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苏教版高中数学必修1学案:3.1.2(第2课时)指数函数及其性质的应用

1、第 2 课时 指数函数及其性质的应用学习目标 1.会用指数函数模型刻画和解决简单的实际问题(难点);2.会解 af(x)a g(x)型的指数方程(重点);3.掌握与指数函数复合的函数单调性解决方法(重、难点); 4.了解与指数函数有关的函数奇偶性的判断方法(重点)预习教材 P6869,完成下面问题:知识点一 指数型函数 yk ax(kR 且 k0,a0 且 a1)模型1指数增长模型设原有量为 N,每次的增长率为 p,经过 x 次增长,该量增长到 y,则yN(1p) x(xN)2指数减少模型设原有量为 N,每次的减少率为 p,经过 x 次减少,该量减少到 y,则yN(1p) x(xN)【预习评价

2、】由于生产电脑的成本不断降低,若每年电脑价格降低 ,设现在的电脑价格为138 100 元,则 3 年后的价格可降为_解析 1 年后价格为8 100(1 )8 100 5 400(元) ,13 232 年后价格为5 400(1 )5 400 3 600(元) ,13 233 年后价格为3 600(1 )3 600 2 400(元) 13 23答案 2 400 元知识点二 与指数函数复合的函数单调性1复合函数 yf (g(x)的单调性:当 yf(x )与 ug(x)有相同的单调性时,函数yf(g(x)单调递增,当 yf(x )与 ug(x)的单调性相反时,函数 yf (g(x)单调递减,简称为同增

3、异减2当 a1 时,函数 y af(x)与 yf(x)具有相同的单调性;当 0a1 时,函数ya f(x)与函数 yf(x) 的单调性相反【预习评价】思考 y 的定义域与 y 的定义域是什么关系?1xy 的单调性与 y 的单调性有什么关系?1x提示 两者定义域相同,都是x| x0 ;两者单调性相反,y 在(, 0)单调递增,在 (0,) 单调递增,y 在(,0)单调递减,在1x(0, ) 单调递减题型一 利用指数型函数的单调性比较大小【例 1】 比较下列各组中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73; (2)0.61.2, 0.61.5 ;(3)2.30.28 , 0.673.1 .解 (1

4、)(单调性法)由于 1.72.5 与 1.73 的底数都是 1.7,故构造函数 y1.7 x,则函数 y1.7 x 在 R 上是增加的又 2.5 1.5,所以 0.61.2 0.6701,所以 2.30.28 0.2,所以0.80.1 1,因此有 3x 1,又 00.5x (10,a1),求 x 的取值范围解 (1)2 1 ,(12)原不等式可以转化为 3x1 1 .(12) (12)y x 在 R 上是减函数,(12)3x11,x0.故原不等式的解集是x|x 0 (2)分情况讨论:当 00,a1) 在 R 上是减函数,x23x1x6,x24x50,根据相应二次函数的图象可得 x5;当 a1

5、时,函数 f(x)a x(a0,a1)在 R 上是增函数,x23x11 时,(1,5)规律方法 (1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式(2)解不等式 af(x)ag(x)(a0,a1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即 af(x)ag(x)Error!【训练 2】 (1)不等式 4x2.所以不等式的解集是x|x 2答案 (1)x|x212题型三 指数函数模型及应用【例 3】 某县现有 100 万人,经过 x 年后为 y 万人如果年平均增长率是 1.2%,请回答下列问题:(1)写出 y 关于 x 的函数

6、解析式;(2)计算 10 年后该县的人口总数(精度为 0.1 万人) (参考数据:1.012 91.113,1.012 101.127)解 (1)当 x1 时,y1001001.2%100(1 1.2%);当 x2 时, y100(1 1.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%) 2;当 x3 时, y100(1 1.2%)2100(11.2%) 21.2%100(11.2%) 3;故 y 关于 x 的函数解析式为 y100(11.2%) x(xN*)(2)当 x10 时,y100(11.2%) 101001.012 10112.7.故 10 年后该县约有 112.7 万人规律方

