1、31.2 指数函数第 1 课时 指数函数及其图象学习目标 1.理解指数函数的概念和意义(难点)；2.能画出指数函数的简图(重点)；3.初步掌握指数函数的有关性质(重点)预习教材 P6467，完成下面问题：知识点一 指数函数的概念一般地，函数 ya x(a0，且 a1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.【预习评价】下列函数中一定是指数函数的有_(填序号)(1)y(4) x; (2)y( )x；13(3)y23 x; (4)yx 3；解析 y(4) x 的底数40，不是指数函数；y23 x 中 3x 的系数等于 2，不是指数函数；y x 3 中自变量 x 在底数的位置上，不是
2、指数函数；由指数函数的定义知，只有 y x 是指数函数(13)答案 (2)知识点二 指数函数的图象和性质a1 0a1图象续表定义域：R值域：(0，)过点(0,1)，即 x0 时，y1当 x0 时，y 1；当 x0 时，0y 1当 x0 时，0y 1；当 x0 时，y 1性质在 R 上是增函数 在 R 上是减函数【预习评价】指数函数 f(x)(a1) x 是( ，)上的减函数，则 a 的取值范围是_解析 函数 f(x)( a1) x 是指数函数，且 f(x)为减函数，0a 11 ， 1a 0.答案 (1,0)知识点三 比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小
3、，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断【预习评价】思考 若 x1 x2，则 ax1 与 ax2(a0 且 a1)大小关系如何？提示 当 a1 时，y a x 在 R 上为单调增函数所以 ax1a x2，当 0a 1 时，y a x 在 R 上为单调减函数，所以 ax1a x2.题型一 指数函数的概念【例 1】 给出下列函数：y23 x；y 3 x1 ；y3 x；yx 3；y ( 2) x.其中，指数函数的个数是_解析 中，3 x 的系数是 2，故不是指数函数；中，
4、y 3 x1 的指数是x1，不是自变量 x，故 不是指数函数；中， 3x 的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x 一项，故是指数函数；中，yx 3 的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数；中，底数20，不是指数函数答案 1规律方法 (1)指数函数的解析式必须具有三个特征：底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数；指数位置是自变量 x；a x 的系数是 1.(2)求指数函数的关键是求底数 a，并注意 a 的限制条件【训练 1】 函数 y(2a 23a2) ax 是指数函数，求 a 的值解 由题意得Error!解得 a .12a 的值为 .12题型二 指数型函数的定义域、值域【例 2
5、】 求下列函数的定义域和值域：(1)y2 ；(2) y ；(3)y ；1x 4 1 2x(4)y4 x2 x1 1.解 (1)由 x40，得 x4，故 y2 的定义域为x|xR，且 x41x 4又 0，即 1，1x 4故 y 的值域为 y|y0，且 y1(2)由 12 x0，得 2x1， x0，y 的定义域为(，01 2x由 02 x1，得 12 x0，012 x1，y 的值域为0,1)1 2x(3)y 的定义域为 R.x22x3( x1) 244， 4 16.(12)又 0，故函数 y 的值域为 (0,16(4)定义域为 R.y 4x2 x1 1(2 x)222 x1(2 x1) 2，又 2
6、x0，y1，故函数的值域为 y|y1规律方法 对于 ya f(x)(a0，且 a1)这类函数，(1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围；(2)求值域问题，有以下三种方法：由定义域求出 uf(x )的值域；利用指数函数 ya u 的单调性求得此函数的值域求形如 y Aa2xB axC 类函数的值域一般用换元法，设 axt (t0)再转化为二次函数求值域【训练 2】 (1)函数 f(x) 的定义域为 _1 2x1x 3(2)函数 f(x) x1，x1,2的值域为_(13)解析 (1)由题意，自变量 x 应满足Error!解得Error! 3x0，定义域为(3,0(2)1x2， x3， x
7、12，值域为 .19 (13) 89 (13) 89，2答案 (1)(3,0 (2) ，289互动探究题型三 指数函数的图象及其应用【探究 1】 如图是指数函数ya x，yb x，yc x，yd x 的图象，则a，b，c，d 与 1 的大小关系是 _解析 方法一 在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大由指数函数图象的升降，知 cd1，ba1.ba 1d c.方法二 如图，作直线 x1，与四个图象分别交于 A，B，C，D 四点，由于x1 代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知 ba1dc.答案 ba1dc【探究 2】 已知 f(x)2
