1、34 函数的应用34.1 函数与方程第 1 课时 函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点(重点)；2.掌握函数零点的判定方法(难点) ；3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)预习教材 P9193，完成下面问题：知识点一 函数的零点函数 yf(x) 的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标【预习评价】思考 函数的零点是点吗？提示 函数 yf (x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的解，即函数的零点是一个实数知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象之间的关系方程 f(x
2、)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf (x)有零点知识点三 函数零点的判定定理若函数 yf(x )在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且 f(a)f(b)0，则函数 yf(x) 在区间(a，b)上有零点【预习评价】若函数 yf(x )在区间a，b上的图象为一条连续不断的曲线，判断下列说法是否正确若 f(a)f(b)0，不存在实数 c(a，b)使得 f(c)0.( )若 f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数 c(a，b)使得 f(c)0.( )若 f(a)f(b)0，有可能存在实数 c(a，b)使得 f(c)0.( )若 f(a)f(b)0，有可能不存在实数 c
3、(a，b)使得 f(c)0.( )提示 可通过反例“f(x) (x1)(x1) 在区间2,2上满足 f(2)f(2)0，但其存在两个解 1,1”，故不正确； 对于可通过反例“f(x) x(x1)(x 1)在区间 2,2上满足 f(2)f (2)0，但其存在三个解 1,0,1”故不正确； 由零点存在性定理可知不正确题型一 求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点(1)f(x) x2x 6；(2) f(x)x 3x ；(3)f(x) (ax1)(x2)( aR)解 (1)方法一 令 f(x)0，即 x2x60.(1) 241(6)250，方程 x2x60 有两个不相等的实数根 x12 ，x 23.
4、函数 f(x)x 2x 6 的零点是 x12，x 23.方法二 由 f(x)x 2x6(x3)( x2)0，得 x12， x23.函数 f(x)x 2x 6 的零点为 x12，x 23.(2)x3xx (x21) x (x1)(x 1)，令 f(x)0 得 x(x1)( x1) 0.f(x)的零点为 x10，x 2 1，x 31.(3)当 a0 时，函数为 f(x)x2，令 f(x)0，得 x2.f(x)的零点为 2.当 a 时，f(x )( x1)(x2) (x2) 2，12 12 12令 f(x)0 得 x1x 22.f(x)有零点 2.当 a0 且 a 时，12令 f(x)0 得 x1
5、，x 22.1af(x)的零点为 ，2.1a综上，当 a0 时，f(x )的零点为 2；当 a 时，函数有零点 2；当 a0 且 a12时，f( x)的零点为 ，2.12 1a规律方法 根据函数零点的定义，求函数 f(x)的零点就是求使 f(x)0 的 x 的值，即方程 f(x)0 的根一般求法是 代数法：解方程的思想如求一元二次方程f(x)0 的实数根常用求根公式、分解因式等方法；几何法：函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标即为函数的零点【训练 1】 函数 yx 1 的零点是_解析 令 y x10，得 x1，故函数 yx1 的零点为 1.答案 1题型二 函数零点存在性定理及应用【例
6、2】 判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1)f(x) x23x 18，x 1,8；(2)f(x) x3x 1，x 1,2；(3)f(x) log2(x2) x ，x1,3解 (1)f(1)200，f(8)220，f(1)f(8)0. 故 f(x)x 23x18 在1,8 上存在零点(2)f(1) 10，f(2)50，f(1)f(2) 0，f(x )x 3x1 在1,2上存在零点(3)f(1)log 2(12)1log 2210，f(3)log 2(32)3log 2830.f(1)f(3)0，故 f(x)log 2(x2)x 在1,3上存在零点规律方法 由函数给定的区间a，b分别求出 f
7、(a)和 f(b)，判断 f(a)f(b)0 是否成立，这是判断函数有无零点的基本方法，同时要注意如果 f(a)f(b)0，并不说明函数在a，b 上没有零点【训练 2】 已知函数 f(x)的图象是连续不断的，有如下 x，f(x)的对应值表：x 1 2 3 4 5 6f(x) 15 10 7 6 4 5则函数 f(x)在区间1,6上的零点至少有_个解析 根据函数零点存在性定理可判断至少有 3 个零点答案 3题型三 判断函数零点的个数【例 3】 判断函数 f(x) ln xx 23 的零点的个数解 函数对应的方程为 ln xx 230，所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3x 2 的图
