)是奇函数，f(1)f( 1)2( 1) 2( 1)3.答案 32已知 yf( x)x 2是奇函数，且 f(1)1.若 g(x)f(x)2，则 g(1)_.解析 由已知 yf (x)x 2是奇函数，f(1)1，得 f(1)1 2 f(1)(1) 20，所以 f(1) 3，所以 g(1) f(1)21.答案 13已知函数 f(x)为偶函数，且
2、当 x0 时，f(x)x 2 ，则 f(1)_.1x解析 由已知得 f(x )f (x)，所以 f(1)f(1) 2.(12 11)答案 24已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，它在(0，)上是减函数，则 f 和( 34)f(a2a1) 的大小关系是_解析 由于 a2a1 2 ，而 f f ，且 f(x)在(0，)上是(a 12) 34 34 ( 34) (34)减函数所以有 f f(a2a1)，即 f f(a 2a1)(34) ( 34)答案 f f (a2a1)( 34)类型一 单调性应用【例 1】 函数 f(x)ax 22(a1)x2 在区间(，4上为减函数，则 a 的取值范围为_解析
3、 当 a0 时，函数 f(x)的对称轴为 x ，a 1af(x)在 (， 4上为减函数，图象开口朝上，a0 且 4，得 0a ；a 1a 15当 a0 时，f(x )2x2，显然在(，4上为减函数答案 0 ， 15规律方法 已知单调性，求参数取值范围的方法一般有两种：视参数为已知数，求函数的单调区间，再与已知单调区间比较，可求得参数的取值范围；运用函数的单调性的定义结合图象建立关于参数的不等式(组)或方程，解不等式(组 )或方程可求得参数的取值范围【训练 1】 已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)x 22x(x0)，若 f(3m 2)f(2m)，则实数 m 的取值范围是 _解析 因为函数
4、f(x)x 22x 在0，)上是增函数，又 f(x)是 R上的奇函数，所以 f(x)是 R上的增函数要使 f(3m 2)f(2m)，只需 3m 22m，解得31 或 a2.答案 (，2) (1，)规律方法 利用函数的单调性解不等式，要把相关变量利用函数的奇偶性转化到已知的区间上，利用其单调性求解【训练 3】 已知奇函数 f(x)在定义域(1,1)上为增函数，且 f(1a)f (a21)0，则实数 a 的取值范围是_解析 因为 f(a21) f(1a) ，f(x)是奇函数，所以 f(a21)f (a1)因为函数 f(x)在(1,1)上为增函数，所以1a 21a 11，解得 0a1.答案 (0,1)1利用函数的单调性、奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)求解析式，将待求区间上的自变量利用奇偶性转化到已知区间上，再根据已知条件求解；(3)比较函数值的大小，根据已知条件，利用奇偶性把自变量转化到已知单调性的区间上，再根据函数的单调性比较函数值的大小；(4)解不等式，根据函数的奇偶性转化自变量的范围，然后根据函数的单调性脱掉“f”号，使其转化为具体的不等式后求解2(1)注意所给条件式的意义，清楚函数单调性、奇偶性的符号表达方式，使用相关关系时不要混淆(2)利用函数的性质解不等式时，要特别注意函数的定义域.