1、32 对数函数32.1 对数的概念第 1 课时 对数的概念学习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重、难点)；2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重、难点)预习教材 P7274，完成下面问题：知识点一 对数的概念一般地，如果 a(a0，a1) 的 b 次幂等于 N，即 abN，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中，a 叫做对数的 底数，N 叫做真数【预习评价】思考 解指数方程 3x 时，可化为 3x ，所以 x .请思考怎样解 3x2?312提示 因为 2 难以化为以 3 为底的指数式，因而需要引入对数概念知识点二 对数的基本性质
2、(1)负数和零没有对数(2)loga10(a0，且 a 1)(3)logaa1(a0，且 a 1)知识点三 对数与指数的关系当 a0，且 a1 时，a xN xlog aN.知识点四 常用对数和自然对数通常将以 10 为底的对数称为常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数，log 10N可简记为 lg_N，log eN 简记为 ln_N.【预习评价】1下列指数式与对数式互化不正确的一组是_(填序号)(1)e01 与 ln 10；(2) 与 log8 ；12 12 13(3)log392 与 3；(4)log771 与 717.解析 根据 abN blog aN 可知，(1) ，(2)，(4)均
3、正确，(3)不正确应是 329.答案 (3)2若 lg(ln x)0，则 x_.解析 ln x1，x e.答案 e3若 lg(log3x)1，则 x 的值为_解析 lg(log 3x)1， log3x10 110，x3 10.答案 3 10题型一 对数式与指数式的互化【例 1】 (1)将下列指数式写成对数式：5 4625；2 6 ；3 a27； m5.73.164 (13)(2)求下列各式中的 x 的值：log 64x ；log x86；lg 100x；ln e 2x .23解 (1)log 56254；log 2 6；164log 327a； 5.73m.(2) 4 2 .116x 68，所
4、以 .210 x 100 102，于是 x2.由ln e 2x ，得xln e 2，即 ex e 2.所以 x2.规律方法 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解【训练 1】 计算：(1)log 927；(2) ；(3) .解 (1)设 xlog 927，则 9x27,3 2x3 3，x .32题型二 应用对数的基本性质求值【例 2】 求下列各式中 x 的值：(1)log2(log5x)0；(2)log 3(lg x)1；解 (1)log 2(log5x)0.log5x2 01，x5 15.(2)log3(lg x)1，lg x 313，x10 31
5、000.(3)log( 1) x ，213 22( 1) x 1，213 22 1 2 12 12 1 2x 1.(4) 27x2，x .227规律方法 (1)对数式与指数式关系图：对数式 logaNb 是由指数式 abN 变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数 N 就是指数式中的幂的值 N，而对数值 b 是指数式中的幂指数(2)并非所有指数式都可以直接化为对数式如(3) 29 就不能直接写成 log(3)92，只有 a0 且 a1，N0 时，才有 axN xlog aN.【训练 2】 (1)若 log2(log3x)log 3(log4y)log 4(log2z)0，则 xy z 的值为_
6、解析 log 2(log3x)0，log 3x1，x 3，同理 y4，z2，xyz9.答案 9(2)求 的值(a，b，c R 且不等于 1，N0)解 考查方向题型三 利用对数基本性质解方程方向 1：同底对数方程转化为有理方程【例 31】 解方程 lg(2x1) lg(x 29)解 由已知得2x 1x 29，即 x22x80，解得 x4 或 x2.经检验，x 2 时，2x 10，x 290，与对数真数大于 0 矛盾，故 x2 舍去所以原方程的根为 x 4.方向 2：同底对数方程转化为无理方程【例 32】 解方程 log3(x1) log 3 .x 5解 由题意得 x1 ，x 5(x1) 2x5，
7、即 x23x40.解得 x1 或 x4.经检验，x 1 不合题意，故舍去； x4 是原方程的解原方程的解是 x4.方向 3：整体代换转化为有理方程【例 33】 方程 9x63 x70 的解是_ 解析 设 3x t(t0)，则原方程可化为 t26t70，解得 t7 或 t1(舍去)，t7，即 3x7.x log37.答案 log 37方向 4：指、对数互化转化为有理方程【例 34】 若 log(1x) (1x) 21，则 x_.解析 由题意知 1x (1 x )2，解得 x0，或 x3.验证知，当 x0 时，log (1x) (1x )2 无意义，当 x0 不合题意，应舍去，所以 x3.答案 3
8、规律方法 应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式(1)对数运算时的常用性质：log aa1，log a10.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.课堂达标12 x 3 化为对数式是 _解析 2 x 3，xlog 23.答案 xlog 232若 log3x3，则 x_.解析 log 3x3，x3 327.答案 273ln 1log ( 1) ( 1) _.2 2解析 ln 1log ( 1) ( 1)011.2 2答案 14设 10lg x1
9、00，则 x 的值为_答案 1005求下列各式的值：(1)log(2 )(2 )1 ；(2)log 327；(3)32 log 35.3 3解 (1)设 xlog (2 )(2 )1 ，3 3则(2 )x(2 )1 2 ，3 312 3 3x 1.即 log(2 ) (2 ) 11.3 3(2)3337，log 3273.原式95 45.课堂小结1对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即abNlog aNb(a0，且 a1，N 0) ，据此可得两个常用恒等式：2在关系式 axN 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运算，而如果已知 a和 N 求 x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算 .