7、法 建立函数模型时通常需要写出 x1,2,3,时对应 y 值以归纳规律,而模型建得对不对也可通过令 x1,2,来验证【训练 3】 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,问至少要过滤几次才能使13产品达到市场要求?解 每次过滤后杂质含量降为原来的 ,过滤 n 次后杂质含量为 n,按市23 2100(23)场要求“杂质含量不能超过 0.1%”得 n ,2100(23) 11 000即 n ,(23) 120当 n7 时, 70.059 .(23) 120当 n8 时, 80.039 .(23) 120即至少要过滤 8 次才能

8、使产品达到市场要求题型四 与指数函数复合的函数单调性问题【例 4】 讨论函数 y x x1 2 的单调性(14) (12)解 令 t x,则 yt 22t2(t0)(12)又 t x 在 R 上是单调减函数,yt 22t2(t0)在(0,1上是单调减函数,在(12)1, ) 上是单调增函数,而当 t x1,x0;当 t x1 时,x 0,(12) (12)函数 y x x1 2 在(,0上是单调减函数,在0,)上是单调增(14) (12)函数规律方法 (1)关于指数型函数 ya f(x)(a0,且 a1)的单调性由两点决定,一是底数 a1 还是 0a1;二是 f(x)的单调性,它由两个函数 y

9、a u,uf(x)复合而成(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成 yf(u),u(x) ,通过考查 f(u)和 (x)的单调性,求出 y f(x)的单调性【训练 4】 求函数 的单调区间解 函数 的定义域是 R.令 ux 2 2x,则 y2 u.当 x(, 1时,函数 ux 22x 为增函数,函数 y2 u 是增函数,所以函数 在(,1上是增函数当 x1, )时,函数 ux 22x 为减函数,函数 y2 u 是增函数,所以函数 在1,)上是减函数综上,函数 的单调减区间是1,),单调增区间是(,1互动探究题型五 指数函数中的参数问题【探究 1】 已知函数 y a2x

10、2a x1(a0,a1) 在区间 1,1上的最大值为14,求 a 的值解 令 ta x,得 yt 22t1.当 a1 时,x1,1,t , a1ay t22t 1(t1) 22,y t22t 1 在 上是增函数1a,aymaxa 22a114,a3(舍负);当 0a1 时,x1,1,t , y(t1) 22 在 上是增函数a,1a a,1aymax 114,1a2 2a 3(舍负),1aa .13综上所述,a3 或 a .13【探究 2】 已知函数 f(x)a x(a0,a1)在 2,2 上的函数值总小于 2,则实数 a 的取值范围是_解析 要使函数 f(x)a x(a0,a1)在 2,2上的

11、函数值总小于 2,只要 f(x)a x(a0,a1)在2,2上的最大值小于 2,当 a1 时,f (x)maxa 22,解得 1a ;2当 0a1 时,f(x )maxa 2 2,解得 a1.22所以 a (1, )(22,1) 2答案 (1, )(22,1) 2【探究 3】 若函数 f(x) ax(a0,a1)在 1,2 上的最大值为 4,最小值为m,且函数 g(x)(14m) 在0,)上是增函数,则 a_.x解析 g(x) (14m) 在0,)上是增函数,应有 14m 0,即 m .x14当 a1 时,f(x )a x 为增函数,由题意知Error!m ,与 m 矛盾;12 14当 0a1

12、 时,f(x )a x 为减函数,由题意知Error!m ,满足 m ;故 a .116 14 14答案 14【探究 4】 已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数 2x a2x 1(1)求实数 a 的值;(2)用定义证明:f(x )在 R 上是减函数;(3)若对于任意 x ,3 都有 f(kx2)f(2x1)0 成立,求实数 k 的取值范围12解 (1)由 f(x)是奇函数且定义域为 R,f(x)f (x),令 f(0)0 即0a1,a 12f(x) ,经检验满足题意1 2x1 2x(2)由(1)知 f(x) 1 ,任取 x1,x 2R,1 2x1 2x 22x 1且 x1x 2,则 f

