1、22.2 函数的奇偶性学习目标 理解函数奇偶性的定义(难点)；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法(重点)；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题(重、难点)预习教材 P4143，完成下面问题：知识点一 函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数 yf(x)的定义域为 A，如果对于任意的 xA，都有 f(x)f(x)，那么称函数 yf(x)是偶函数如果对于任意的 xA ，都有 f(x)f(x)，那么称函数 yf (x)是奇函数(2)如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数 f(x)具有奇偶性【预习评价】1函数 yf( x)在区间2a3，a上具有奇偶性，则 a_.解析 由题意知，区间2a3
2、，a关于原点对称，2a3 a ， a1.答案 12函数 f(x) 的奇偶性为_x4 1x2 1解析 x R，又 f(x) f(x )， x4 1 x2 1 x4 1x2 1f(x)是偶函数答案 偶函数3已知函数 yf (x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时，f (x)1，则 f(2)的值为_解析 当 x0 时，f(x ) 1，f(2)1，又 f(x)是奇函数，f(2)f(2) 1.答案 1知识点二 奇函数、偶函数的图象特征(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)若一个函数是偶函数
3、，则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数【预习评价】下列函数图象中，关于 y 轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？提示 关于 y 轴对称， 关于原点对称知识点三 奇偶性应用中常用结论(1)若函数 f(x)是奇函数，且 0 在定义域内，则必有 f(0)0.(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反(3)一次函数 f(x)kxb(k0)为奇函数b0；二次函数 f(x)ax 2bxc(a0)为偶函数b0；常数函数 f(x)c (c 为常数)为偶函数【预习评价】若 f(x)为 R 上的奇函数
4、，给出下列四个说法：f(x)f(x)0；f(x )f(x)2f(x) ；f(x)f( x)0； 1.fxf x其中一定正确的有_解析 由奇函数的定义可知一定正确，对、，当 x0 时，有 f(0)0，所以、均不成立答案 题型一 如何证明函数的奇偶性【例 1】 (1)证明 f(x) 是非奇非偶函数；x3 x2x 1(2)证明 f(x)(x1)(x1)是偶函数；(3)证明 f(x) 既是奇函数又是偶函数；1 x2 x2 1(4)证明 f(x)Error!是奇函数；(5)已知 f(x)的定义域为 R，证明 g(x)f( x)f(x)是偶函数证明 (1)因为它的定义域为x|xR 且 x1，对于定义域内的
5、1，其相反数 1 不在定义域内，故 f(x) 是非奇非偶函x3 x2x 1数(2)函数的定义域为 R，因函数 f(x)(x1)( x1) x21，又因 f(x )(x)21x 21 f(x)，所以函数为偶函数(3)定义域为1,1，因为对定义域内的每一个 x，都有 f(x)0，所以 f(x)f(x)，故函数 f(x) 为偶函数又 f(x)f( x)，故函数 f(x)1 x2 x2 1 为奇函数即该函数既是奇函数又是偶函数1 x2 x2 1(4)定义域为x|x0若 x0，则 x0，f( x)1，f(x)1，f(x)f(x )；若 x0，则 x0，f( x)1，f(x)1，f(x)f(x )；即对任
6、意 x 0，都有 f(x )f(x)f(x)为奇函数(5)f(x)的定义域为 R，g(x)f( x)f( x)的定义域也为 R.对于任意 xR，都有 g(x )f(x) f(x)f(x)f(x)g(x)，g(x)是偶函数规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断 f(x )是否等于f( x)，或判断 f(x)f(x)是否等于 0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数(3)分段函数的奇偶性应分段说明 f(x)与 f(x)的关系，只
7、有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性【训练 1】 (1)证明 f(x)(x2) 是非奇非偶函数；2 x2 x(2)证明 f(x)x|x|是奇函数；(3)证明 f(x) (a0)既是奇函数又是偶函数；a x2 x2 a(4)证明 f(x)Error!是奇函数证明 (1)由 0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶2 x2 x函数(2)函数的定义域为 R，因 f(x )(x)|x|x|x |f(x)，所以函数为奇函数(3)定义域为 ， ，因为对定义域内的每一个 x，f (x)0，f(x)a a0，f( x)0，有 f(x)f( x)，f( x)f(x
8、 )成立，函数既是奇函数又是偶函数(4)函数定义域为(，0) (0，) ，当 x0 时， x0，f(x)x 2，有 f(x)x 2f (x )成立；当 x0 时，x0，f(x)x 2，有 f(x)x 2f(x)成立，有 f(x)f( x)成立，f(x)是奇函数题型二 利用函数的奇偶性求值【例 2】 已知 f(x)ax 5bx 3cx8，且 f(d)10 ，求 f(d)解 方法一 f(d) ad 5 bd3cd 8，f(d)a(d) 5b( d) 3c( d)8ad 5bd 3cd 8，得 f(d)f (d) 16，f(d)10，f(d) 161026.方法二 设 g(x)ax 5bx 3cx
9、，则 g(x)为奇函数，由题意可得 f(d)g(d)810， g(d)18.又 f(d)g(d)8，且 g(x)为奇函数，g(d)g(d)，f(d)g(d)818826.规律方法 解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数) g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出 g(d) 也可以通过两式相加(或相减) 达到正负抵消，从而使问题得解【训练 2】 函数 f(x)x 5ax 3bx2，且 f(3)1，则 f(3)_.解析 令 g(x)x 5ax 3bx，易知 g(x)为奇函数，从而 g(3)g(3)又因为f(x)g(x) 2，f(3) 1
