1、1.2 子集、全集、补集学习目标 1.理解子集、真子集、全集、补集的概念(重、难点)；2.能用符号和Venn 图、数轴表达集合间的关系(重点) ；3.掌握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集(重点)预习教材 P8 9，完成下面问题：知识点一 子集定义如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 aA，则 aB )，那么集合 A 称为集合 B 的子集记法 AB(或 BA)读法 集合 A 包含于集合 B(或集合 B 包含集合 A)图示性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA；(2)对于集合 A，B，C，若 AB，且 BC，则 AC；(3)若 AB，且 BA，则 AB ；(4
2、)规定A【预习评价】符号“”与“ ”有什么区别？答案 (1)“” 是表示元素与集合之间的关系，比如 1N ，1N .(2)“”是表示集合与集合之间的关系，比如 NR，1,2,3 3,2,1(3)“”的左边是元素，右边是集合，而“”的两边均为集合知识点二 真子集定义 如果 AB，并且 AB，那么集合 A 称为集合 B 的真子集记法 AB(或 BA)读法 集合 A 真包含于集合 B(或集合 B 真包含集合 A)图示性质(1)对于集合 A，B，C，若 AB，且 BC，则 AC；(2)对于集合 A，B，若 AB，且 AB，则 AB；(3)若 A，则 A【预习评价】在知识点一中，我们知道集合 A 是它本
3、身的子集，那么如何刻画至少比 A 少一个元素的 A 的子集？答案 用真子集知识点三 全集、补集1全集如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合，那么这时 S 可以看做一个全集，全集通常记作 U.2补集文字语言设 AS，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集符号语言 SAx |xS，且 xA定义图形语言性质(1)AS， SAS；(2) S(SA)A；(3)SS， SS；(4) A( SA)S；(5)A( SA) 【预习评价】判断 1 全集一定是实数集 R.( )提示 .全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集 R，而在整数范围
4、内解不等式，则全集为整数集 Z.判断 2 设集合 A1,2，那么相对于集合 M0,1,2,3和 N1,2,3 ， MA 和NA 相等( )提示 . MA0,3， NA3， MA NA.由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同题型一 子集、真子集的概念【例 1】 (1)写出集合a，b，c的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)已知集合 A 满足a，b Aa，b，c，d，求满足条件的集合 A.解 (1)子集为： ，a ， b，c， a，b，b，c ，a，c，a，b，c真子集为：， a，b ， c，a，b
5、， a，c ，b，c(2)由题意可知，A 中一定有 a，b，对于 c，d 可能没有，也可能有 1 个，故满足a， bAa，b，c，d的 A 有：a，b，a，b，c ，a，b，d【例 2】 已知集合 Ax|x 2x0，B x|ax1，且 AB，求实数 a 的值解 A x|x2x00,1(1)当 a0 时， BA，符合题意(2)当 a0 时， Bx |ax1 ，1a 0，要使 AB，只有 1，即 a1.1a 1a综上，a0 或 a1.规律方法 (1)求解有限集合的子集问题，关键有三点：确定所求集合；合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；注意两个特殊的集合，即空集和集合本身(2)一般地，若集合
6、A 中有 n 个元素，则其子集有 2n个，真子集有 2n1 个，非空真子集有 2n2 个【训练 1】 已知集合 M 满足2,3M1,2,3,4,5，求集合 M 及其个数解 当 M 中含有两个元素时，M 为2,3 ；当 M 中含有三个元素时，M 为2,3,1 ，2,3,4， 2,3,5；当 M 中含有四个元素时，M 为2,3,1,4 ，2,3,1,5 ，2,3,4,5；当 M 中含有五个元素时，M 为2,3,1,4,5 ；所以满足条件的集合 M 为2,3，2,3,1 ，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4 ，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合 M 的个数为 8.题型二 简
