1、33 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(难点)；2.结合幂函数yx，yx 2，y x 3，y ，y 的图象，掌握它们的性质(重点)；3.能利用幂1x函数的单调性比较指数幂的大小(重点)预习教材 P8889，完成下面问题：知识点一 幂函数的概念一般地，我们把形如 y x 的函数叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数【预习评价】1下列函数是幂函数的为_(填序号)yax m(a，m 为非零常数，且 a1)；yx 1 x 2；yx n(nZ)；y(x2) 3.答案 2若函数 f(x)(a 23a 3)x2 是幂函数，则 a 的值为_解析 根据幂函数定义，有 a23a31，a
2、23a40，所以 a4 或 a1.答案 4 或1知识点二 幂函数的图象与性质幂函数 yx yx 2 yx 3 y yx 1图象定义域 R R R 0，) (，0) (0，)续表值域 R 0，) R 0，)y|y R，且y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x0 ，) 增，x(，0减增 增x(0，)减，x( ，0)减定点 (1,1)【预习评价】1设 ，则使函数 yx 的定义域为 R 的所有 的值为 1，1，12，3_解析 yx 1 的定义域为 x|x0，y 的定义域为x|x0，只有yx，yx 3 的定义域为 R.答案 1,32当 1 ， ，1,3时，幂函数 yx 的图象不可能经过第 _象
3、限12解析 幂函数 yx 1 ，yx，yx 3 的图象分布在第一、三象限，y x 的图象12分布在第一象限，所以幂函数 yx (1， ，1,3) 的图象不可能经过第二、12四象限答案 二、四题型一 幂函数的概念【例 1】 (1)已知( ，2) 在幂函数 f(x)的图象上，求 f(2)的值；2(2)已知函数 f(x)(a 23a3)x a25a5 (a 为常数)为幂函数，且在 (0，)上单调递减，求实数 a 的值解 (1)设 f(x)x ，( ，2) 在 f(x)的图象上，2f( ) ( )2， 2.2 2故 f(x)x 2，f(2) 2 24.(2)f(x)为幂函数，a 23a31，得 a1
4、或 a2.当 a1 时，f(x )x，在(0，)上单调递增，不合题意当 a2 时，f(x )x 1 ，在(0，)上单调递减，符合题意综上，得 a 的值为 2.规律方法 (1)幂函数的特点：系数为 1，底数为自变量，指数为常数(2)当 0 时，幂函数在第一象限内单调递增；当 0 时，yx 在第一象限内是增函数，y 在 x0,1上是增函数设 f(x) ，x 1,1，则 f(x) (x) x f(x)，f(x) 是奇函59 59数奇函数的图象关于原点对称，x1,0时，y 也是增函数当 x0 时， y0，故 y 在1,1上是增函数且是奇函数答案 增函数 奇函数【探究 2】 比较下列各组数的大小(1)
5、；(2) ；(2)( )2 和 34 ；(4)( )3 和 .34 13解 (1)函数 y 在(0，)上为减函数，又 3 ，所以1819(3)34 (3 2)2 9 2 ，函数 yx 2 在(0，)上为减函数，又 9 2，即( )2 34 .34 34(4)因为( )3 0，所以 ( )3 .13 13【探究 3】 若 ，则 a 的取值范围是_解析 函数 f(x) 在区间 (0，)内是减函数，所以 等价于Error!解得 a .所以 a 的取值范围是( ， )23 32 23 32答案 ( ， )23 32【探究 4】 已知函数 f(x)x 1 ，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范
6、围是_解析 函数 f(x)x 1 的大致图象如图，由题意可知应分三种情况讨论：当 a10,102a0 时，f(a1)0f(102a)，此时解得 a1.当 a10,102a0 时，得 a1102a，故Error!3a 5.当 a10,102a0 时，得 a1102a，故Error!无解综上可知，a 的取值范围是(，1)(3,5)答案 (，1) (3,5)规律方法 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数课堂达标1已知函数 f(x)(m 2m 1
7、)x m22m 1 是幂函数，则实数 m_.解析 由函数 f(x)(m 2m1) xm22m 1 是幂函数可得 m2m11，解得m0 或 m1.答案 0 或12已知幂函数 f(x)x m 的图象经过点( ， )，则 f(6)_.313解析 依题意 ( )m ，所以 1，m2，13 3 m2所以 f(x)x 2 ，所以 f(6)6 2 .136答案 1363若 yx a24a9 是偶函数，且在 (0，)内是减函数，则整数 a 的值是_解析 由题意得，a 24a9 应为负偶数，即 a24a9(a2)2132k(k N*)，( a2) 2132k，当 k2 时， a5 或1；当 k6 时，a3 或
8、1.答案 1,3,5，14设 2，1， ， 1,2,3，则使 yx 为奇函数且在 (0，)上单调递减12的 的值为_ 解析 要使 yx 为奇函数，需 1,1,3，又在(0，)上单调递减，所以1.答案 15函数 f(x)(m 2m1)x m2m 3 是幂函数，且当 x(0，)时，f (x)是增函数，求 f(x)的解析式解 根据幂函数定义得，m2m11，解得 m2 或 m1，当 m2 时，f(x )x 3 在(0，)上是增函数，当 m1 时，f(x )x 3 在(0，)上是减函数，不合题意f(x)的解析式为 f(x)x 3.课堂小结1幂函数 y x 的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线 x1 的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1 的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，) 上都有定义，并且当自变量为 1 时，函数值为 1，即f(1)1.(2)如果 0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果 0，幂函数在 x0 处无意义，在(0，)上是减函数