1、第 2 课时 指数函数及其性质的应用学习目标 1.会用指数函数模型刻画和解决简单的实际问题(难点)；2.会解 af(x)a g(x)型的指数方程(重点)；3.掌握与指数函数复合的函数单调性解决方法(重、难点)； 4.了解与指数函数有关的函数奇偶性的判断方法(重点)预习教材 P6869，完成下面问题：知识点一 指数型函数 yk ax(kR 且 k0，a0 且 a1)模型1指数增长模型设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则yN(1p) x(xN)2指数减少模型设原有量为 N，每次的减少率为 p，经过 x 次减少，该量减少到 y，则yN(1p) x(xN)【预习评价
2、】由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低 ，设现在的电脑价格为138 100 元，则 3 年后的价格可降为_解析 1 年后价格为8 100(1 )8 100 5 400(元) ，13 232 年后价格为5 400(1 )5 400 3 600(元) ，13 233 年后价格为3 600(1 )3 600 2 400(元) 13 23答案 2 400 元知识点二 与指数函数复合的函数单调性1复合函数 yf (g(x)的单调性：当 yf(x )与 ug(x)有相同的单调性时，函数yf(g(x)单调递增，当 yf(x )与 ug(x)的单调性相反时，函数 yf (g(x)单调递减，简称为同增
3、异减2当 a1 时，函数 y af(x)与 yf(x)具有相同的单调性；当 0a1 时，函数ya f(x)与函数 yf(x) 的单调性相反【预习评价】思考 y 的定义域与 y 的定义域是什么关系？1xy 的单调性与 y 的单调性有什么关系？1x提示 两者定义域相同，都是x| x0 ；两者单调性相反，y 在(， 0)单调递增，在 (0，) 单调递增，y 在(，0)单调递减，在1x(0， ) 单调递减题型一 利用指数型函数的单调性比较大小【例 1】 比较下列各组中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73； (2)0.61.2, 0.61.5 ；(3)2.30.28 , 0.673.1 .解 (1
4、)(单调性法)由于 1.72.5 与 1.73 的底数都是 1.7，故构造函数 y1.7 x，则函数 y1.7 x 在 R 上是增加的又 2.5 1.5，所以 0.61.2 0.6701，所以 2.30.28 0.2，所以0.80.1 1，因此有 3x 1，又 00.5x (10，a1)，求 x 的取值范围解 (1)2 1 ，(12)原不等式可以转化为 3x1 1 .(12) (12)y x 在 R 上是减函数，(12)3x11，x0.故原不等式的解集是x|x 0 (2)分情况讨论：当 00，a1) 在 R 上是减函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得 x5；当 a1
5、时，函数 f(x)a x(a0，a1)在 R 上是增函数，x23x11 时，(1,5)规律方法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式(2)解不等式 af(x)ag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即 af(x)ag(x)Error!【训练 2】 (1)不等式 4x2.所以不等式的解集是x|x 2答案 (1)x|x212题型三 指数函数模型及应用【例 3】 某县现有 100 万人，经过 x 年后为 y 万人如果年平均增长率是 1.2%，请回答下列问题：(1)写出 y 关于 x 的函数
6、解析式；(2)计算 10 年后该县的人口总数(精度为 0.1 万人) (参考数据：1.012 91.113,1.012 101.127)解 (1)当 x1 时，y1001001.2%100(1 1.2%)；当 x2 时， y100(1 1.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%) 2；当 x3 时， y100(1 1.2%)2100(11.2%) 21.2%100(11.2%) 3；故 y 关于 x 的函数解析式为 y100(11.2%) x(xN*)(2)当 x10 时，y100(11.2%) 101001.012 10112.7.故 10 年后该县约有 112.7 万人规律方
7、法 建立函数模型时通常需要写出 x1,2,3，时对应 y 值以归纳规律，而模型建得对不对也可通过令 x1,2，来验证【训练 3】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，问至少要过滤几次才能使13产品达到市场要求？解 每次过滤后杂质含量降为原来的 ，过滤 n 次后杂质含量为 n，按市23 2100(23)场要求“杂质含量不能超过 0.1%”得 n ，2100(23) 11 000即 n ，(23) 120当 n7 时， 70.059 .(23) 120当 n8 时， 80.039 .(23) 120即至少要过滤 8 次才能
8、使产品达到市场要求题型四 与指数函数复合的函数单调性问题【例 4】 讨论函数 y x x1 2 的单调性(14) (12)解 令 t x，则 yt 22t2(t0)(12)又 t x 在 R 上是单调减函数，yt 22t2(t0)在(0,1上是单调减函数，在(12)1， ) 上是单调增函数，而当 t x1，x0；当 t x1 时，x 0，(12) (12)函数 y x x1 2 在(，0上是单调减函数，在0，)上是单调增(14) (12)函数规律方法 (1)关于指数型函数 ya f(x)(a0，且 a1)的单调性由两点决定，一是底数 a1 还是 0a1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数 y
9、a u，uf(x)复合而成(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 yf(u)，u(x) ，通过考查 f(u)和 (x)的单调性，求出 y f(x)的单调性【训练 4】 求函数 的单调区间解 函数 的定义域是 R.令 ux 2 2x，则 y2 u.当 x(， 1时，函数 ux 22x 为增函数，函数 y2 u 是增函数，所以函数 在(，1上是增函数当 x1， )时，函数 ux 22x 为减函数，函数 y2 u 是增函数，所以函数 在1，)上是减函数综上，函数 的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1互动探究题型五 指数函数中的参数问题【探究 1】 已知函数 y a2x