8、 x 的图象，指出下列函数的图象是由 yf(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y2 x1 ；(2)y2 x1 ；(3) y2 x1；(4)y2 x ；(5)y2 |x|.解 (1)y2 x1 的图象是由 y2 x 的图象向左平移一个单位得到(2)y2 x1 的图象是由 y2 x 的图象向右平移 1 个单位得到(3)y2 x1 的图象是由 y2 x 的图象向上平移 1 个单位得到(4)y2 x 与 y2 x 的图象关于 y 轴对称，作 y2 x 的图象关于 y 轴的对称图形便可得到 y 2x 的图象(5)y2 |x|为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，故先作出当 x0 时，y2 x 的图象，再
9、作关于 y 轴的对称图形，即可得到 y2 |x|的图象【探究 3】 试画出 y2 |x1| 的图象解 y2 |x1| Error!Error!而 y2 x1 可由 y2 x 向右平移 1 个单位得到，y x1 可由 y x 向右平移(12) (12)一个单位得到图象如下：【探究 4】 直线 y2a 与函数 y|2 x1| 图象有两个公共点，求实数 a 的取值范围解 y|2 x1|Error!图象如下：由图可知，要使直线 y 2a 与函数 y|2 x1| 图象有两个公共点需 02a1，即 0a ，故 a(0， )12 12规律方法 指数函数 y ax(a0 且 a1) 的图象变换：(1)平移变换
10、：把函数 ya x 的图象向左平移 (0)个单位，则得到函数 ya x的图象；若向右平移 (0)个单位，则得到函数 ya x 的图象；若向上平移(0)个单位，则得到 ya x 的图象；若向下平移 (0)个单位，则得到ya x 的图象即“左加右减，上加下减 ”(2)对称变换：函数 ya x 的图象与函数 ya x 的图象关于 y 轴对称；函数 ya x 的图象与函数 ya x 的图象关于 x 轴对称；函数 ya x 的图象与函数ya x 的图象关于原点对称；函数 ya |x|的图象关于 y 轴对称；函数 y|a xb|的图象就是 y axb 在 x 轴上方的图象不动，把 x 轴下方的图象翻折到
11、x 轴上方(3)一般的情形：函数 y| f(x)|的图象由 yf( x)在 x 轴上方图象与 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；函数 yf (|x|)的图象由函数 yf (x)在 y 轴右方图象与其关于 y 轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.课堂达标1若函数 y (a25a7)(a1) x 是指数函数，则 a 的值为_解析 由指数函数的定义可得 a25a71，解得 a3 或 a2，又因为 a10 且 a11，故 a3.答案 32已知函数 f(x)4a x1 的图象经过定点 P，则点 P 的坐标是_解析 当 x 10，即 x 1 时，a x1
12、a 01，为常数，此时 f(x)415，即点 P 的坐标为( 1,5)答案 (1,5)3函数 y 的值域是 _解析 x 211，y 1 2，(12)又 y0，函数值域为 (0,2答案 (0,24已知 0a1，b1，则函数 ya xb 的图象必定不经过第_象限解析 取 a ，b2，所以得函数 y x2，由图象平移的知识知，函数12 (12)y x2 的图象是由函数 y x 的图象向下平移两个单位得到的，故其图象(12) (12)一定不过第一象限答案 一5若函数 f(x)(a 27a 7)ax 是指数函数，求实数 a 的值解 函数 f(x)( a27a7)a x 是指数函数，Error!Error!a6，即实数 a 的值为 6.课堂小结1判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合 ya x(a0 且a1)这一结构形式，即 ax 的系数是 1，指数是 x 且系数为 1.2指数函数 ya x(a0 且 a1)的性质分底数 a 1,0a1 两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的3指数函数的定义域为(，)，值域为(0，)，且 f(0)1.4当 a1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快当 0a1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快.