1、23 映射的概念学习目标 1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点) 预习教材 P4647，完成下面问题：知识点一 映射的概念一般地，设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合 A到集合 B 的映射，记为 f：AB.【预习评价】下面各图表示的对应构成映射的有_解析 这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即 A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应对于 ，A 中的每一个元素在 B 中有 2 个元素与之对应，所以不是 A 到 B 的
2、映射；对于，A 中的元素a3，a 4，在 B 中没有元素与之对应，所以不是 A 到 B 的映射答案 知识点二 映射与函数的关系名称区别与联系 函数 映射区别函数中的两个集合 A 和B 必须是非空数集映射中的两个集合 A 和 B 可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数【预习评价】函数与映射有何区别与联系？提示 函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数题型一 映射的判断【例 1】 以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射？(1)集合 AP|P 是数轴上的点 ，集合
3、 BR，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合 AP|P 是平面直角坐标系中的点 ，集合 B( x，y)|xR ，yR，对应关系 f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合 Ax |x 是三角形，集合 Bx| x 是圆 ，对应关系 f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合 Ax |x 是新华中学的班级，集合 Bx| x 是新华中学的学生 ，对应法则 f：每一个班级都对应班里的学生解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的一个映射(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐
4、标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应 f： AB 是从集合 A 到集合 B 的一个映射(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应 f：A B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应 f：AB 不是从集合 A 到集合 B 的一个映射规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能
5、一对多【训练 1】 设集合 Ax|1x2 ，B x|1x4，则下述对应法则 f 中，不能构成从 A 到 B 的映射的是_f：xyx 2 f：xy 3x2f：xyx4 f：xy 4x 2解析 对于，任一实数 x 都有唯一的 x2 与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于，任一 x 都有唯一 3x2 与之对应，是映射，一对一 类似于.对于，当 x2 时，由对应法则 y4x 2 得 y0 ，在集合 B 中没有元素与之对应，所以不能构成从 A 到 B 的映射答案 题型二 利用对应法则求对应元素【例 2】 设集合 A 和 B 为坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR ，映射f：AB 使集合 A 中的元素
6、(x ，y)映射成集合 B 中的元素(xy ，xy )，那么(1,2)在映射 f 作用下的对应元素为_；若在 f 作用下的对应元素为(2，3)，则它原来的元素为_解析 根据映射的定义，当 x1，y 2 时，xy 3，xy2，则(1,2)在映射 f作用下的对应元素为(3,2)；由Error!得Error!或Error!即(2 ，3)所对应的原来的元素为(3,1) 或(1， 3)答案 (3,2) (3,1)或(1， 3)规律方法 求一个映射(f：AB) 中，A 中元素在 B 中的对应元素或 B 中元素在A 中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解【训练 2】 已知集合 AR，B(x
7、，y )|x，yR ，f：AB 是从 A 到 B 的映射，f：x(x 1，x 21)，求 A 中元素 在 B 中的对应元素和 B 中元素 在2 (32，54)A 中的对应元素解 将 x 代入对应法则，可求出其在 B 中的对应元素为( 1,3)2 2由Error!可得 x .12所以 在 B 中的对应元素为( 1,3)， 在 A 中的对应元素为 .2 2 (32，54) 12互动探究题型三 映射的个数问题【探究 1】 已知 A a，b，c，B 1,2(1)从 A 到 B 可以建立多少个不同的映射？从 B 到 A 呢？(2)若 f(a)f(b) f(c) 0，则从 A 到 B 的映射中满足条件的映
8、射有几个？解 (1)从 A 到 B 可以建立 8 个映射，如下图所示从 B 到 A 可以建立 9 个映射，如图所示(2)欲使 f(a)f(b) f(c) 0，需 a，b，c 中有两个元素对应1，一个元素对应2，共可建立 3 个映射【探究 2】 已知集合 Aa，b，c，B1,2,3，映射 f：A B 满足 A 中元素 a 在 B 中的对应元素是 1，问这样的映射有几个解 由已知 f(a)1，所以， f(b) f(c)1 时有 1 个；f(b)f(c) 2 或 f(b)f(c) 3 时各有 1 个，共 2 个；f(b)1，f(c )2 时有 1 个；f(b)1，f(c )3 时有 1 个；f(c)
9、1，f(b) 2 时有 1 个；f(c)1，f(b) 3 时有 1 个；f(b)2，f(c )3 时有 1 个；f(b)3，f(c )2 时有 1 个综上可知，共有不同映射 9 个【探究 3】 已知从集合 A 到集合 B0,1,2,3 的映射 f：x ，则集合 A1|x| 1中的元素最多有几个？解 f：x 是从集合 A 到集合 B 的映射，1|x| 1A 中的每一个元素在集合 B 中都应该有对应元素令 0，该方程无解，分别令 1,2,3，1|x| 1 1|x| 1解得 x2 ，x ，x ，32 43集合 A 中的元素最多有 6 个【探究 4】 设 M a，b，c，N 2,0,2(1)求从 M
10、到 N 的映射个数；(2)从 M 到 N 的映射满足 f(a)f(b)f(c)，试确定这样的映射 f 的个数解 (1)M 中元素 a 可以对应 N 中的2,0,2 中任意一个，有 3 种对应方法，同理，M 中元素 b，c 也各有 3 种对应方法因此从 M 到 N 的映射个数为33327.(2)满足 f(a)f(b) f(c) 的映射是从 M 到 N 的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表 ).f(a) f(b) f(c)0 2 22 2 22 0 22 0 0故符合条件的映射有 4 个规律方法 (1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射(2)判断两个集合的一种对
11、应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数如果集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，那么从集合 A 到集合 B的映射共有 nm个，从 B 到 A 的映射共有 mn个映射带有方向性，从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的课堂达标1若 f：A 中元素(x ，y)对应 B 中的元素(xy ，xy)，则 B 中元素_与A 中元素(1,2) 对应，A 中元素 _与 B 中元素(1,2)对应解析 由Error!得 B 中元素(3，1)与 A 中(1,2)对应由Error!得Error!所以 A 中元素 与 B 中元素(1,2
12、)对应(32， 12)答案 (3 ，1) (32， 12)2设集合 A1,2,3 ，集合 B 1，2，3，试问，从集合 A 到集合 B的不同映射有_个解析 每个元素都有 3 种对应，所以 33327.答案 273设 f，g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表：映射 f 的对应法则如下：A 中元素 1 2 3 4对应元素 3 4 2 1映射 g 的对应法则如下：A 中元素 1 2 3 4对应元素 4 3 1 2则 f(g(1)_.解析 因为 g(1)4，所以 f(g(1)f(4)1.答案 14设 f：xx 2 是集合 A 到集合 B 的函数，若 B1，则 AB _.解析 由 f：xx
13、2 是集合 A 到集合 B 的函数，如果 B1，则 A1,1或A1或 A1，所以 AB或1 答案 或15已知 B 1,3,5，若集合 A 使得 f：x 3x 2 是 A 到 B 的映射，求集合 A.解 由 f：x3x 2，分别令：3x21，3x23,3x25，得 x ， ， .13 53 73A 是集合 ， ， 的非空子集13 53 73即 A 为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 7 个13 53 73 13 53 13 73 53 73 13 53 73课堂小结对映射定义的理解(1)A、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；(2)对应关系有“方向性”，即从集合 A 到集合 B 的对应与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；(3)集合 A 中每一个元素，在集合 B 中必须有对应元素，并且对应元素是唯一的；(4)集合 A 中不同元素，在集合 B 中对应的元素可以是相同的；(5)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有对应元素 .