13、(x2)f(x 1) .( 1 22x2 1) ( 1 22x1 1) 22x1 2x22 x 12x2 1x1x 2,y2 x 在 R 上递增,2x 22x 10,2x12 x20,2 x111,2 x211,f(x2) f(x1) 0,即 f(x1)f(x 2),f(x)在 R 上单调递减(3)因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(kx 2)f(2x1)0,等价于 f(kx2)f(2x1)f(12x ),因 f(x)为减函数,由上式推得: kx212x.即对一切 x 有:k 恒成立,12,3 1 2xx2设 g(x) 22 ,令 t ,t ,1 2xx2 (1x) 1x 1x 13,2则有

14、 h(t)t 22t,t ,13,2g(x)minh( t)minh(1) 1,k1,即 k 的取值范围为(,1)规律方法 对于形如 y af(x)(a0,a1)的函数,有如下结论(1)函数 ya f(x)的定义域与 f(x)的定义域相同;(2)先确定函数 f(x)的值域,再由指数函数的单调性,求 ya f(x)的值域;(3)当 a1 时,函数 ya f(x)与函数 f(x)在相应区间上的单调性相同;当 0a1时,函数 y af(x)与函数 f(x)在相应区间上的单调性相反一般地,在函数 yf (g(x)中,若函数 ug(x) 在区间(a,b)上是单调增(减)函数,且函数 yf(u)在区间(g

15、( a),g(b) 或在区间(g(b),g(a)上是单调函数,那么函数 yf(g( x)在区间(a,b)上的单调性见下表:ug( x) 增 增 减 减yf( u) 增 减 增 减yf( g(x) 增 减 减 增由表知,函数 yf (g(x)的单调性规律为“同增异减”即 ug(x),y f (x)的单调性相同时,f(g( x)是单调增函数;单调性不同时, f(g(x)为单调减函数课堂达标1设 y14 0.9,y 28 0.48, y3( )1.5 ,则 y1,y 2,y 3 的大小关系是_12解析 y 14 0.92 1.8,y 2 80.482 1.44,y 3( )1.5 2 1.5.y2

16、x 是增函数,且121.81.51.44,21.821.521.44,即 y1y3y2.答案 y 1y3y22已知 a ,函数 f(x)a x,若实数 m,n 满足 f(m)f(n),则 m,n 的大5 12小关系为_解析 0a 1, f(x)为 R 上的减函数,5 12由 f(m)f( n)可知 mn.答案 mn3已知函数 f(x)a ,若 f(x)为奇函数,则 a_.12x 1解析 函数 f(x)为奇函数,f(0)a 0.12a .12答案 124函数 的值域是_解析 设 tx 22x 1,则 y2 t.因为 t( x1) 222, y2 t 为关于 t 的单调增函数,所以 y2 t 22

17、 ,故所求函数的值域为 , )14 14答案 ,)145已知函数 ,求函数的单调区间及值域解 令 tx 24x 1,则 y t.(12)又 tx 24x1(x2) 23 在(,2)上单调递减,在 2,)上单调递增,函数 的单调递减区间为2,),单调递增区间为(, 2)y max8,值域是(0,8 课堂小结1比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如 am 与 an 的大小,可运用指数型函数 ya x 的单调性(2)比较形如 am 与 bn 的大小,一般找一个“中间值 c”,若 amc 且 cb n,则amb n;若 amc 且 cb n,则 amb n.2指数型函数单调性的应用(1)形如 ya f(x)的函数的单调性:令 uf(x),x m,n,如果两个函数 ya u与 uf( x)的单调性相同,则函数 ya f(x)在m,n上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减) ,则函数 ya f(x)在m,n上是减函数(2)形如 axa y 的不等式,当 a1 时,a xa yxy;当 0a1 时,ax ayxy .