8、象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数 y3x 2 与 yln x 的图象只有一个交点从而 ln xx 230有一个根，即函数 yln x x 23 有一个零点规律方法 判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由 f(x)g(x)h(x) 0，得 g(x) h(x)，在同一坐标系下作出 y1g(x )和 y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数【训练 3】 函数 f(x)ln xx2 的零点个数为_解析 如图所示，分别作出 yl
9、n x，yx2 的图象，可知两函数的图象有两个交点，即 f(x)有两个零点答案 2互动探究题型四 零点的应用【探究 1】 已知二次函数 f(x)7x 2(k13)x k2 的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2)内，试求 k 的取值范围解 由题意可知，方程 7x2(k 13)xk20 的两根分别在区间 (0,1)与(1,2)内，也就是说函数 y7x 2(k13)xk 2 的图象与 x 轴的交点横坐标分别在 0 与 1,1与 2 之间，作出草图根据图象得Error!即Error!解之得2k .43故 k 的取值范围是 (2， )43【探究 2】 已知关于 x 的方程|x 24x3| a0 有三
10、个不相等的实数根，则实数 a 的值是_解析 如图所示，由图象知直线 y1 与 y| x24x3|的图象有三个交点，则方程|x 24x3|1 有三个不相等的实数根，因此 a1.答案 1【探究 3】 已知函数 f(x)ax 22x1(aR)，若方程 f(x)0 至少有一正根，则 a 的取值范围是_解析 对 ax22x 10，当 a0 时，x ，不符合题意；当12a0，44a0 时，得 x1(舍去) 当 a0 时，由 44a0，得 a1，又当 x0 时， f(0)1，即 f(x)的图象过(0,1)点，f(x)图象的对称轴方程为 x ，22a 1a当 0，即 a0 时，图象开口向下，与 x 轴正半轴有
11、一交点，满足题意；当1a 0，即 a0 时，图象开口向上，与 x 轴正半轴无交点，不满足题意，综上，1aa 的取值范围是(，0)答案 (，0)规律方法 (1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面： 与 0 的关系；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向(2)求解探究 2 这类问题可先将原式变形为 f(x)g( x)，则方程 f(x)g( x)的不同解的个数等于函数 f(x)与 g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解课堂达标1函数 f(x) 的零点是_1 x21 x解析 由 f(x)0，即 0，得 x1，即函数 f(x)的
12、零点为 1.1 x21 x答案 12在下列区间中，函数 f(x)e x4x 3 的零点所在的区间为 _(填序号) ； ； ； .( 14，0) (0，14) (14，12) (12，34)解析 f 20，(14) 4ef( ) 10，f f 0，12 e (14) (12)又 f(x)单调递增，零点在 上(14，12)答案 3已知函数 f(x)(xa)(xb) 2(ab)，并且 ， ()是函数 yf(x)的两个零点，则实数 a，b， ， 的大小关系是_解析 函数 g(x)(xa)(x b)的两个零点是 a，b.由于 yf(x) 的图象可看作是由 yg(x) 的图象向上平移 2 个单位而得到的，
13、所以ab.答案 a b4已知二次函数 f(x)x 2xa(a0)，若 f(m)0，则在(m，m 1)上函数零点的个数是_解析 二次函数 f(x)x 2xa 可化为 f(x)(x )2a ，则二次函数对称轴12 14为 x ，其图象如图12f(m)0，由图象知 f(m1)0，f(m)f(m1)0，f(x )在 (m，m1)上有 1 个零点答案 15已知函数 f(x)ax 22ax1 有两个零点 x1，x 2，且 x1(0,1) ，x 2(4，2)，求 a 的取值范围解 f(x)ax 22ax 1 的图象是连续的且两零点 x1，x 2 满足 x2(4，2)，x1(0,1)Error!a .13a 的取值范围为( ， )13课堂小结1在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程 f(x)g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 yf(x)g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.