10、，所以 g(3) 1，所以 g(3)1，所以 f(3)g(3)2123.答案 3题型三 奇(偶) 函数图象的对称性的应用【例 3】 定义在 R 上的奇函数 f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出 f(x)的图象；(2)解不等式 xf(x)0.解 (1)先描出 (1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得 f(x)的图象如下图，(2)xf(x)0 即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0 的解集是(2,0)(0,2)规律方法 鉴于奇(偶) 函数图象关于原点(y 轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性【训练 3】 已知 f(x) 在0,
11、1上单调递增，在1，)上递减试画出xx2 1f(x)在定义域 R 上的大致图象，并指出其单调区间解 显然当 x0 时，f (x)0.又 yx 21 为偶函数，yx 为奇函数，f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称xx2 1由此得 f(x) 的图象如下xx2 1由图可知 f(x) 的增区间是1,1，减区间是(，1)，(1，)xx2 1考查方向奇偶性与单调性的综合应用方向 1：判断单调性【例 41】 已知 yf (x)是奇函数，且在(0，)上是增函数，且 f(x)0，试判断 F(x) 在( ，0)上的单调性1fx解 任取 x1， x2(， 0)，且 x1x 2，则有x 1x 2，y f(x)在(0
12、，)上是增函数，且 f(x)0，f(x 2)f( x1)0，又yf( x)是奇函数，f(x 2)f(x 2)，f(x 1)f(x 1)，故 f(x2)f(x 1)0，于是 F(x1)F(x 2) 0，1fx1 1fx2 fx2 fx1fx1fx2即 F(x1)F (x2)，所以函数 F(x) 在(，0)上是减函数1fx方向 2：求解析式【例 42】 函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时，f (x)x 1，求当 x0 时， f(x)的解析式；设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x) ，求函数 f(x)，g(x)的解1x 1析式解 设 x 0，则x 0 ，f(x
13、)( x)1x1，又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(x)f(x )x1，当 x0 时，f(x )x 1.f(x)是偶函数，g( x)是奇函数，f(x)f( x)，g( x) g(x )，由 f(x)g(x) 1x 1用x 代替 x 得f(x)g(x) ，1 x 1f(x) g(x) ，1 x 1( )2，得 f(x) ；1x2 1( )2，得 g(x) .xx2 1方向 3：求参数范围【例 43】 已知函数 f(x)Error!是奇函数求实数 m 的值；若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解 因为 f(x)为奇函数，所以 f(1) f(1)，即 1m(
14、12)，解得 m2.经检验 m2 时函数 f(x)是奇函数所以 m2.要使 f(x)在1，a2上单调递增，结合 f(x)的图象知Error!所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1,3规律方法 (1)两个定义：对于 f(x)定义域内的任意一个 x，如果都有 f(x )f(x) f(x )f(x) 0 f(x)为奇函数；如果都有 f(x)f (x)f(x )f(x)0f(x) 为偶函数(2)两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于 y 轴对称(3)证明一个函数是奇函数，必须对 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x )f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举
15、出一个反例就可以了(4)如果知道函数的奇偶性和一个区间a，b 上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间b，a 上任一点(x ，y)，通过关于原点(或 y 轴)的对称点(x，y)(或(x，y)满足的关系式间接找到 (x，y)所满足的解析式(5)奇偶性对单调性的影响若奇函数 f(x)在a，b 上是单调增函数，且有最大值 M，则 f(x)在b，a上是单调增函数，且有最小值M.若偶函数 f(x)在(， 0)上是单调减函数，则 f(x)在(0，)上是单调增函数课堂达标1函数 f(x) 的奇偶性为_x 2 x 2解析 由题意知函数的定义域为x| x2 ，不关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数答
16、案 非奇非偶2已知函数 f(x)是奇函数，函数 g(x)f(x) x 2，若 g(3)10，则 g(3)的值为_解析 由题意可得 g(x )f(x)(x) 2f(x)x 2，所以 g(x )g( x)2x 2，再由 g(3) 10 得 g(3) 8.答案 83若函数 f(x)x 2(m1)x3( xR)是偶函数，则 m_.解析 f (x)为偶函数，f(x)f( x)，x2(m1) x3x 2(m1)x3，m 10，即 m1.答案 14设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x(0，)时，f(x)x (1 )，那么当 x3x(， 0)时， f(x)_.解析 当 x(，0)时， x(0，)，f(x)
17、x(1 )x(1 )3 x 3x又 f(x)为奇函数，f( x ) f(x)，f(x) x(1 )3x答案 x(1 )3x5若奇函数 f(x)在(1,1)上是减函数，且 2f(1m) 0，求实数 m 的取值范围解 原式可化为 f(1m) f(1m) 0f(1m )f(1m)f(1m )f(m1)，又 f(x)在(1,1)上是减函数，Error!即实数 m 的取值范围是(0,1)课堂小结1定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(x)f(x)或 f(x )f (x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f( x )f (x)f(x)f(x)0 1(f(x)0)f xfx3(1)若 f(x)0 且 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.