10、2a x1(a0，a1) 在区间 1,1上的最大值为14，求 a 的值解 令 ta x，得 yt 22t1.当 a1 时，x1,1，t ， a1ay t22t 1(t1) 22，y t22t 1 在 上是增函数1a，aymaxa 22a114，a3(舍负)；当 0a1 时，x1,1，t ， y(t1) 22 在 上是增函数a，1a a，1aymax 114，1a2 2a 3(舍负)，1aa .13综上所述，a3 或 a .13【探究 2】 已知函数 f(x)a x(a0，a1)在 2,2 上的函数值总小于 2，则实数 a 的取值范围是_解析 要使函数 f(x)a x(a0，a1)在 2,2上的
11、函数值总小于 2，只要 f(x)a x(a0，a1)在2,2上的最大值小于 2，当 a1 时，f (x)maxa 22，解得 1a ；2当 0a1 时，f(x )maxa 2 2，解得 a1.22所以 a (1， )(22，1) 2答案 (1， )(22，1) 2【探究 3】 若函数 f(x) ax(a0，a1)在 1,2 上的最大值为 4，最小值为m，且函数 g(x)(14m) 在0，)上是增函数，则 a_.x解析 g(x) (14m) 在0，)上是增函数，应有 14m 0，即 m .x14当 a1 时，f(x )a x 为增函数，由题意知Error!m ，与 m 矛盾；12 14当 0a1
12、 时，f(x )a x 为减函数，由题意知Error!m ，满足 m ；故 a .116 14 14答案 14【探究 4】 已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数 2x a2x 1(1)求实数 a 的值；(2)用定义证明：f(x )在 R 上是减函数；(3)若对于任意 x ，3 都有 f(kx2)f(2x1)0 成立，求实数 k 的取值范围12解 (1)由 f(x)是奇函数且定义域为 R，f(x)f (x)，令 f(0)0 即0a1，a 12f(x) ，经检验满足题意1 2x1 2x(2)由(1)知 f(x) 1 ，任取 x1，x 2R，1 2x1 2x 22x 1且 x1x 2，则 f
13、(x2)f(x 1) .( 1 22x2 1) ( 1 22x1 1) 22x1 2x22 x 12x2 1x1x 2，y2 x 在 R 上递增，2x 22x 10，2x12 x20,2 x111,2 x211，f(x2) f(x1) 0，即 f(x1)f(x 2)，f(x)在 R 上单调递减(3)因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(kx 2)f(2x1)0，等价于 f(kx2)f(2x1)f(12x )，因 f(x)为减函数，由上式推得： kx212x.即对一切 x 有：k 恒成立，12，3 1 2xx2设 g(x) 22 ，令 t ，t ，1 2xx2 (1x) 1x 1x 13，2则有
14、 h(t)t 22t，t ，13，2g(x)minh( t)minh(1) 1，k1，即 k 的取值范围为(，1)规律方法 对于形如 y af(x)(a0，a1)的函数，有如下结论(1)函数 ya f(x)的定义域与 f(x)的定义域相同；(2)先确定函数 f(x)的值域，再由指数函数的单调性，求 ya f(x)的值域；(3)当 a1 时，函数 ya f(x)与函数 f(x)在相应区间上的单调性相同；当 0a1时，函数 y af(x)与函数 f(x)在相应区间上的单调性相反一般地，在函数 yf (g(x)中，若函数 ug(x) 在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数 yf(u)在区间(g
15、( a)，g(b) 或在区间(g(b)，g(a)上是单调函数，那么函数 yf(g( x)在区间(a，b)上的单调性见下表：ug( x) 增 增 减 减yf( u) 增 减 增 减yf( g(x) 增 减 减 增由表知，函数 yf (g(x)的单调性规律为“同增异减”即 ug(x)，y f (x)的单调性相同时，f(g( x)是单调增函数；单调性不同时， f(g(x)为单调减函数课堂达标1设 y14 0.9，y 28 0.48， y3( )1.5 ，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是_12解析 y 14 0.92 1.8，y 2 80.482 1.44，y 3( )1.5 2 1.5.y2
16、x 是增函数，且121.81.51.44，21.821.521.44，即 y1y3y2.答案 y 1y3y22已知 a ，函数 f(x)a x，若实数 m，n 满足 f(m)f(n)，则 m，n 的大5 12小关系为_解析 0a 1， f(x)为 R 上的减函数，5 12由 f(m)f( n)可知 mn.答案 mn3已知函数 f(x)a ，若 f(x)为奇函数，则 a_.12x 1解析 函数 f(x)为奇函数，f(0)a 0.12a .12答案 124函数 的值域是_解析 设 tx 22x 1，则 y2 t.因为 t( x1) 222， y2 t 为关于 t 的单调增函数，所以 y2 t 22
17、 ，故所求函数的值域为 ， )14 14答案 ，)145已知函数 ，求函数的单调区间及值域解 令 tx 24x 1，则 y t.(12)又 tx 24x1(x2) 23 在(，2)上单调递减，在 2，)上单调递增，函数 的单调递减区间为2，)，单调递增区间为(， 2)y max8，值域是(0,8 课堂小结1比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数型函数 ya x 的单调性(2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 amc 且 cb n，则amb n；若 amc 且 cb n，则 amb n.2指数型函数单调性的应用(1)形如 ya f(x)的函数的单调性：令 uf(x)，x m，n，如果两个函数 ya u与 uf( x)的单调性相同，则函数 ya f(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减) ，则函数 ya f(x)在m，n上是减函数(2)形如 axa y 的不等式，当 a1 时，a xa yxy；当 0a1 时，ax ayxy .