1、章末复习课网络构建核心归纳1映射与函数已知 A，B 是两个非空集合，在对应法则 f 的作用下，对于 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从 A 到 B 的映射，记作 f：AB.由定义可知在 A 中的任意一个元素在 B 中都能找到唯一的对应元素，而 B 中的元素在 A 中未必有对应元素若 f： AB 是从 A 到 B 的映射，且B 中任一元素在 A 中有且只有一个对应元素，则这样的映射叫做从 A 到 B 的一一映射函数是一个特殊的映射，其特殊点在于 A，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应法则两个函数只有当定义域和对应法则分别相同时，这两个函
2、数才是同一函数2函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：取值：任取 x1，x 2D，且 x10；作差变形：yy 2y 1f( x2)f(x 1)，向有利于判断差的符号的方向变形；判断符号：确定 y 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；下结论：根据定义得出结论(3)证明函数单调性的等价变形：(1) f(x)是单调递增函数 任意 x10f(x1)f(x 2)(x1x 2)0；(2)f(x)是单
3、调递减函数任意fx1 fx2x1 x2x1f(x2) 0 时，f(x)0，试判断函数 f(x)的单调性，并说明理由解 方法一 设任意的 x1，x 2R，且 x10.由条件 x0 时，f( x)0，f(x2x 1)0.又 f(x1)f(x 2)f(x 1)f(x 2x 1)x 1)f(x 1)f(x 2x 1)f(x 1)f(x 2x 1)0) ，则 x10 时， f(a)0，f(x 1)f(x 2)1 时，f(x)0.求证：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)在 (0，)上是单调递增的证明 (1)令 x1x 21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.令 x1x 21，得 f(1)f(1)(1
4、)f(1)f(1)，f(1)0.f(x)f(1)xf(1)f(x )f(x)f(x)是偶函数(2)设 0x10， 1.x2x1f( )0，x2x1即 f(x2)f(x 1)0.f(x2)f(x1)f(x)在 (0， )上是单调递增的要点四 求函数的最值求函数最大(小) 值的常用方法：(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；(2)配方法，对于二次函数类型的函数，一般通过配方法求最值；(3)图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值【例 4】 已知函数 f(x) x22ax2，
5、求 f(x)在5,5上的最大值解析 f( x)x 22ax2(xa) 22a 2，x5,5，图象的对称轴为直线xa.当a5，即 a5 时，函数 f(x)在5,5上单调递增，如图 (1)所示，f(x)maxf(5)5 22a522710a.当5a0，即 0a5 时，如图(2)所示，f(x)maxf(5)5 22a522710a.当 0a5，即5a0 时，如图(3)所示，f(x)maxf(5)( 5) 22a( 5)22710a.当a5，即 a5 时，如图(4)所示，函数在5,5上单调递减，f (x)max f(5)2710a.【训练 4】 设函数 f(x) x22x2，xt，t1，t R ，求函数 f(x)的最小值解 f(x) x 22x2(x 1) 21，xt，t1，tR ，对称轴为 x1.当 t11，即 t0 时，函数图象如图(1)，函数 f(x)在区间t ，t1 上为减函数，所以最小值为 f(t1)t 21；当 t1t1，即 0t1 时，函数图象如图(2)，最小值为 f(1)1；当 t1 时，函数图象如图(3)，函数 f(x)在区间t， t1上为增函数，所以最小值为 f(t)t 22t2.综上所述，f(x )minError!