7、单的补集运算【例 3】 (1)设全集 U 1,2,3,4,5，集合 A1,2 ，则 U A 等于_(2)若全集 U R，集合 Ax|x1，则 U A_.解析 (1)U1,2,3,4,5，A1,2 ，UA3,4,5(2)由补集的定义，结合数轴可得 U Ax|x1答案 (1)3,4,5 (2)x|x1规律方法 (1)根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助 Venn 图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解(2)解题时要注意使用补集的几个性质： UU ， UU，A( U A)U .【训练 2】 已知全集 Ux| x3 ，集合 A x|3x4，则 U A_.解析 借助数轴得 U Ax|
8、x3，或 x4答案 x|x 3，或 x4典例迁移题型三 由集合间的关系求参数范围问题【例 4】 已知集合 Ax|3x4 ，B x|2m1xm1，且 BA，求实数 m 的取值范围解 BA ，(1)当 B时， m12m1，解得 m2.(2)当 B时，有 Error!解得1m2，综上得m| m1【迁移 1】 设 M x|x22x30，N x|ax10，若 NM，求所有满足条件的 a 的取值集合解 由 NM，Mx|x 22x30 1,3，得 N 或 N1或 N3当 N 时，ax 10 无解，即 a0；当 N 1时，由 1，得 a1；1a当 N 3时，由 3，得 a ；1a 13故满足条件的 a 的取值
9、集合为1,0， 13【迁移 2】 设集合 Ax|x 24x0，B x|x22(a1)xa 210，aR ，若 BA，求实数 a 的取值范围解 因为 A x|x24x00 ，4，BA，所以 B 可能为 ，0 ，4，0，4 当 B时，方程 x22(a1)xa 210 无解所以 4(a1) 24( a21)0 ，所以 a1；当 B0 时，方程 x22(a1)xa 210 有两个相等的实数根 0，由根与系数的关系，得Error!解得 a1；当 B 4时，方程 x22(a1)xa 210 有两个相等的实数根 4，由根与系数的关系，得Error!该方程组无解；当 B0 ，4时，方程 x22(a1)xa 2
10、1 0 有两个不相等的实数根 0 和4，由根与系数的关系，得Error!解得 a1.综上可得 a 的取值范围是a| a1，或 a1【迁移 3】 已知集合 Ax|1ax2 ，B x|x|1，是否存在实数 a，使得AB？若存在，求出实数 a 的取值范围解 B x|1x1当 a0 时，A ，显然 AB；当 a0 时，A .x|1a x 2aAB，如图(1)，Error!a2 ；当 a0 时，A .x|2a x 1aAB，如图(2)，Error!a 2.综上可知，当 a2 或 a2 或 a0 时，AB.规律方法 (1)求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；
11、(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；(3)注意空集的特殊性，遇到“BA ”时，若 B 为含字母参数的集合，一定要分“B”和“B两种情形讨论”.课堂达标1若集合 A x|xn，nN ，B x|x ，nZ ，则 A 与 B 的关系是n2A_B(填“”或“”)解析 A0,1,2 ，B ，1， ，0， ，1， ，2，A 中任意一12 12 32个元素均在 B 中答案 2集合 U、S、T、F 的关系如图所示，下列关系正确的是 _SU FT S T SF SFFU解析 元素与集合之间的关系才用，故错；子集的区域要被全部涵盖，故错答案 3集合 A 1,0,1，A 的
12、子集中，含有元素 0 的子集共有_个解析 由题意得，含有元素 0 的集合 A 的子集有： 0，0 ，1，0,1 ，0， 1,1共 4 个答案 44设 A x|1x2，B x|xa，若 AB，则 a 的取值范围是_解析 A B， a2.答案 a25(1)设 U x|x 是小于 9 的正整数，A1,2,3，B3,4,5,6 ，求 U A 和 U B；(2)Ux|x 是三角形，A x|x 是等腰三角形，Bx|x 是等边三角形，求 U B 和 A B；(3)UR，Ax |1x5，求 U A，并分别在数轴上表示 A 和 U A.解 (1)根据题意可知， U1,2,3,4,5,6,7,8 ，所以 U A4
13、,5,6,7,8， U B1,2,7,8(2)U Bx|x 是三边不都相等的三角形；A B x|x 是有且仅有两边相等的三角形(3)U Ax|x1，或 x 5，A 与 U A 在数轴上分别表示如下：课堂小结1对子集、真子集有关概念的理解(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 xA ，能推出 xB，这是判断 AB 的常用方法(2)不能简单地把“AB ”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合 ”，因为若A，则 A 中不含任何元素；若 AB，则 A 中含有 B 中的所有元素(3)在真子集的定义中，A 、B 首先要满足 AB，其次至少有一个 xB ，但 xA.2集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集集合的子集、真子集个数的规律为：含 n 个元素的集合有 2n个子集，有 2n1 个真子集，有 2n2 个非空真子集3涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.